期末学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．反比例函数y＝的图象经过以下各点中的(　　)

A. B. C．(4，－1) D．(－2，－2)

2．“父亲节”时，佳佳送给父亲一个礼盒(如图)，该礼盒的主视图是(　　)

(第2题) 　　　　 (第4题)

3．在双曲线y＝上有两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且x₁＜0＜x₂，y₁＜y₂，则m的取值范围是(　　)

A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤

4．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度AB＝a m，∠OAB＝70°，则点O到桥面的距离是(　　)

A.asin 70° m B.acos 70° m C．atan 70° m D.atan 70° m

5．如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是(　　)

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C.＝ D.＝

(第5题) 　　 (第7题)

6．两个相似三角形的最短边长分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么较小三角形的周长为(　　)

A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm

7．一次函数y₁＝k₁x＋b和反比例函数y₂＝(k₁·k₂≠0)的图象如图所示，当y₁＞y₂时，x的取值范围是(　　)

A．－2＜x＜0或x＞1 B．－2＜x＜1

C．x＜－2或x＞1 D．x＜－2或0＜x＜1

8．如图，△ABO缩小后得到△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A，B，A′，B′均在格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(　　)

A. B．(m，n) C. D.

9．如图是摩天轮的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直于地面的直径，小嘉从摩天轮最低处B下来先沿水平方向向右行走20 m到达C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝0.75，坡长为10 m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40 m到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)，在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，则AB的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.4，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)(　　)

A．24.6 m B．22.7 m C．27.5 m D．28.8 m

(第9题) 　　 (第12题)

10．已知点A(x₁，y₁)在反比例函数y＝的图象上，点B(x₂，y₂)在一次函数y＝kx－k的图象上，当k＞0时，下列判断正确的是(　　)

A．当x₁＝x₂＞2时，y₁＞y₂

B．当x₁＝x₂＜2时，y₁＞y₂

C．当y₁＝y₂＞k时，x₁＜x₂

D．当y₁＝y₂＜k时，x₁＞x₂

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

11．日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是________投影．(填“平行”或“中心”)

12．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为________．

13．如图是某工件的三视图(单位：cm)，若俯视图为直角三角形，则此工件的体积为________．

14．无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是45°和30°，此时无人机距直线BC的垂直距离是200 m，则小山两端B，C之间的直线距离是__________________m.

(第14题) 　 (第15题)

15．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：________________________．(用相似符号连接，写出两对即可)

16．如图，l₁，l₂分别是反比例函数y＝(k＞2)和y＝在第一象限内的图象，点A在l₁上，线段OA交l₂于点B，作AC⊥x轴于点C，交l₂于点D，延长OD交l₁于点E，作EF⊥x轴于点F，连接BD，AE.下列结论：①S_△AOD＝S_{四边形CDEF}；②BD∥AE；③＝；④EF²＝AC·CD.

其中正确的是________．(填序号)

三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)计算：sin 60°＋cos²45°－sin 30°·tan 60°.

18．(8分)下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB.

题目	测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据	BC＝1.5 m，BD＝10 m，DE＝1.8 m

19．(8分)如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝，tan A＝，AC＝3 .

(1)求∠B的度数与AB的长；

(2)求tan∠CDB的值．

20．(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋b与x轴交于点A，与双曲线y＝－在第二象限内交于点B(－3，a)．

(1)求a和b的值；

(2)过点B作直线l平行于x轴，交y轴于点C，连接AC，求△ABC的面积．

21．(8分)如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，延长BE交AD于点F.

(1)求证：＝；

(2)已知点P在边CD上，请以CP为边，用尺规作一个△CPQ与△AEF相似，并使得点Q在AC上．(只需作出一个△CPQ，保留作图痕迹，不写作法)

22．(10分)如图，厦门某中学数学兴趣小组决定测量一下教学楼AB的高度，他们先在坡面上的E处测得楼顶A的仰角为45°，沿坡面向下走到坡脚C处，分别测得楼顶A的仰角为60°，E的仰角为30°，E到地面BF的距离EF为3 m，求教学楼AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)

23．(10分) 小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升20 ℃，加热到100 ℃，会沸腾1 min后自动停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至20 ℃时电热水壶又自动开机加热，重复上述程序(如图所示)．

(1)求CD段的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

(2)小明治疗肠胃病需服用一种胶囊，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水(水温不能高于40 ℃)送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用电热水壶的水送服胶囊？

24．(12分)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，连接AD.

(1)求证：△CDE∽△CAD；

(2)若AB＝2，AC＝2 ，求AE的长．

25．(14分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D，E分别是边BA，BC的中点，连接DE.将△BDE绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△BFG，点D的对应点是点F，连接AF，CG.

(1)求证：∠BFA＝∠BGC；

(2)若∠BFA＝90°，求sin∠CBF的值．

答案

一、1.D　2.C　3.B　4.D　5.D　6.C　7.A　8.D　9.A

10．C

二、11.平行　12.　13.30 cm³　14.(200＋200 )

15．△ABF∽△ACE，△BDE∽△CDF(答案不唯一)

16．①②④　点拨：∵点A，点E在反比例函数y＝的图象上，∴S_△AOC＝＝S_△OEF，∴S_△AOD＝S_{四边形CDEF}，故①正确；过点B作BH⊥OC于H，

∴BH∥AC，∴△OBH∽△OAC，

∴＝＝，∴＝，

同理可证：＝，∴＝，

又∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△AOE，

∴∠OBD＝∠OAE，＝＝，故③错误，

∴BD∥AE，故②正确；

设点A，则点D，点C(a，0)，

∴AC＝，CD＝，∴AC·CD＝.

∵CD∥EF，∴△ODC∽△OEF，∴＝＝，

∴EF²＝＝AC·CD，故④正确．故答案为①②④.

三、17.解：原式＝＋－×＝.

18．解：由题意可得CB⊥AD，ED⊥AD，

∴∠ABC＝∠ADE＝90°.

又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴＝.

∵BC＝1.5 m，BD＝10 m，DE＝1.8 m，∴＝，

解得AB＝50 m.

答：河流的宽度AB为50 m.

19．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB于点E，设CE＝x.

在Rt△ACE中，∵tan A＝＝，

∴AE＝2x.∴AC＝＝x.

∴x＝3 ，解得x＝3.∴CE＝3，AE＝6.

在Rt△BCE中，∵sin B＝，∴∠B＝45°.

易得△BCE为等腰直角三角形．

∴BE＝CE＝3.∴AB＝AE＋BE＝9.

(2)∵CD是边AB上的中线，∴BD＝AB＝4.5.

由(1)知BE＝3，∴DE＝1.5.

∴tan∠CDB＝＝＝2.

20．解：(1)把B(－3，a)的坐标代入到反比例函数解析式中，得a＝－＝2，∴B(－3，2)．

把(－3，2)代入到一次函数解析式中，

得－×(－3)＋b＝2，∴b＝1.

(2)∵B(－3，2)，BC∥x轴，∴C(0，2)，∴BC＝3，

∴S_△ABC＝BC·y_B＝×3×2＝3.

21．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠ACB，

又∵∠AEF＝∠CEB，∴△AEF∽△CEB，∴＝.

(2)解：如图 (答案不唯一)．

22．解：作EG⊥AB于点G，则∠AEG＝45°，四边形EFBG为矩形，∴EG＝FB，BG＝EF＝3 m.

在Rt△AEG中，∵∠AEG＝45°，∴易得AG＝EG.

设AG＝EG＝x m，则FB＝x m.

在Rt△ECF中，∵∠ECF＝30°，

∴FC＝＝3 (m)．∴BC＝(x－3 ) m.

在Rt△ACB中，∵∠ACB＝60°，

∴tan 60°＝＝＝＝，

解得x≈16.38.∴AB≈16.38＋3≈19.4(m)．

答：教学楼AB的高度约为19.4 m.

23．解：(1)由题意可得开机加热到100 ℃所需时间为

＝4(min)，∴点B的坐标为(4，100)，

∴点C的坐标为(5，100)，

设CD段的函数关系式为y＝，

把(5，100)代入，得100＝，解得k＝500，∴y＝.

令y＝20，则20＝，解得x＝25，则点D(25，20)．

∴CD段的函数关系式为y＝(5≤x≤25)．

(2)由(1)可知从水温20 ℃开机加热到100 ℃、沸腾停止加热、再到水温下降回20 ℃为一个周期共用时25 min，25<30，当水温第二次加热到40 ℃时所需时间为25＋＝26 (min)，26<30，当水温第二次下降到40 ℃时所需时间为25＋＝37.5(min)，37.5>30，

∴他至少需要等37.5 min才可以直接用电热水壶的水送服胶囊．

24．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.∴∠ABD＋∠BAD＝90°.

∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°.

∴∠CAD＋∠BAD＝90°.∴∠ABD＝∠CAD.

∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO＝∠CDE.

∴∠CAD＝∠CDE.又∵∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAD.

(2)解：∵AB＝2，∴OA＝OD＝1.

在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，

∴OA²＋AC²＝OC²，即1²＋(2 )²＝OC².

∴OC＝3(负值舍去)，∴CD＝2.

∵△CDE∽△CAD，∴＝，即＝，

∴CE＝.∴AE＝AC－CE＝2 －＝.

25．(1)证明：∵D，E分别是边BA，BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，BD＝BA，BE＝BC.

∵△BDE绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△BFG，点D的对应点是点F，

∴BF＝BD，BG＝BE，∠FBA＝∠GBC＝α，

△BFG≌△BDE，∴＝＝，∴＝，

∴△BFA∽△BGC，∴∠BFA＝∠BGC.

(2)解：由(1)得DE是△ABC的中位线，△BFG≌△BDE，△BFA∽△BGC，∴FG＝DE＝AC，∠BGF＝∠BED＝∠BCA＝90°，∠BFA＝∠BGC.

∵∠BFA＝90°，∴∠BGC＝90°，

∴∠BGF＋∠BGC＝180°，

∴点C，G，F在同一条直线上，如图，过点C作CM⊥BF于点M，

∴∠CMB＝90°.

设AC＝2x，则BC＝2AC＝4x，

∴BG＝BE＝2x，

∴FG＝DE＝x.∴在Rt△BFG中，BF＝＝x.

在Rt△BCG中，CG＝＝2 x.

∵S_△BCF＝CF·BG＝BF·CM，

∴CM＝＝＝.

在Rt△BCM中，sin∠CBF＝＝＝.