第二十八章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．4 cos 45°的值为(　　)

A．2 B．2 C．2 D．4

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin B的值为(　　)

A. B. C. D.

(第2题)　 (第3题) 　 (第4题)

3．如图，A，B，C三点在正方形网格的格点上，若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(　　)

A. B. C. D.

4．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱底部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为(　　)

A．a sin 26.5° B. C. D．a cos 26.5°

5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值(　　)

A．不变 B．扩大5倍 C．缩小为原来的 D．不能确定

6．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6 ，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于(　　)

A．2 B．3 C．3 D．2

7．α是锐角，且cos α＝，则(　　)

A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点P(a，a)(a>0)，连接AP交y轴于点B.若AB∶BP＝3∶2，则tan∠PAO的值是(　　)

A. B. C. D.

(第8题)　 　 (第9题) 　　 (第10题)

9．如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE＝β，则矩形ABCD的周长可表示为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．2

10．春天是放风筝的好时节．小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1∶2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26 m至坡底C处，并继续沿平地向前跑16 m到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处，如图．若小明视线距地面的高度为1.5 m，图中E，A，B，C，D五点在同一平面内，则风筝上升的垂直距离AE约为(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)(　　)

A．34.2 m B．32.7 m

C．31.2 m D．22.7 m

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)

11．如图，若点A的坐标为(1，)，则∠1＝________．

(第11题) 　　　 (第14题)

12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为________．

13．等腰三角形ABC的周长是32 cm，底边长为10 cm，则底角的余弦值是_____．

14．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC折叠后，点B恰好落在BA延长线上的点E处．若tan D＝，则sin∠ACE的值为________．

15．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10 m的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40 s到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为________m.

(第15题) 　　　 (第16题)

16．如图，在△ABD中，C为BD的中点，连接AC，点E在AC上，连接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝，∠BAC＝2∠EBC，BC＝，则AD的长为________．

三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)计算：

(1)－2³＋－2sin 30°＋(2 024－π)⁰；

(2)sin² 45°－cos 60°－＋2sin² 60°·tan 60°.

18．(8分)榕树被评为福建省省树，也被福州、赣州评为市树．小明和他的学习小组开展“测量榕树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：

课题	测量榕树的高度
测量工具	测角仪和皮尺
测量示意图 及说明		说明：BC为水平地面，榕树AB垂直于地面，斜坡CD的坡度i＝3∶4，在斜坡CD上的点E处测榕树顶端A的仰角∠1的度数.
测量数据	BC＝8 m，CE＝5 m，∠1＝48°.
参考数据	sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11.

请你根据以上测量报告中的数据，求榕树AB的高度．(结果精确到0.1 m)

19．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O, AB＝10，AC＝12.

(1)求BD的长；

(2)求sin∠ABC的值．

20．(8分)福建某游乐园有一座匀速旋转的摩天轮，其前方有一座三层建筑物，小明想利用该建筑物的高度来估计摩天轮的高度．如图是其示意图．他通过实际体验发现，摩天轮旋转一周需要24 min，从最低点A处坐上摩天轮，经过3 min到点B处时，该建筑物的屋顶正好在水平视线上．根据经验估计，该建筑物的第一层约为5 m，其余两层每层约为3.5 m，摩天轮最低点A离地面2 m．在不考虑其他因素的前提下，估计摩天轮最高点的高度是多少米．(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，最后结果保留整数)

21．(10分)如图，某山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)m，小军和小明同时分别从A处和B处出发向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为 m/s.若小明与小军同时到达点C处，则小明的行走速度是多少？

22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．

(1)将线段AD绕点A逆时针旋转(旋转角小于90°)得到AE，点D的对应点为点E，在图中求作AE，使得CE＝BC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，EC，若sin∠ECA＝，探究线段EF与BF之间的数量关系，并说明理由．

答案

一、1.B　2.A　3.B　4.B　5.A　6.A　7.B　8.C　9.B

10．D

二、11.60°　12.　13.　14.　15.100

16．3 　点拨：作AF⊥BC于点F，∴∠AFD＝90°.

∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC，BF＝CF，

∴∠CAF＝∠BAC，

即2∠CAF＝∠BAC.∵∠BAC＝2∠EBC，

∴∠CAF＝∠EBC.∵∠CAF＋∠ACF＝90°，

∴∠EBC＋∠ACF＝90°，∴∠BEC＝90°，

∴∠AEB＝90°，∴tan∠BAC＝＝.

设BE＝3x，则AE＝4x，∴AB＝＝5x，

∴AC＝5x，∴CE＝x，

在Rt△BEC中，BC²＝BE²＋CE²，∴10＝(3x)²＋x²，

解得x₁＝1，x₂＝－1(不合题意，舍去)，∴AB＝5x＝5.

∵∠AFB＝90°，BF＝FC＝BC＝，

∴AF＝＝＝.

∵C为BD的中点，∴CD＝BC＝，

∴FD＝FC＋CD＝＋＝.

∵∠AFD＝90°，

∴AD＝＝＝3 .

三、17.解：(1)原式＝－8＋4－2×＋1＝－8＋4－1＋1＝－4.

(2)原式＝－－＋2××＝.

18．解：过点E作EG⊥BC于G.

易得四边形EFBG是矩形，∴EF＝BG，EG＝BF.

在Rt△ECG中，∵i＝＝，CE＝5 m，

∴易得EG＝3 m，CG＝4 m，

∴EF＝BG＝8＋4＝12(m)，BF＝EG＝3 m.

在Rt△AEF中，AF＝EF·tan∠1＝12·tan 48°≈12×1.11＝13.32(m)，

∴AB＝AF＋BF≈13.32＋3≈16.3(m)．

答：榕树AB的高度约为16.3 m.

19．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，

∴AC⊥BD，OA＝AC＝6，BD＝2OB.

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝＝8，

∴BD＝2OB＝16.

(2)过点A作AE⊥BC于点E.

∵四边形ABCD是菱形，AB＝10，

∴BC＝AB＝10，AC⊥BD.

∵AC＝12，BD＝16，

∴S_菱形ABCD＝BC·AE＝AC·BD＝×12×16＝96，

∴AE＝.在Rt△ABE中，sin∠ABC＝＝.

20．解：延长DB交OA于点E，延长OA交地面于点F.

由题意知BE⊥OA，∠AOB＝×360°＝45°.

设摩天轮的半径为R m，在Rt△BEO中，OE＝OB·cos∠AOB＝R m，

∴AE＝OA－OE＝ m．易知EF＝CD，

∴R－R＋2＝5＋3.5×2，解得R＝≈34.1.

34．1×2＋2≈70(m)．

答：摩天轮最高点的高度约为70 m.

21．解：如图，过C作CD⊥AB于点D，

则∠ADC＝∠CDB＝90°.

设AD＝x m，小明的行走速度是a m/s.

∵∠A＝45°，∴易得CD＝AD＝x m，AC＝x m.

在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝＝2x m.

∵小军的行走速度为 m/s，小明与小军同时到达点C处，

∴＝，解得a＝1.

答：小明的行走速度是1 m/s.

22．解：(1)如图①.

　

(2)如图②，连接DF.

在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BC.

由(1)可知，CE＝BC，AE＝AD，∴CE＝CD.

又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACD.∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠DCA.

又∵AF＝AF，∴△AEF ≌△ADF.∴EF＝DF.∵BF⊥AC，

∴在Rt△BCF中，sin∠BCF＝sin∠ECA＝＝.设BF＝4a，BC＝5a，

∵CD＝BC，∴DF＝BC＝a.∴EF＝a.∴＝＝.