期末学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)

1.下列函数是二次函数的是(　　)

A.y＝2x＋1 B.y＝ C.y＝3x²＋1 D.y＝ ＋1

2.中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患.为了了解某中学2 500位学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了400位家长，结果有360位家长持反对态度，则下列说法正确的是(　　)

A.调查方式是普查 B.该校只有360位家长持反对态度

C.样本是360位家长 D.该校约有90％的家长持反对态度

3.如图，点A，B，C在☉O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为(　　)

(第3题)

A.27° B.108° C.116° D.128°

4.把二次函数y＝x²－2x＋3化为顶点式，结果正确的是(　　)

A.y＝(x－1)²＋4 B.y＝(x＋1)²－4

C.y＝(x＋1)²＋2 D.y＝(x－1)²＋2

5.将抛物线y＝ (x－4)²＋5向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是(　　)

A.y＝ (x－4)²＋7 B.y＝ (x－2)²＋5

C.y＝ (x－6)²＋5 D.y＝ (x－4)²＋3

6.小新家4月份前6天的用米量如下表：

用米量(kg)	0.6	0.8	0.9	1.0
天数	1	2	2	1

估计小新家4月份的用米量为(　　)

A.24 kg B.25 kg C.26 kg D.27 kg

7.如图是一个石拱门的截面示意图，已知它是一段优弧，小松测得AB为8 m，石拱门的顶部C到地面AB的距离(即CD)也为8 m，则这个石拱门所在圆的半径为(　　)

(第7题)

A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m

8.一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是(　　)

A.100 π B.200 π C.100 π D.200 π

9.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ x²＋kx与y＝kx＋k(k≠0)的图象可以是(　　)

10.函数y＝x²＋2bx＋c的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞1，x₂－x₁＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b，c的关系式是(　　)

A.m＝1＋2b＋c B.m＝4＋4b＋c

C.m＝9＋6b＋c D.m＝－b²＋c

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

11.抛物线y＝x²＋3与y轴的交点坐标是　　　　　.

12.某校共有1 000名学生，为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是　　　　.

(第12题)

13.如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是　　　　.

(第13题)

14.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.设∠ABC＝α，则∠ADC＝　　　　(用含α的代数式表示).

(第14题)

15.如图，☉O的半径是2，直线l与☉O相交于A，B两点，M，N是☉O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB的面积的最大值是　　　　.

(第15题)

16.已知抛物线y＝－x²＋6x－5的顶点为P，对称轴l与x轴交于点A，N是PA的中点.M(m，n)在抛物线上，M关于直线l的对称点为B，M关于点N的对称点为C.当1≤m≤3时，线段BC的长随m的增大而发生的变化是：　　　　　　　　　　　　　　　　.(“变化”是指增减情况及相应m的取值范围)

三、解答题(本题共9小题，共86分)

17.(8分)一个二次函数的图象经过(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)三点，求这个二次函数的表达式.

18.(8分)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，AB⊥CD于点M，且M是半径OB的中点，CD＝6，求直径AB的长.

(第18题)

19.(8分)某中学九年级部分同学参加全国初中数学竞赛，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都是整数，试题满分120分)，并且绘制了频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，如图所示，请根据直方图回答下列问题：

(第19题)

(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学？

(2)如果成绩在90分以上(含90分)的同学获奖，那么该中学参赛同学的获奖率是多少？

(3)图中还提供了其他信息，例如该中学没有获得满分的同学等，请再写出两条信息.

20.(8分)如图，已知线段a及∠ACB.

求作：☉O，使☉O在∠ACB的内部，CO＝a，且☉O与∠ACB的两边均相切.

(第20题)

21.(8分)某超市茶叶专柜经销一种安溪铁观音茶叶，每千克成本为100元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量y(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化，具体的变化(一次函数关系)如下表：

销售单价x(元/kg)	120	140	160	180
销售量y(kg)	120	100	80	60

(1)求y与x的函数关系式；

(2)设这种茶叶在这段时间内的销售利润为W元，那么当该茶叶的销售单价为多少元/kg时，可获得最大利润？最大利润为多少元？

22.(10分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连结BD，以点B为圆心，BA长为半径作☉B，交BD于点E.

(第22题)

(1)试判断CD与☉B的位置关系，并说明理由；

(2)若AB＝2 ，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积.

23.(10分)如图，已知△ABC内接于☉O，CO的延长线交AB于点D，交☉O于点E，交☉O的切线AF于点F，且AF∥BC.

(第23题)

(1)求证：AO∥BE；

(2)求证：AO平分∠BAC.

24.(12分)阅读下面的材料：

我们知道，一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋By＋C＝0(A，B，C是常数，且A，B均不为0).如图①，点P(m，n)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离(d)计算公式是d＝ .

例：求点P(1，2)到直线y＝ x－ 的距离d'时，先将y＝ x－ 化为5x－12y－2＝0，再由上述距离公式求得d'＝ ＝ .

解答下列问题：

如图②，已知直线y＝－ x－4与x轴交于点E，与y轴交于点F，抛物线y＝x²－4x＋5上的一点M(3，2).

(1)求点M到直线EF的距离；

(2)点P是抛物线上一动点，求出使△PEF面积最小时点P的坐标及△PEF面积的最小值.

(第24题)

25.(14分)如图①，抛物线y＝ax²＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝－x与该抛物线交于E，F两点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值；

(3)如图②，以点C为圆心，1为半径作圆，☉C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(第25题)

参考答案

一、1.C　2.D　3.B　4.D　5.A　6.B　7.B　8.C　9.C　10.C

二、11.(0，3)　12.270　

13.

14.180°－ 　15.4

16.当1≤m≤3－ 时，BC的长随m的增大而减小；

当3－ ＜m≤3时，BC的长随m的增大而增大

三、17.解：设这个二次函数的表达式是y＝ax²＋bx＋c，

把(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)代入y＝ax²＋bx＋c，得 解得

所以这个二次函数的表达式是y＝－x²－4x－3.

18.解：如图，连结OC.

(第18题)

∵AB⊥CD，∴CM＝DM＝ CD＝3.

∵M是OB的中点，

∴OM＝ OB＝ OC.

由勾股定理，得OC²＝OM²＋CM²，

∴OC²＝ ＋3²，

∴OC＝2 (负值舍去)，

∴直径AB的长为4 .

19.解：(1)4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(名)，

所以该中学参加本次数学竞赛的有32名同学.

(2)由题图可知，该中学参赛同学的获奖率是

×100％＝43.75％.

(3)该中学参赛同学的成绩均不低于60分；成绩在80～90分的人数最多.(答案不唯一，合理即可)

20.解：①作∠ACB的平分线CD，

②在CD上截取CO＝a，

③作OE⊥CA于点E，以O为圆心，OE的长为半径作圆.

如图所示，☉O即为所求.

(第20题)

21.解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，

将(120，120)，(140，100)代入，得

解得

所以y＝－x＋240.

(2)由题意得W＝(x－100)(－x＋240)，

整理，得

W＝－x²＋340x－24 000＝－(x－170)²＋4 900.

因为－1＜0，

所以当x＝170时，W可取得最大值，W_最大＝4 900.

即当该茶叶的销售单价为170元/kg时，可获得最大利润，最大利润为4 900元.

22.解：(1)CD与☉B相切.

理由：如图，过点B作BF⊥CD于点F.

(第22题)

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD.

∵CB＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴∠ADB＝∠CDB.

∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD.

又∵BF⊥CD，∴BF＝BA，

∴点F在☉B上，

∴CD与☉B相切.

(2)∵∠BCD＝60°，CB＝CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠CBD＝60°，

∴∠ADB＝60°，

∴∠ABD＝90°－∠ADB＝30°.

∵AB＝2 ，

∴AD＝AB·tan∠ABD＝2 ×tan 30°＝2，

∴阴影部分的面积为S_△ABD－S_扇形ABE＝ ×2 ×2－ ＝2 －π.

23.证明：(1)∵AF是☉O的切线，

∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°.

∵CE是☉O的直径，

∴∠CBE＝90°.

∴∠OAF＝∠CBE.

∵AF∥BC，

∴∠BAF＝∠ABC，

∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，

即∠OAB＝∠ABE，

∴AO∥BE.

(2)∵∠ABE与∠ACE都是 所对的圆周角，

∴∠ABE＝∠ACE.

∵OA＝OC，

∴∠ACE＝∠OAC，

∴∠ABE＝∠OAC.

由(1)知∠OAB＝∠ABE，

∴∠OAB＝∠OAC，

∴AO平分∠BAC.

24.解：(1)将y＝－ x－4化为4x＋3y＋12＝0，

由题中距离公式可得点M到直线EF的距离为 ＝6.

(2)设P(t，t²－4t＋5)，则点P到直线EF的距离

d″＝ ＝

＝ ＝ ＋ .

∴当t＝ 时，d″最小，为 .

当t＝ 时，t²－4t＋5＝ －4× ＋5＝ ，

此时P .

在y＝－ x－4中，令x＝0，则y＝－4，

∴F(0，－4).

令y＝0，则x＝－3，

∴E(－3，0)，

∴EF＝ ＝5，

∴△PEF面积的最小值为 ×5× ＝ .

25.解：(1)∵抛物线y＝ax²＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，

∴

解得

∴抛物线的表达式为y＝ x²＋ x－2.

(2)将直线EF向左平移至直线l，使l与抛物线只有一个交点，记为P'，

当点P在点P'处时，PH最大，过点O作OD⊥l于点D，

设直线l交x轴于点G，则PH_最大＝OD.

∵直线EF的表达式为y＝－x，

∴设直线l的表达式为y＝－x＋m①.

由(1)知抛物线的表达式为y＝ x²＋ x－2②，

联立①②，化简得 x²＋ x－2－m＝0，

∴Δ＝ －4× ×(－2－m)＝0，

解得m＝－ ，

∴直线l的表达式为y＝－x－ .

令y＝0，得x＝－ ，

∴G ，

∴OG＝ ，

在Rt△ODG中，易得OD＝ ＝ ，

∴PH_最大＝ .

(3)存在.

点M的坐标为 或(1，－2)或 或 .