第二十七章学情评估
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列图形中，属于相似图形的是( )
2．下列四组线段中，不是成比例线段的是( )
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝1，b＝，c＝，d＝
3．顺次连接三角形三边的中点，所围成的三角形与原三角形的对应面积的比是( )
A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶
4．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值)，若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为( )
A. B．2 C. D.
(第4题) (第5题)
5．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交DB于点F，若DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长为( )
A．4 B．7 C．3 D．12
6．如图所示的是某家用晾衣架的实物图及侧面示意图，已知AB∥PQ，根据图中数据，P，Q两点间的距离是( )
A．0.6 m B．0.8 m C．0.9 m D．1 m
(第6题) (第7题)
7．下列四个三角形中，与如图所示的三角形相似的是( )
8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一个这样的问题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”大意为：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的标杆，它的影子长五寸(1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，则在下列五个条件：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C中，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(第9题) (第10题)
10．如图，半圆O的直径BC＝7，延长CB到A，D是半圆O上一点，连接AD，交半圆O于点E，若AE＝ED＝3，则AB的长为( )
A. B．2 C. D．9
二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)
11．如果＝，那么＝________.
12．已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，若要使△ABC与△ADE相似，则只需添加一个条件：________．(只需填写一个)
13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝35 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.3 m，CD＝7 m，则树高AB为________m.
14．在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为(2，3)，(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上，且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__________________．
15．如图，已知在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D为边AC上一点，P是线段BD的中点，如果∠ABD＝∠ACP，那么AD的长是________．
16．如图，已知矩形ABCD中，AD＝2CD，点E在BD上，△CEF是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若G是AD的中点，则＝________．
三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)如图，D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求证：△ACD∽△ABC.
18．(8分)如图，△ABC在方格纸中，每个小正方形的边长均为1.
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(3，4)，点C的坐标为(7，3)，并写出点B的坐标；
(2)在(1)的条件下，以原点O为位似中心，相似比为2:1，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A′B′C′；
(3)计算(2)中所得△A′B′C′的面积．
19．(8分)清朝《数理精蕴》中有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意是：如图，有一座正方形的城池，四面城墙的正中都有门，从南门口(点D)直行8里有一塔(点A)，自西门(点E)直行2里至点B，切城角(点C)恰好可以看见塔，问这座正方形城池的每面城墙的长是多少？
20．(8分)如图，将△ABC绕点A旋转至△AB′C′的位置，点B′恰好在BC上，AC与B′C′交于点E，连接CC′.求证：
(1)＝；
(2)△ABB′∽△ACC′.
21．(10分)如图，已知矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，BE＝AE.
(1)若AE＝3，求CE的长；
(2)设点C关于直线AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．
22．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
答案
一、1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C
10．B 点拨：连接BE，CD.
∵∠ABE＋∠EBC＝180°，∠EBC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC.
又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ADC，∴＝，
∴AB·AC＝AE·AD，即AB·(AB＋7)＝3×(3＋3)，
解得AB＝2或AB＝－9(不合题意，舍去)．故选B.
二、11. 12.DE∥BC(答案不唯一) 13.5.3
14．(4，6)或(－4，－6)
15．3－ 点拨：取AD中点E，连接PE，通过证明△ABD∽△ECP，可得＝，进而求得AE的长，最后求得AD的长．
16. 点拨：如图，连接CG，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，AD∥BC.
∵AD＝2CD，G是AD的中点，
∴DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG＝45°，
∴∠BCG＝∠DGC＝45°.
∵△CEF是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴CE＝EF，∠ECF＝∠EFC＝45°，
∴∠BCG＝∠ECF，∴∠ECG＝∠BCF.
∵CG＝＝DC，DC＝AD＝BC，
∴CG＝BC，即＝.
∵CF＝＝CE，∴＝，∴＝，
又∠ECG＝∠BCF，∴△GEC∽△BFC，∴＝＝，
故答案为.
三、17.证明：∵AD＝2，BD＝6，AC＝4，
∴AB＝8，＝＝，∴＝＝，∴＝，
又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
18．解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．
点B的坐标为(3，2)．
(2)如图，△A′B′C′即为所求作的三角形．
(3)△A′B′C′的面积为×4×8＝16.
19．解：设这座正方形城池的每面城墙的长是x里，
则CE＝CD＝x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°，
BE＝2里，AD＝8里，∴∠B＝∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，∴＝，∴＝.
解得x＝8(负值舍去)．
答：这座正方形城池的每面城墙的长是8里．
20．证明：(1)由旋转的性质可知∠AC′B′＝∠ACB，
又∵∠AEC′＝∠B′EC，∴△AEC′∽△B′EC，
∴＝.
(2)由旋转的性质可知∠BAB′＝∠CAC′，
AB＝AB′，AC′＝AC，
∴∠B＝∠AB′B＝(180°－∠BAB′)，
∠AC′C＝∠ACC′＝(180°－∠CAC′)，
∴∠B＝∠ACC′，∴△ABB′∽△ACC′.
21．(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBE＝90°.
∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ABE＝∠BCE，
∴△ABE∽△BCE，∴＝.
∵AE＝3，BE＝AE，∴BE＝3 ，
∴＝，∴CE＝6.
(2)证明：如图，连接EF.由(1)可知＝，
又∵BE＝AE，∴CE＝BE，
∴CE＝2AE，∴＝2.
∵C，F关于直线AD对称，∴CF＝2CD.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠FCE，CF＝2AB，
∴＝2＝，
∴△ABE∽△CFE，
∴∠CEF＝∠AEB＝90°.
∵∠BEC＝90°，
∴∠CEF＋∠BEC＝180°，
∴B，E，F三点共线．
22．(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径．
∴∠BAC＝90°.连接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.
∵∠DOC＝2∠DAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.
又∵PD∥BC，∴OD⊥PD.
又∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.
∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，
∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA.
(3)解：∵∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝10.
易知OD垂直平分BC，∴DB＝DC.
∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.
在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，
即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝5 (负值舍去)．
由(2)知△PBD∽△DCA，∴＝，
∴PB＝＝＝.
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