第27章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)

1.☉O的半径为6，点P在☉O内，则OP的长可能是(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

2.如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点E，连结AC，AD.若∠BAC＝28°，则∠D的度数是(　　)

(第2题)

A.56° B.58° C.60° D.62°

3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，☉D过A，B，O三点，点C为 上一点(不与O，A两点重合)，则cosC的值为(　　)

(第3题)

A. B. C. D.

4.如图，等边三角形ABC的三个顶点都在☉O上，AD是☉O的直径.若OA＝3，则 的长是(　　)

(第4题)

A. B.π C. D.2π

5.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据(cm)如图所示，则该铁球的半径为(　　)

(第5题)

A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm

6.如图，△ABC内接于☉O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是☉O的直径，若AD＝3，则BC等于(　　)

(第6题)

A.2 B.3 C.3 D.4

7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于(　　)

(第7题)

A.6π B.12π C.15π D.20π

8.如图，等腰三角形ABC的内切圆☉O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是(　　)

(第8题)

A. B. C. D.

9.将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形.例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形.下列图形：①正方形；②矩形；③正五边形；④六边形.其中是双心多边形的有(　　)

A.①②④ B.①③ C.①④ D.②③④

10.如图，直线y＝－2x＋2与坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝－x＋3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域(阴影部分)面积的最大值是(　　)

(第10题)

A. B. C. D.

二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

11.如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线的位置关系是　　　　.

(第11题)

12.如图，△ABC的一边AB是☉O的直径，请你添加一个条件，使BC是☉O的切线，你所添加的条件为　　　　　.

(第12题)

13.如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆☉O与AB，BC分别相切于点D，E，连结DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　　　　.

(第13题)

14.如图，☉O的直径AB＝4，P为☉O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是　　　.

(第14题)

15.如图，等边三角形ABC的边长为4，☉C的半径为 ，P为边AB上一动点，过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为　　　.

(第15题)

16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，BE＝8，☉O为△BCE的外接圆，过点E作☉O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的有　　　　　　.(写出所有正确结论的序号)

①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；③若∠DBE＝40°，则 的长为 ；④ ＝ ；⑤若EF＝6，则CE＝2.24.

(第16题)

三、解答题(本题共6小题，共70分)

17.(10分)如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作☉A，分别交BC，AD于点E，F，交BA的延长线于点G，连结AE.求证： ＝ .

(第17题)

18.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.

(1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)

①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；

②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E.

(2)在(1)所作的图形中，解答下列问题.

①点B与☉O的位置关系是　　　　；

②若DE＝2，AC＝8，求☉O的半径.

(第18题)

19.(12分)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC是☉O的直径，AC与BD交于点E，PB切☉O于点B，连结OB.

(1)求证：∠PBA＝∠OBC；

(2)若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE.

(第19题)

20.(12分)如图，AB是☉O的直径，点E、F在☉O上，且 ＝2 ，连结OE、AF，过点B作☉O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.

(1)求证：∠COB＝∠A；

(2)若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长.

(第20题)

21.(12分)如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点(BO＞DO)，OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的☉O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G.

(第21题)

(1)求证：BC是☉O的切线；

(2)若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1.

①求 的长；

②求AD的长.

22.(14分)在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

(1)如图①，圆锥的母线长为12 cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上， 的长为4π cm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长(结果保留根号).

(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为　　　　　(用含l，h的代数式表示).

②设 的长为a，点B在母线OC上，OB＝b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图④中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

(第22题)

参考答案

一、1.A　2.D　3.D　4.B　5.B　6.C　7.C　8.D　9.B　10.A

二、11.相离　12.∠ABC＝90°(答案不唯一)

13.35°　14.2π　15.3　16.②④⑤

三、17.证明：∵AB＝AE，

∴∠B＝∠AEB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠B＝∠GAF，∠FAE＝∠AEB，

∴∠GAF＝∠FAE，

∴ ＝ .

18.解：(1)如图所示.

(第18题)

(2)①点B在☉O上

②∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，

∴AD＝ AC＝4.

设☉O的半径为r，

则OA＝OE＝r，OD＝OE－DE＝r－2，

在Rt△AOD中，∵OA²＝AD²＋OD²，

即r²＝4²＋(r－2)²，解得r＝5，

∴☉O的半径为5.

19.证明：(1)∵AC是☉O的直径，

∴∠ABC＝90°.

∵PB切☉O于点B，

∴∠OBP＝90°，

∴∠PBA＋∠ABO＝∠OBC＋∠ABO＝90°，

∴∠PBA＝∠OBC.

(2)∵∠PBA＝20°，∠PBA＝∠OBC，

∴∠OBC＝20°.

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝20°，

∴∠AOB＝2×20°＝40°.

∵∠ACD＝40°，

∴∠ACD＝∠AOB.

∵ ＝ ，

∴∠CDE＝∠OAB.

∴△OAB∽△CDE.

20.(1)证明：如图，取 的中点M，连结OM、OF.

∵ ＝2 ，∴ ＝ ＝ ，

∴∠BOM＝∠MOF＝∠BOE，

∴∠COB＝ ∠BOF.

∵∠A＝ ∠BOF，

∴∠COB＝∠A.

(第20题)

(2)解：如图，连结BF，

∵CD是☉O的切线，∴AB⊥CD，

∴∠OBC＝∠ABD＝90°.

由(1)知∠COB＝∠A，

∴△OBC∽△ABD，

∴ ＝ .

∵AB＝6，∴OB＝3.

∵CB＝4，∴BD＝ ＝ ＝8.

∴AD＝ ＝10.

∵AB是☉O的直径，∴∠BFA＝90°，

∴∠BFD＝90°.

∵∠D＝∠D，∴△BFD∽△ABD，

∴ ＝ ，

∴FD＝ ＝ ＝ .

21.(1)证明：过点O作OM⊥BC于点M，

∵BD是菱形ABCD的对角线，

∴∠ABD＝∠CBD.

∵OM⊥BC，OE⊥AB，

∴OE＝OM，

∴OM是☉O的半径，

∴BC是☉O的切线.

(2)解：①∵G是OF的中点，OF＝OH，

∴OG＝ OF＝ OH.

∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，

∴∠OGH＝90°，∴∠GHO＝30°，

∴∠GOH＝60°，∴∠HOE＝120°.

∵OG＝2，∴OH＝4，

∴ 的长为 ＝ .

②过点D作DN⊥AB于点N，

∵G是OF是中点，∴OE＝OF＝2OG＝4.

∵AB∥CD，∴△ODG∽△OBE，

∴ ＝ ＝ ＝ ，

∴BE＝2DG＝2.

∵DN⊥AB，GE⊥AB，∴DN∥GE.

∵DG∥NE，DN∥GE，∠GEN＝90°，

∴四边形NEGD是矩形，

∴NE＝DG＝1，DN＝GE＝OG＋OE＝6.

∴BN＝3.

在菱形ABCD中，AD＝AB，

在Rt△ADN中，设AD＝AB＝x，

∴x²＝(x－3)²＋6²，∴x＝ .

∴AD的长为 .

22.解：(1)如图①所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径.

设∠AOC＝n°，

∵圆锥的母线长为12 cm， 的长为4π cm，

∴ ＝4π，∴n＝60.

如图①，连结OA、CA，

∵OA＝OC＝12 cm，

∴△OAC是等边三角形，

∵B为OC的中点，∴AB⊥OC，

∴AB＝OA×sin 60°＝6 cm.

　　

(第22题)

(2)①h＋l

②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图②所示，线段AB即为其最短路径(点G为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图②中的点C，C'对应几何体展开前的点C).

求最短路径的长的思路如下：

如图②，连结OG并延长，交AD于点F，易知GF⊥AD.

过点B作BE⊥OG于点E，BH⊥AD于点H.

由题可知，OG＝OC'＝l，GF＝h，OB＝b，AD＝a，

设线段GC的长为x，则 的长也为x，由母线长为l，可求出∠C'OG，

因为OB＝b，可由三角函数求出OE和BE，

从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，

接着由FD＝CG＝x，得到AF＝a－x，

利用勾股定理可以求出AG，

将AF＋BE即得到AH，将EG＋GF即得到HB，

因为两点之间线段最短，

所以A、G、B三点共线，

利用勾股定理可以得到AB²＝AH²＋BH²，

进而得到关于x的方程，即可解出x，

将x的值回代到BG和AG中，

求出它们的和即可得到最短路径的长.