期末综合素质评价(一)

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．若线段a＝2 cm，线段b＝8 cm，则a，b的比例中项c为(　　)

A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．32 cm

2．【母题：教材P₂₀习题T₆】抛物线y＝2(x＋9)²－3的顶点坐标是(　　)

A．(9，－3) B．(－9，－3) C．(9，3) D．(－9，3)

3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6，则AB等于(　　)

A．6 B． C．10 D．8

4. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校1 500名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级(A.非常了解；B.比较了解；C.了解；D.不了解)．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是(　　)

A．样本容量是200

B．样本中C等级所占百分比是10%

C．D等级所在扇形圆心角为15°

D．估计全校学生A等级大约有900人

5．如图，小明在A时测得树的影长为8 m，B时测得树的影长为2 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为(　　)m.

A．2 B．4 C．6 D．8

6．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为(　　)

A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°

7. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前走70 m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为(　　)

(精确到1 m，参考数据：sin 22°≈0.37，tan 22°≈0.40，sin 58°≈0.85，tan 58°≈1.60)

A．28 m　 B．34 m C．37 m D．46 m

8．如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)经过点C(0，3)，点P(m，n)从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴向下运动，给出下列说法：

①a＝－1；

②抛物线的对称轴为直线x＝－1；

③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，n＝1；

④在点P从点A运动到顶点的过程中，当m＝－时，△PAC的面积最大．

其中，所有正确的说法是(　　)

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③

二、填空题(每小题3分，共30分)

9．在△ABC中，若sin A＝，则∠A＝________°.

10．【2023·常州二十四中一模】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE与△ABC的周长比为2：5，则AD：DB＝________.

11. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是________．

12．【母题：教材P₇₆图6－35】如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为________．

13．如图，在半径为3的⊙O中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的频率稳定在，则AB的长约为________．(结果保留π)

14．已知实数a，b满足a－b²＝4，则代数式a²－3b²＋a－14的最小值是________．

15.在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为________．

16．【母题：教材P₈₇习题T₈】小亮在桥上看到一艘游艇迎面驶来，如图，他在高出水面30 m的A处测得在C处的游艇俯角为23°，他登高12 m到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为50°，则两次观测间游艇大约前进了________m．(结果精确到1 m，参考数据：tan 23°≈0.42，tan 40°≈0.84，tan 50°≈1.19，tan 67°≈2.36)

17．【2023·南京南航附中月考】小亮开了一个微店，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏，护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数关系式y＝x＋25(1≤x≤20，且x为整数)．

(1)日销售量p(盏)与时间x(天)之间的一次函数关系式为____________．

(2)这20天中最大日销售利润是________．

18．【2023·苏州高新区一模】如图，平面直角坐标系中，A为函数y＝(x>0)图像上的一点，其中B(0，2)， AC⊥AB，交x轴于点C，AC＝3AB，若四边形ABOC的面积为12，则k的值为________．

三、解答题(19～20题每题6分，21～24题每题8分，25～26题每题11分，共66分)

19．【母题：教材P₁₁₀例3】如图，在△ABC中，BC＝2 ＋2，∠B＝30°，∠C＝45°，求△ABC的面积．

20．【2023·泰州】如图，我国2019～2022年汽车销售量情况统计图．

　

根据图中信息，解答下列问题：

(1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的________%(精确到1%)；这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是________年．

(2)小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．

21．如图，二次函数y＝x²－x－2的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求A，B两点的坐标；

(2)若点P为二次函数图像上一点，且S_△ABP＝6，求点P的坐标．

22. 位于羊祜山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的．某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念塔的高度，如图，无人机在点A处测得纪念塔顶部点B的仰角为45°，纪念塔底部点C的俯角为61°，无人机与纪念塔的水平距离AD为10 m，求纪念塔的高度(结果保留整数，参考数据： sin 61°≈0.87，cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80)．

23. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表．

飞行时间t/s	0	2	4	6	8	…
飞行水平距离x/m	0	10	20	30	40	…
飞行高度y/m	0	22	40	54	64	…

探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)．

问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N) ，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

24．【2023·衡阳】如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G.

(1)求证：AF＝DF；

(2)若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径．

25．【2023·苏州】如图，一次函数y＝2x的图像与反比例函数y＝(x＞0)的图像交于点A(4，n)．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上一点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD，BD的中点C在反比例函数

y＝(x＞0)的图象上．

(1)求n，k的值；

(2)当m为何值时，AB·OD的值最大？最大值是多少？

26．【2023·武汉】【问题提出】如图①，点E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α(α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．

【问题探究】(1)先将问题特殊化，如图②，当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；

(2)再探究一般情形，如图①，求∠GCF与α的数量关系．

【问题拓展】将图①特殊化，如图③，当α＝120°时，若＝，求的值．

答案

一、1．A　2．B　3．C

4．C 【点拨】A.∵50÷25%＝200，即样本容量为200，故选项A正确，不符合题意；

B．样本中C等级所占百分比是×100%＝10%，故选项B正确，不符合题意；

C． D等级所在扇形的圆心角为360°×(1－60%－25%－10%)＝18°，故选项C错误，符合题意；

D．估计全校学生A等级大约有1 500×60%＝900(人)，故选项D正确，不符合题意．故选C.

5．B　【点拨】

根据题意，作△EFC，如图，树高为CD，且∠ECF＝90°，∠CDE＝∠CDF＝90°，ED＝2 m，FD＝8 m，

∴∠E＋∠F＝90°，∠E＋∠ECD＝90°，

∴∠ECD＝∠F.

∴△EDC∽△CDF.

∴＝，即＝，

解得CD＝4 m，即树的高度为4 m.

故选B.

6．D　【点拨】当高在三角形外部时，顶角是150°；当高在三角形内部时，顶角是30°.

7．C　【点拨】在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，

∴DB＝≈＝AB.

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan 22°＝，∴≈0.40，解得AB≈37 m，故选C.

8．B　【点拨】∵抛物线y＝a(x＋3)(x－1)经过点C(0，3)，

∴3＝－3a，解得a＝－1，故①说法正确．

令y＝0，则0＝a(x＋3)(x－1)，解得x＝－3或1，

∴抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴的交点为A(－3，0)，

B(1，0)，

∴抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，故②说法正确．

如图①，连接AC，交对称轴于点P，连接BC，BP，此时，PB＋PC最小，等于AC.

∵BC是定值，

∴此时点P，B，C构成的三角形的周长最小．

∵A(－3，0)，C(0，3)，易得直线AC的表达式为y＝x＋3.

当x＝－1时，y＝2，∴P(－1，2)．

∴n＝2，故③说法错误．

如图②，作PQ⊥x轴，交AC于点Q.

∵点P(m，n)在抛物线上，

∴n＝－(m＋3)(m－1)＝－m²－2m＋3.

把x＝m代入直线AC的表达式得y＝m＋3，

∴Q(m，m＋3)．

∴S_△PAC＝S_△APQ＋S_△CPQ＝(－m²－2m＋3－m－3)×3＝－＋，

∴当m＝－时，△PAC的面积最大，故④说法正确．

综上，正确的有①②④.

故选B.

二、9．45　10．2：3

11． 【点拨】把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A，B，C，D，画树状图如下：

∴共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC，CA，

∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是＝.

故答案为.

12．1：4

13．π　【点拨】lAB＝×(2×3×π)＝π.

14．6　【点拨】∵a－b²＝4，∴b²＝a－4.

原式＝a²－3(a－4)＋a－14＝a²－2a－2＝(a－1)²－3.

∵b²＝a－4≥0，∴a≥4.

∴当a＝4时，原式有最小值6.

15．3或　【点拨】

如图①，过点A作AD⊥BC于点D.

∵∠B＝30°，AB＝4，

∴AD＝AB＝2，BD＝AB·cos 30°＝4×＝2.

在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝，

∴DC＝＝＝.

∴BC＝BD＋DC＝2＋＝3.

如图②，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.

同理可得，

AD＝AB＝2，BD＝AB·cos 30°＝4×＝2，

DC＝＝＝，

∴BC＝BD－DC＝2－＝.

综上所述，BC的长为3或.

16．36　【点拨】

如图，设BA与CD的延长线交于点O，

根据题意易得∠BDO＝50°，∠ACO＝23°，OA＝30 m，

AB＝12 m.

在Rt△BOD中，tan∠BDO＝＝≈1.19，

解得OD≈35.29 m.

在Rt△AOC中，tan∠ACO＝≈≈0.42，解得DC≈36 m，即两次观测间游艇大约前进了36 m.

17．(1)p＝－2x＋80　(2)450元　【点拨】(1)设日销售量p(盏)与时间x(天)之间的一次函数关系式为p＝kx＋b(k≠0)，

由题意，得 解得

∴p＝－2x＋80.

(2)设日销售利润为w，

则w＝(y－20)p＝(－2x＋80)

＝－x²＋10x＋400

＝－(x－10)²＋450.

∵－<0，1≤x≤20，且x为整数，

∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450.

∴在这20天中，第10天日销售利润最大，最大日销售利润是450元．

18．　【点拨】

如图，过点A分别作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°.

∵B(0，2)，AB⊥AC，

∴OB＝2，∠BAC＝90°.

∴∠BOC＋∠BAC＝180°.

∴∠OBA＋∠ACO＝180°.

∵∠ABD＋∠OBA＝180°，

∴∠ACE＝∠ABD.

∴△ABD∽△ACE.∴＝＝.

∵AC＝3AB，

∴＝＝＝.

设点A的横坐标为a，则纵坐标为3a，

∴AD＝OE＝a，AE＝OD＝3a.

∴BD＝3a－2.∴EC＝3(3a－2)．

∴OC＝OE＋EC＝10a－6.

∵S_{四边形ABOC}＝S_梯形ADOC－S_△ADB＝12，

∴(10a－6＋a)·3a－(3a－2)a＝12，解得a＝(负根舍去)．

∴A.

∴k＝.

三、19.【解】作AD⊥BC于点D，设AD＝x，在Rt△ABD中， ∠B＝30°，∴BD＝AD＝x. 在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴CD＝AD＝x. ∵BD＋CD＝BC，∴x＋x＝2＋2，解得x＝2，即AD＝2. ∴S_△ABC＝×2×(2＋2)＝2＋2.

20．【解】26；2 022　【点拨】(1)2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为×100%≈26%；

2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为×100%≈13%；

2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为×100%≈5%；

2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为×100%≈5%.

∴这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．

(2)不同意．理由如下：

2022年新能源汽车销售量的增长率为

×100%≈96%；

2021年新能源汽车销售量的增长率为

×100%≈157%.

∴2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．

21．【解】(1)令y＝0，则x²－x－2＝0，解得x₁＝－1，x₂＝2.

∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(2，0)．

(2)∵A(－1，0)，B(2，0)，

∴AB＝3.

设点P的坐标为(x，y)．

∵S_△ABP＝6，

∴×AB×|y|＝6，

∴|y|＝4，则y＝±4.

当x²－x－2＝4时，解得x＝3或x＝－2.

当x²－x－2＝－4时，易得方程没有实数根．

∴所求点P的坐标为(3，4)或(－2，4)．

22．【解】由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°.

在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，

∴∠ABD＝45°＝∠BAD.

∴BD＝AD＝10 m.

在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan 61°＝＝≈1.80，解得CD≈18 m.

∴BC＝BD＋CD≈10＋18＝28(m)．

∴纪念塔的高度约为28 m.

23．【解】探究发现：x＝5t，y＝－t²＋12t.

问题解决：(1)依题意，得－t²＋12t＝0，

解得t₁＝0(舍去)，t₂＝24，

当t＝24时，x＝120.

答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.

(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度y′＝－t²＋12t＋n，

∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，

∴25＜t＜26.

在y′＝－t²＋12t＋n中，

当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；

当t＝26，y′＝0时，n＝26.

∴12.5＜n＜26.

答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.

24．(1)【证明】∵点D是弧AC的中点，

∴AD＝CD.

∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，

∴AD＝AH，

∴CD＝AH.

∴∠ADH＝∠CAD.

∴AF＝DF.

(2)【解】∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＋∠ABD＝90°.

∵∠DAE＋∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠B，

∴sin∠ADE＝sin∠ABD＝.

设AE＝x，则AD＝x，∴DE＝2x.

∵DF＝AF＝，∴EF＝2x－.

∵AE²＋EF²＝AF²，∴x²＋＝，

解得x＝2或x＝0(舍去)，

∴AD＝2，

∴AB＝＝＝10，

∴⊙O的半径为5.

25．【解】(1)将点A(4，n)的坐标代入y＝2x，得n＝8，

∴点A的坐标为(4，8)．

将点A(4，8)的坐标代入y＝，得k＝32.

(2)∵点B的横坐标大于点D的横坐标，

∴点B在点D的右侧．

如图，过点C作直线EF⊥x轴于点F，交AB于点E.

由平移的性质得AB∥x轴，AB＝m，

∴∠B＝∠CDF.

∵点C为BD的中点，

∴BC＝DC.

在△ECB和△FCD中，

∴△ECB≌△FCD(ASA)，

∴BE＝DF，CE＝CF.

∵AB∥x轴，点A的坐标为(4，8)，

∴EF＝8，

∴CE＝CF＝4，

∴点C的纵坐标为4.

由(1)知反比例函数的表达式为y＝，

∴当y＝4时，x＝8，

∴点C的坐标为(8，4)，

∴点E的坐标为(8，8)，点F的坐标为(8，0)．

∵点A(4，8)，AB＝m，AB∥x轴，

∴点B的坐标为(m＋4，8)，

∴BE＝m＋4－8＝m－4，

∴DF＝BE＝m－4，

∴OD＝8－(m－4)＝12－m，

∴AB·OD＝m(12－m)＝－(m－6)²＋36，

∴当m＝6时，AB·OD取得最大值，最大值为36.

26．【解】【问题探究】(1)∠GCF＝45°.

【点拨】如图①，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE，连接JE.

当∠ABC＝α＝90°时，四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，BA＝BC.

∵BJ＝BE，

∴AJ＝EC.

∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠B，

∠AEF＝∠B＝90°，

∴∠CEF＝∠EAJ.

又∵EA＝EF，

∴△EAJ≌△FEC(SAS)，

∴∠AJE＝∠ECF.

易知∠BJE＝45°，

∴∠AJE＝180°－45°＝135°，

∴∠ECF＝135°，

∴∠GCF＝∠ECF－∠ECD＝135°－90°＝45°.

(2)如图②，在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE.

∵∠ABC＋∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＋∠FEC＋∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，

∴∠EAN＝∠FEC.

又∵AE＝EF，

∴△ANE≌△ECF(SAS)，

∴∠ANE＝∠ECF.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AB＝BC，

∴BN＝BE.

∵∠EBN＝α，AB∥CD，

∴∠BNE＝90°－α，∠BCD＝180°－α.

∴∠ANE＝90°＋α.

∴∠GCF＝∠ECF－∠BCD＝∠ANE－∠BCD＝

－(180°－α)＝α－90°.

【问题拓展】如图③，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，则∠APD＝90°，设菱形的边长为3m.

∵＝，

∴DG＝m，CG＝2m.

易得∠ADC＝∠ABC＝120°，

∴∠ADP＝60°，

∴PD＝m，AP＝m.

由(2)知，∠GCF＝α－90°，

∵α＝120°，∴∠GCF＝90°.

∴∠APD＝∠GCF.

又∵∠AGP＝∠FGC，

∴△APG∽△FCG，

∴＝，

∴＝，

∴CF＝m.

由(2)易知BE＝CF＝m，

∴CE＝m，

∴＝.