第26章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)

1.下列函数关系式中，是二次函数的是(　　)

A.y＝x³－2x²－1 B.y＝x²

C.y＝ －3 D.y＝x＋1

2.二次函数y＝(x－1)²＋2的最小值是(　　)

A.－2 B.2 C.－1 D.1

3.将抛物线y＝x²通过一次平移可得到抛物线y＝(x＋5)²，对这一平移过程描述正确的是(　　)

A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位

C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位

4.抛物线y＝x²－4x＋1与y轴交点的坐标是(　　)

A.(0，1) B.(1，0)

C.(0，－3) D.(0，2)

5.已知二次函数y＝x²＋2x＋4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是(　　)

A.x＞－1 B.x＜－1 C.x＞1 D.x＜1

6.在平面直角坐标系中，点A，B，C的位置如图所示，若抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)经过A，B，C三点，则下列关于抛物线性质的说法正确的是(　　)

(第6题)

A.开口向上 B.与y轴交于负半轴

C.顶点在第二象限 D.对称轴在y轴右侧

7.在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax²＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　　)

8.如图，已知抛物线y₁＝－x²＋4x和直线y₂＝2x，当y₁＜y₂时，x的取值范围是(　　)

(第8题)

A.0＜x＜2 B.x＜0或x＞2

C.x＜0或x＞4 D.0＜x＜4

9.已知抛物线y＝ x²－x＋2与直线y＝x－2如图所示，点P是抛物线上的一个动点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为(　　)

(第9题)

A. B. C.2 D.

10.已知抛物线y＝－(x－b)²＋2b＋c(b，c为常数)经过不同的两点(－2－b，m)，(－1＋c，m)，那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的(　　)

A.(－2，－7) B.(－1，－3)

C.(1，8) D.(2，13)

二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

11.若抛物线的顶点坐标为(0，3)，开口向下，则符合条件的抛物线对应的函数表达式为　　　　　.(写1个即可)

12.当x＝－2时，函数y＝x²－2x－6的值为　　　　.

13.如图是抛物线y＝－(x－1)²＋2，若－1＜x＜2，则y的取值范围是　　　　　　　.

(第13题)

14.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿BC向点C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么经过　　　　s，四边形APQC的面积最小.

(第14题)

15.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80 m，高度为200 m，则离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)为　　　　.

(第15题)

16.已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，a＋b＋c＝0.下列四个结论：

①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a；

②若b＝c，则方程cx²＋bx＋a＝0一定有根x＝－2；

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在抛物线上，若0＜a＜c，则当x₁＜x₂＜1时，y₁＞y₂.

其中正确的是　　　　　(填写序号).

三、解答题(本题共6小题，共70分)

17.(10分)如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.

(1)求a的值；

(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

(第17题)

18.(10分)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax²＋bx(a＞0)上.

(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(－1，y₁)，(2，y₂)，(4，y₃)在该抛物线上.若m＜0，n＞0，比较y₁，y₂，y₃的大小，并说明理由.

19.(12分)肉燕又称太平燕，是福建福州的一道著名的特色风味小吃，也是福州风俗中的喜庆名菜.福州人逢年过节，婚丧喜庆，亲友聚别，必吃“太平燕”，即取其“太平”“平安”之吉利，故“无燕不成宴，无燕不成年”.肉燕皮是用精肉配上淀粉等辅料制作而成，形似纸状，洁白光滑细润，散发出肉香，非常爽口.肉燕亦由此成为馈赠佳品，为福州人包括海外乡亲所钟情.已知每袋肉燕的成本为8元.按每袋10元出售时，平均每天售出300袋，单价每上涨0.5元，则平均每天的销售量会减少10袋，若该网店销售肉燕每天的利润为y元，每袋的售价为x元，请求出y与x的函数表达式，当x是多少时，y最大？最大是多少？

20.(12分)根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1	图①是某抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20 m，拱顶离水面5 m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高.
素材2	为迎佳节，拟在桥拱上悬挂40 cm长的灯笼，如图②.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.
问题解决
任务1	确定抛物线形桥拱的表达式	在图①中建立合适的直角坐标系，求抛物线的表达式.
任务2	探究悬挂范围	在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3	拟定设计方案	设计一种符合所有悬挂条件的灯笼数量的方案，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.

21.(12分)如图，已知抛物线y＝x²＋mx＋n经过(0，－3)，(2，－3)两点，与x轴交于A、B两点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点C为抛物线上一动点，且在第四象限，连结AC，BC.若∠ACB＝90°，求点C的坐标.

(第21题)

22.(14分)抛物线y＝ax²＋b经过点A(4，0)，B(0，－4)，直线EC经过点E(4，－1)，C(0，－3)，P是抛物线上点A，B间的动点(不含点A，B)，过点P作PD⊥x轴于点D，连结PC，PE.

(1)求抛物线与直线CE的表达式；

(2)求证：PC＋PD为定值；

(3)若△PEC的面积为1，请直接写出满足条件的点P的坐标.

参考答案

一、1.B　2.B　3.C　4.A　5.B　6.D　7.C　8.B　9.D　10.B

二、11.y＝－x²＋3(答案不唯一)　12.2

13.－2＜y≤2　14.3　15.40 m　16.①②④

三、17.解：(1)根据题意，得 ＝2，所以a＝3.

(2)y＝(x－1)(x－3)＝x²－4x＋3，

设平移后图象所对应的二次函数的表达式为

y＝x²－4x＋3－b，

把(0，0)代入，得b＝3.

所以平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝x²－4x.

18.解：(1)因为m＝3，n＝15，

所以点(1，3)，(3，15)在抛物线上.

将点(1，3)，(3，15)代入y＝ax²＋bx，得

解得

所以y＝x²＋2x＝(x＋1)²－1，

所以对称轴为直线x＝－1.

(2)y₂＜y₁＜y₃.理由如下：

因为点(－1，y₁)，(2，y₂)，(4，y₃)在抛物线上，

所以y₁＝a－b，y₂＝4a＋2b，y₃＝16a＋4b.

因为m＜0，n＞0，

所以a＋b＜0，9a＋3b＞0.

所以y₁－y₂＝a－b－(4a＋2b)＝－3a－3b＝－3(a＋b)＞0，y₁－y₃＝a－b－(16a＋4b)＝－15a－5b＝－ (9a＋3b)＜0，所以y₁＞y₂，y₁＜y₃，所以y₂＜y₁＜y₃.

19.解：由题意得y＝(x－8) ＝(x－8)(500－20x)＝－20x²＋660x－4 000＝－20 ＋1 445.

因为－20＜0，所以当x是 时，y最大，最大是1 445.

20.解：任务1：以拱顶为原点，建立如图①所示的直角坐标系，

(第20题)

则抛物线的顶点为(0，0)，且经过点(10，－5).

设该抛物线的表达式为y＝ax²(a≠0)，

则－5＝100a，所以a＝－ ，

所以抛物线的表达式是y＝－ x².

任务2：因为水位再涨1.8 m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1 m，灯笼长40 cm＝0.4 m，

所以y≥－5＋1.8＋1＋0.4＝－1.8，

所以悬挂点的纵坐标的最小值是－1.8.

当y＝－1.8时，－1.8＝－ x²，

解得x₁＝6，x₂＝－6，

所以悬挂点的横坐标的取值范围是－6≤x≤6.

任务3：(答案不唯一)如图②(坐标系的横轴)，从原点O处开始悬挂灯笼.

(第20题)

因为－6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m，

所以若原点一侧挂4盏灯笼，则1.6×4＞6，

若原点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3＜6，

所以原点一侧最多可挂3盏灯笼.

3×2＋1＝7(盏)，

所以方案为：原点O处挂1盏灯笼，两侧每间距1.6 m各挂3盏灯笼，共挂7盏灯笼.

最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是－3×1.6＝－4.8.

21.解：(1)因为抛物线y＝x²＋mx＋n经过(0，－3)，(2，－3)两点，所以 解得

所以抛物线的表达式为y＝x²－2x－3.

(2)由(1)知y＝x²－2x－3，

令y＝0，则x²－2x－3＝0，

解得x₁＝－1，x₂＝3.

所以A(－1，0)，B(3，0).

作CH⊥x轴于点H，

因为∠ACB＝90°，

所以∠HCB＋∠HCA＝90°.

因为CH⊥x轴，

所以∠HAC＋∠HCA＝90°，

所以∠HAC＝∠HCB.

又因为∠AHC＝∠CHB＝90°，

所以△HAC∽△HCB，

所以 ＝ ，所以CH²＝AH·BH.

因为点C为抛物线上一动点，且在第四象限，

所以设C(t，t²－2t－3)，

所以AH＝t－(－1)＝t＋1，BH＝3－t，CH＝－(t²－2t－3)，

所以[－(t²－2t－3)]²＝(t＋1)(3－t)，

化简得t²－2t－2＝0，

解得t＝1± .

因为点C在第四象限，

所以t＞0，

所以t＝1＋ ，

此时t²－2t－3＝(1＋ )²－2×(1＋ )－3＝－1，

所以点C的坐标为(1＋ ，－1).

22.(1)解：将A(4，0)，B(0，－4)的坐标代入y＝ax²＋b，得 解得

所以抛物线的表达式为y＝ x²－4.

设直线CE的表达式为y＝mx＋n，

将E(4，－1)，C(0，－3)的坐标代入y＝mx＋n，

得 解得

所以直线CE的表达式为y＝ x－3.

(2)证明：设点P ，0＜t＜4，

如图，过点P作PF⊥y轴于点F，

则PF＝t，FC＝ ＝ ，PD＝4－ t²，

则PC＝ ＝ ＝ t²＋1，

所以PC＋PD＝ ＋ ＝5，为定值.

(第22题)

(3)解：满足条件的点P的坐标为(1＋ ， －3)，(1＋ ， －2).