期中学情评估

一、选择题(每题3分，共30分)

1．行驶在水平路面上的汽车，若把路看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

2．若将函数y＝－9x²的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是(　　)

A．y＝－9(x＋2)²－5

B．y＝－9(x－2)²－5

C．y＝－9(x＋2)²＋5

D．y＝－9(x－2)²＋5

3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，P是半径OB上一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9

(第3题)　　　 (第5题)

4．下列关于抛物线y＝(x＋2)²＋6的说法正确的是(　　)

A．开口向下

B．顶点坐标为(2，6)

C．对称轴是直线x＝2

D．与y轴的交点为(0，10)

5．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液体的最大深度CD＝2 cm，则截面圆中弦AB的长为(　　)

A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm

6．已知二次函数y＝－x²－2mx－m²＋m＋2(m为常数)的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是(　　)

A．m<2 B．m≥2

C．m>－2 D．m≤－2

7．二次函数y＝－kx²－k²与反比例函数y＝(k为常数且k≠0)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　)

8．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4 ，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点E，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是(　　)

(第8题)

A．4π－8 B．8π－8

C．8π－16 D．16π－16

9．如图，隧道的截面由抛物线和矩形OABC构成．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－x²＋2x＋4表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8 m．那么两排灯的水平距离是(　　)

A．2 m B．4 m

C．4 m D．4 m

(第9题)　　 (第10题)

10．如图，等腰直角三角形ABC内接于⊙O，直径AB＝2 ，D是圆上一动点，连接AD，CD，BD，且CD交AB于点G.下列结论：①DC平分∠ADB；②∠DAC＝∠AGC；③当DB＝2时，四边形ADBC的周长最大．其中正确的个数为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题(每题3分，共18分)

11．已知y＝(m－1)x^|m|＋1＋2x－3是二次函数，则m的值为________．

12．如图，AB，AC，BC是⊙O的弦，连接OA.若AB＝OA，则∠C＝________．

(第12题)　　 (第14题)

13．已知点M(－1，2)和点N都在抛物线y＝x²－2x＋c上，如果MN∥x轴，则线段MN的长度为________．

14．如图，△ABC中，AB＝AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径作⊙O与边AC相切于点A，若BC＝9，则弦AB的长为________．

15．如图，已知AB与CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，A，C，O在同一直线上，公路宽AC＝20 m，则弯道外边线比内边线多________m(结果保留π)．

(第15题)　　 (第16题)

16．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②b＝2a；③3a＋c＞0；④a＋c＞b＋2；⑤x＝5和x＝－7时函数值相等，其中正确的是________(填序号)．

三、解答题(第17～18题每题6分，第19～21题每题8分，第22题10分，第23题12分，第24题14分，共72分)

17．已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且该抛物线经过点(3，3)．求该抛物线的表达式．

18．如图，已知二次函数y＝x²－4x＋3的图象与坐标轴分别交于点A，B与C.

(1)求点A，B，C的坐标；

(2)直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围．

(第18题)

19．如图，⊙O的直径AB＝20，弦AC＝12，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．

　(第19题)

20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝30°，AB＝2，点D为AC的中点．

(第20题)

(1)求⊙O的半径；

(2)求∠DAC的度数．

21．如图，正五边形ABCDE的边长为6，以点B为圆心，线段AB为半径画圆．

(1)求∠ACB的度数；

(2)求AC的长度．

　(第21题)

22．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

(1)求w与x之间的函数表达式；

(2)当这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不得高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

23．如图，AC是⊙O的直径，P为AC的中点，连接AP并延长至点B，使PB＝AP，连接CP，CB，OP.

(第23题)

(1)求证：BC为⊙O的切线；

(2)若AC＝4，求图中阴影部分的面积．

24．已知抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点A(0，－5)和点B(3，－2)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，⊙P在运动过程中，是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上，当⊙Q与两坐标轴都相切时，求半径r.

答案

一、1. B　2. C　3. D　4. D　5. C　6. C　7. A　8. C

9. D　点拨：y＝－x²＋2x＋4＝－(x－6)²＋10.当y＝8时，8＝－(x－6)²＋10，解得x₁＝6＋2 ，x₂＝6－2 .则x₁－x₂＝4 .所以两排灯的水平距离是4 m.

10. D　

二、11. －1

12. 30°　点拨：连接OB，由AB＝OA＝OB可知△OAB是等边三角形，∴∠O＝60°，∴∠C＝30°.

13. 4

14. 3 　点拨：如图，连接OA.

(第14题)

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B.

∵AC是⊙O的切线，

∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，

∴∠B＋∠C＋∠OAB＝90°，

∴∠C＝30°，

∴OA＝OC＝OB.

∵BC＝9，∴OB＋OC＝OB＋2OB＝9，

∴OB＝OA＝3，∴OC＝6，

∴AB＝AC＝＝3 .

15. 8π

16. ②④⑤　点拨：因为抛物线开口向下，所以a＜0.

因为抛物线与y轴的交点在x轴上方，

所以c＞0，所以ac＜0，所以①错误；

因为抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1，

所以b＝2a，所以②正确；

当x＝1时，a＋b＋c＝3a＋c，由图象得3a＋c＜0，

所以③错误；

因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，

所以x＝－1时，y最大，即a－b＋c＞2，

所以a＋c＞b＋2，所以④正确；

因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，

所以x＝5和x＝－7时函数值相等，所以⑤正确．

三、17. 解：因为抛物线的顶点坐标是(2，1)，

所以设该抛物线的表达式为y＝a(x－2)²＋1.

因为该抛物线经过点(3，3)，

所以3＝a×(3－2)²＋1，解得a＝2.

所以该抛物线的表达式是y＝2(x－2)²＋1.

18. 解：(1)令y＝0，则x²－4x＋3＝0.

解得x₁＝1，x₂＝3.由题图可知点A在点B的右侧，

所以点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(1，0)．

当x＝0时，y＝3，所以点C的坐标为(0，3)．

(2)当函数值y＜0时，自变量x的取值范围为1＜x＜3.

19. 解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∴在Rt△ABC中，BC＝＝16.

∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠ACD＝∠DCB＝45°.

∵∠DBA＝∠ACD，∠DAB＝∠DCB，

∴∠DBA＝∠DAB＝45°，

∴AD＝BD.

在Rt△ABD中，sin ∠DBA＝sin 45°＝，

∴AD＝×AB＝10 ，

∴AD＝BD＝10 .

20. 解：(1)∵BC为⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°.

∵∠ACB＝30°，AB＝2，

∴BC＝2AB＝4，

∴⊙O的半径为2.

(2) ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠B＋∠D＝180°.

∵∠B＝90°－30°＝60°，

∴∠D＝120°.

∵点D为AC的中点，

∴AD＝CD，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴∠DAC＝＝30°.

21. 解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，

∠B＝∠BCD＝∠D＝∠E＝∠BAE.

∵正五边形ABCDE的内角和为180°×(5－2)＝540°，

∴∠B＝＝108°.

∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠BAC.

∴∠ACB＝(180°－108°)÷2＝36°.

(2)∵正五边形ABCDE的边长为6，

∴⊙B的半径AB＝6.

又∵∠B＝108°，

∴AC的长度为＝.

22. 解：(1)由题意得w＝(x－30)·y＝(x－30)(－x＋60)＝－x²＋30x＋60x－1 800＝－x²＋90x－1 800，

即w与x之间的函数表达式为w＝－x²＋90x－1 800.

(2)由(1)知w＝－x²＋90x－1 800＝－(x－45)²＋225.

因为－1＜0，所以当x＝45时，w取得最大值，最大值是225.

答：当这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．

(3)当w＝200时，－x²＋90x－1 800＝200，

解得x₁＝40，x₂＝50(不符合题意，舍去)．

答：销售单价应定为40元．

23. (1)证明：∵AC是⊙O的直径，

∴∠APC＝90°，

∴∠BPC＝90°.

∵P为AC的中点，

∴AP＝CP，

∴AP＝CP，

∴∠PAC＝∠PCA＝45°.

∵PB＝AP，

∴PC＝PB，

∴∠PCB＝∠PBC＝45°，

∴∠ACB＝∠PCA＋∠PCB＝90°，

∴AC⊥BC，

∴BC为⊙O的切线．

(2)解：∵∠PAC＝∠PBC＝45°，AC＝4，

∴BC＝AC＝4，OA＝OP＝2.

∵PC＝AP，OA＝OC，∴AC⊥OP，

∴S_阴影＝S_△ABC－S_△AOP－S_扇形OPC

＝×4×4－×2×2－＝6－π.

24. 解：(1)由题意，得

解得

所以抛物线的表达式为y＝－x²＋4x－5.

(2)存在．设P(x，y)，①由⊙P与x轴相切得 y＝±1.

当y＝1时，－x²＋4x－5＝1，方程无实数解．

当y＝－1时，－x²＋4x－5＝－1，解得x₁＝x₂＝2，

所以当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为(2，－1)．

②由⊙P与y轴相切得x＝±1.当x＝1时，y＝－1＋4－5＝－2，即圆心P的坐标为(1，－2)．

当x＝－1时，y＝－1－4－5＝－10，即圆心P的坐标为(－1，－10)．所以当⊙P与y轴相切时，圆心P的坐标为(1，－2)或(－1，－10)．综上，圆心P的坐标为(2，－1)，(1，－2)或(－1，－10)．

(3)由题意，得圆心Q(r, －r²＋4r－5)，由⊙Q与两坐轴都相切，得－r²＋4r－5＝r①或－r²＋4r－5＝－r②.①无解，②解得r₁＝，r₂＝，所以⊙Q与两坐标轴都相切时，半径r为或.