【324626】2024九年级数学下学期期中测试（新版）北师大版

期中测试

(时间：100分钟　　满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是( D )

A． B． C． D．

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

2．当二次函数y＝x²＋4x＋9取最小值时，x的值为( B )

A．1 B．－2 C．2 D．9

3．在二次函数y＝－x²＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( A )

A．x<1 B．x>1 C．x<－1 D．x>－1

4．在△ABC中，把三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角A的正弦值( C )

A．缩小为原来的 B．扩大为原来的5倍

C．不变 D．不能确定

5．(2023·长春)学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC＝25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC＝32米)，则彩旗绳AB的长度为( D )

A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米

6．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的表达式可能是( C )

A．y＝x²－2x＋3 B．y＝－x²－2x＋3

C．y＝－x²＋2x＋3 D．y＝－x²＋2x－3

7．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30 m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50 m，测得山坡DF的坡度i＝1∶1.25.若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为(参考数据：≈1.41，≈1.73)( C )

A．9.0 m B．12.8 m C．13.1 m D．22.7 m

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

8．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为p.OP与x轴正方向的夹角为a，则用[p，a]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为(1，1)，则其极坐标为[，45°]；若M的坐标为(－1，－1)，则其极坐标为[，225°].若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为( A )

A．(2，2) B．(2，－2) C．(2，2) D．(2，2)

9．(淄博中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin ∠CEF的值为( A )

A． B． C． D．

10．(2023·聊城)已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1.下列结论：①3a＋c>0；②若点(－4，y₁)，(3，y₂)均在二次函数图象上，则y₁>y₂；③关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根；④满足ax²＋bx＋c>2的x的取值范围为－2<x<0.其中正确结论的个数为( B )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB＝____．

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝2，则AB的长是__5__．

13．某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为__438__米．(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)

14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x²的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x＞0)，写出y关于x的函数表达式为__y＝x²__．

sup7()　　　sup7()

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D恰好落在边BC上．若△BDE是直角三角形，则CF的长为__或__．

三、解答题(共75分)

16．(8分)计算：＋tan60°.

解：原式＝＋＝1＋

17．(9分)如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos ∠ABC＝，BF为AD边上的中线．

(1)求AC的长；

(2)求tan ∠FBD的值．

解：(1)∵cos ∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得AC＝＝＝6，即AC的长为6

(2)如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，

∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan ∠FBD＝＝＝

18．(9分)已知二次函数y＝－x²＋2x＋m.

(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；

(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

解：(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝2²＋4m＞0，∴m＞－1

(2)∵二次函数的图象过点A(3，0)，∴0＝－9＋6＋m.∴m＝3.∴二次函数的表达式为y＝－x²＋2x＋3.令x＝0，则y＝3，∴B(0，3).设直线AB的表达式为y＝kx＋b，∴解得∴直线AB的表达式为y＝－x＋3.∵抛物线y＝－x²＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，∴把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2.∴P(1，2)

19．(9分)某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价为16万元．当每辆售价为22万元时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆汽车降价的费用y₁(万元)与月销售量x(辆)(x≥4)满足某种函数关系的五组对应数据如下表：

(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y₁与x的关系式y₁＝__x－2(x≥4)__；

(2)每辆汽车原售价为22万元，不考虑其他成本，降价后每月销售利润y＝(原售价－y₁－进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量x(x≥4)为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？

解：(1)由题意可知：y₁与x成一次函数关系，设y₁＝kx＋b(k≠0)，∵x＝4时，y₁＝0，x＝6时，y₁＝1，∴解得∴y₁＝x－2(x≥4).故答案为：y₁＝x－2(x≥4)

(2)由(1)得：y₁＝x－2(x≥4)，∴y＝[22－(x－2)－16]x＝－x²＋8x＝－(x－8)²＋32，∴x＝8时，y_最大＝32，答：月销售量为8辆时，最大销售利润为32万元

20．(9分)(2023·邵阳)我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000 m，仰角为23°，9 s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度．(结果精确到1 m/s.参考数据：sin 23°≈0.39，cos 23°≈0.92，tan 23°≈0.42)

解：由题意可得：∠PAO＝23°，∠QAO＝45°，AP＝5000 m，则PO＝AP sin 23°≈5000×0.39＝1950(m)，AO＝AP cos 23°≈5000×0.92＝4600(m)，∴OQ＝AO＝4600 m，∴PQ＝OQ－OP＝4600－1950＝2650(m)，则火箭从P处到Q处的平均速度为：2650÷9≈294(m/s)，答：火箭从A处到B处的平均速度约为294 m/s

21．(10分)如图，点A、B在y＝x²的图象上．已知A，B的横坐标分别为－2，4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB.

(1)求直线AB的函数表达式；

(2)求△AOB的面积；

(3)若函数y＝x²的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有__4__个．

解：(1)∵点A，B在y＝x²的图象上，A，B的横坐标分别为－2，4，∴A(－2，1)，B(4，4)，设直线AB的表达式为y＝kx＋b，∴解得∴直线AB的函数表达式为y＝x＋2

(2)在y＝x＋2中，令x＝0，则y＝2，∴C的坐标为(0，2)，∴OC＝2，∴S_△AOB＝S_△AOC＋S_△BOC＝×2×2＋×2×4＝6

(3)过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P₁、P₂，此时△P₁AB的面积和△P₂AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P₁P₂关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P₃、P₄，此时△P₃AB的面积和△P₄AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为：4

22．(10分)(2023·营口)为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程．(参考数据：≈1.41，≈2.45)

解：如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，

由题意得：∠ACD＝25°，∠BCD＝55°，∠FAB＝20°，AB＝1000米，CD∥FA，∴∠CAF＝∠ACD＝25°，∴∠BAC＝∠FAB＋∠CAF＝45°，∠ACB＝∠BCD－∠ACD＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos45°＝1000×＝500(米)，BE＝AB·sin45°＝1000×＝500(米)，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，∴BC＝2BE＝1000(米)，CE＝BE＝500(米)，∴AC＝AE＋CE＝(500＋500)米，∴AC－BC＝500＋500－1000＝500－500≈520(米)，∴甲组同学比乙组同学大约多走520米的路程

23．(11分)如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M，P，Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)把A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)代入y＝ax²＋bx＋c，得解得∴抛物线的表达式为y＝x²－4x＋3　(2)设直线BC的表达式为y＝mx＋n，将B(3，0)，C(0，3)代入y＝mx＋n，得解得∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.设P点坐标为(t，t²－4t＋3)，则Q点坐标为(t，－t＋3)，∴PQ＝－t＋3－(t²－4t＋3)＝－t²＋3t＝－(t－)²＋.∴当t＝时，PQ的值最大，最大值为　(3)∵y＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2.∵点M是对称轴与直线BC的交点，∴将x＝2代入y＝－x＋3，得y＝－2＋3＝1，即M(2，1).∵PQ∥y轴，∴∠PQB＝∠OCB.∴以M，P，Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况：△PMQ∽△OBC或△MPQ∽△OBC.①当△PMQ∽△OBC时，∠QPM＝∠COB＝90°，即PM⊥PQ，∴y_p＝y_M＝1.将y_p＝1代入y＝x²－4x＋3，得x²－4x＋3＝1.解得x₁＝2－，x₂＝2＋(舍去).∴此时P(2－，1)；②当△MPQ∽△OBC时，∠QMP＝∠COB＝90°，即PM⊥BC.∵PM⊥BC，∠CBO＝45°，∴直线PM与y轴的较小夹角为45°.∴k_PM＝1.∴可设直线PM的表达式为y＝x＋d.将M(2，1)代入y＝x＋d，得2＋d＝1，解得d＝－1，∴y＝x－1.联立解得(舍去)∴此时P(1，0).综上所述，存在点P，使以点M，P，Q为顶点的三角形与△CBO相似，P点坐标为(2－，1)或(1，0)