期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2023·南宁二中期中]计算sin 30°的值是(　　)

A． B． C． D．

2．(母题：教材P6练习T2)反比例函数y＝的图象位于(　　)

A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、四象限

3．若△ABC∽△A′B′C′，其相似比为3∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长比为(　　)

A．3∶2 B．9∶4 C．2∶3 D．4∶9

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值为(　　)

A． B． C． D．

5．[2023·日照]如图所示的几何体的俯视图是(　　)

6．[2023·石家庄二十三中月考]在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象可能是(　　)

7.如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中的图形的高度为

6 cm，则屏幕上图形的高度为(　　)

A ．6 cm

B．12 cm

C．18 cm

D．24 cm

8．如图，菱形ABCD的边长为6，E是AB的中点，CG平分∠ECD交BA的延长线于点G，交AD于点F，若CE＝CB，则AF的长是(　　)

A．4 B．3 C．2.5 D．2

9．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2 km.从A站测得船C在北偏东45°的方向，从B站测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　　)

A．4 km B．(2＋)km C．2km D．(4－)km

10．[2023·苏州]如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD＝DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E.设△OAC的面积为S₁，△OBE的面积为S₂，若＝，则tan∠ACO的值为(　　)

A． B． C． D．

二、填空题(每题3分，共24分)

11.写出一个反比例函数y＝(k≠0)，使它的图象在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，这个函数的解析式为____________．

12．在△ABC中，|2cos A－1|＋(－tan B)²＝0，则△ABC的形状是_______________．

13．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC交BC于点E，若AC＝5，DE＝3，则BE＝________．

14．(母题：教材P41练习T1)在某一时刻，测得一根高为2 m的竹竿的影长为1 m，同时测得一栋建筑物的影长为12 m，那么这栋建筑物的高度为________m.

15．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1∶1，斜坡AC的坡面长度为8 m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为________．

16．(母题：教材P102习题T5)如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数是________________．

17．[2023·深圳]如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好经过点C，则k＝________．

18．已知如图，M(m，0)是x轴上的动点，⊙M的半径r＝2，若⊙M与直线

y＝x＋2相交，则m的取值范围是__________．

三、解答题(19题6分，20题10分，24题14分，其余每题12分，共66分)

19．(母题：教材P69习题T3)计算：tan 30°＋cos245°－(sin 30°－1)⁰.

2 0．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.

(1)求证：△AOB∽△COE；

(2)求证：BO²＝EO·FO.

21．[2022·南充]如图，直线AB与双曲线交于A(1，6)，B(m，－2)两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．

(1)求直线AB与双曲线的解析式；

(2)求△ABC的面积．

22．由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体的俯视图如图，方格中的数字表示该位置上小立方块的个数．

(1)请在如图的方格纸中分别画出该几何体的主视图和左视图；

(2)根据三视图，求这个几何体的表面积．

2 3．[2023·聊城]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．∠ADC的平分线DE交AC于点E，以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E.

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若CD＝12，tan ∠ABC＝，求⊙O的半径．

24．[2023·嘉兴]图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图②，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160 cm，识别的最远水平距离OB＝150 cm.

(1)身高208 cm的小杜，头部高度为26 cm，他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？

(2)身高120 cm的小若，头部高度为15 cm，踮起脚尖可以增高3 cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图③)，此时小若能被识别吗？请通过计算说明．(精确到0.1 cm，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)

答案

一、1．B　2．C　3．A　4．D　5．C

6．C【点拨】分k＞0和k＜0讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可．

7．C

8．D【点拨】由菱形的性质、角平分线的定义，可得∠ECG＝∠G，由等角对等边可得CE＝EG，进而可得AG＝AE＝EG＝CD＝3，证明△GAF∽△CDF，则

＝，即＝，计算求解即可．

9．B

10．A　【点拨】如图，过点C作CH⊥AO于点H.

∵CD＝BD，∴∠COD＝∠BOE.

∵∠A＝∠COB，

∴∠A＝∠BOE.

∵＝，即＝，

∴＝.

∵∠A＝∠BOE，∴tan A＝tan∠BOE.

∴＝，即＝＝.

设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO，

∴OH＝3m－2m＝m.∴CH＝＝2m.

∴tan A＝ ＝＝.

∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.∴tan∠ACO＝.

故选A．

二、11．y＝(答案不唯一)　

12．等边三角形　【点拨】先根据非负数的性质得2cos A－1＝0，－tan B＝0，再根据三角函数作答．

13．　14．24　15．4 m

16．6或7或8

17．4 【点拨】如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.

∵BA⊥OA，CB⊥OB，∴∠OAB＝∠OBC＝90°.

∵∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝，

∴OB＝2AB＝2，BC＝OC，∠COE＝90°－30°－30°＝30°.

在Rt△OBC中，OB²＋BC²＝OC²，∴12＋OC²＝OC².∴OC＝4.

∴CE＝OC＝2，∴OE＝＝2.

∴点C(2，2)，∴k＝2×2＝4.

18．－6＜m＜2　【点拨】如图，当点M′在x轴正半轴且⊙M′与直线y＝x＋2相切于点C时，设直线y＝x＋2与x轴，y轴分别交于B，A，连接CM′，

∴∠BCM′＝90°，CM′＝2，A(0，2)，B(－2，0)．

∴AB＝＝2.

∵∠ABO＝∠M′BC，

∠AOB＝ ∠M′CB＝90°，

∴△AOB∽△M′CB．

∴＝，即＝.

∴M′B＝4.∴OM′＝2.∴M′(2，0)．

同理可求出当M在x轴负半轴且⊙M与直线y＝x＋2相切时M的坐标为(－6，0)，∴当⊙M与直线y＝x＋2相交时，m的取值范围是－6<m<2.

三、19.【解】原式＝×＋－1＝.

20．【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∴∠ABO＝∠CEO，∠BAO＝∠ECO.

∴△AOB∽△COE.

(2)∵△AOB∽△COE，

∴＝.易得AD∥BC，

∴∠AFO＝∠CBO，∠FAO＝∠BCO.

∴△AOF∽△COB．

∴＝.

∴＝.

∴BO²＝EO·FO.

21．【解】(1)设双曲线的解析式为y＝.

∵点A(1，6)在该双曲线上，

∴6＝，解得k＝6.

∴双曲线的解析式为y＝.

∵点B(m，－2)在双曲线y＝上，

∴－2＝，解得m＝－3.

∴B(－3，－2)．

设直线AB的解析式为y＝ax＋b，将A(1，6)，B(－3，－2)的坐标分别代入，

得

解得

∴直线AB的解析式为y＝2x＋4.

(2)如图，作BG∥x轴，CG∥y轴，CG与BG交于点G，作BE∥y轴，AE∥x轴，BE与AE交于点E，EA的延长线与GC的延长线交于点F，则四边形EBGF为矩形．

由点B(－3，－2)可得直线BO的解析式为y＝x.

解方程组得或

∴点C的坐标为(3，2)．

又∵A(1，6)，B(－3，－2)，

∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4.

∴S_△ABC＝S_矩形EBGF－S_△AEB－S_△BGC－S_△AFC＝8×6－－－＝48－16－12－4＝16.

22．【解】(1)画出的主视图与左视图如图．

(2)根据主视图可知，从前、后两个方向各看见5个小正方形；根据左视图可知，从左、右两个方向各看见4个小正方形；根据俯视图可知，从上、下两个方向各看见3个小正方形，∴这个几何体的表面积为1×1×(5＋4＋3)×2＝24.

23．(1)【证明】如图，连接OE，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE.

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE＝∠ODE.

∴∠OED＝∠CDE.∴OE∥CD．

∴∠AEO＝∠ACB．

∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°.

∴OE⊥AC．

∴AC是⊙O的切线．

(2)【解】如图，过D作DF⊥AB于F.

∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，CD＝12，

∴DF＝CD＝12.

∵tan ∠ABC＝，

∴BF＝＝16.

∴BD＝＝20.

∴BC＝CD＋BD＝32.

∴AC＝BC·tan ∠ABC＝24.

∴AD＝＝12.

∵OE∥CD，∴∠AEO＝∠C，∠AOE＝∠ADC，

∴△AEO∽△ACD．∴＝.

即＝＝，

解得EO＝15－3.

∴⊙O的半径为15－3.

24．【解】(1)如图①，过点C作OB的垂线，交仰角线于点E，交水平线于点F，则AF＝OC＝130 cm，CF＝OA＝160 cm，CE⊥AF.

在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，

∴EF＝AF·tan 15°≈130×0.27＝35.1(cm)．

∴CE＝CF＋EF≈160＋35.1＝195.1(cm)．

∴小杜最少需要下蹲约208－195.1＝12.9(cm)才能被识别．

(2)如图②，过点B作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于M，N，交水平线于点P，则AP＝OB＝150 cm，BP＝OA＝160 cm.

在Rt△APM中，tan∠MAP＝.

∴MP＝AP·tan 20°≈150×0.36＝54.0(cm)．

∵∠MAP＝∠NAP，AP＝AP，∠APM＝∠APN＝90°，　

∴△AMP≌△ANP(ASA)．

∴PN＝MP≈54.0 cm.

∴BN＝BP－PN≈160－54.0＝106.0(cm)．

∵小若踮起脚尖后头顶的高度为120＋3＝123(cm)，

∴小若头顶超出点N的高度约为123－106.0＝17.0(cm)>15 cm.

∴踮起脚尖小若能被识别．