期末综合素质评价

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．下列事件属于必然事件的是(　　)

A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数

B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯

C．任意画一个三角形，其内角和是180°

D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形

2．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切

C．相离 D．无法确定

3．[2023·张家界]如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是(　　)

　

4．如图是某几何体的展开图，该几何体是(　　)

A．圆柱 B．三棱柱

C．圆锥 D．三棱锥

5. [2022·通辽] [母题·教材P₃₅习题A组T₁]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－1)²＋1的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为(　　)

A．y＝(x－2)²－1 B．y＝(x－2)²＋3

C．y＝x²＋1 D．y＝x²－1

6．[2023·石家庄模拟]如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD，将△ABC再次折叠，使BC边落在BA边上，展开后得到折痕BE，BE，AD交于点O.则以下结论一定成立的是(　　)

A．AO＝2OD

B．S_△ABO＝S_{四边形ODCE}

C．点O到△ABC三边的距离相等

D．点O到△ABC三个顶点的距离相等

7．已知抛物线y＝x²＋mx－1经过(－1，n)和(2，n)两点，则n的值为(　　)

A．－1 B．1 C．2 D．3

8．【2023·成都】为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是(　　)

A. B. C. D.

9．如图所示，平地上的一棵树高度为6 m，两次观察地面上树的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是当阳光与地面成30°角时，则第二次观察到的树的影子比第一次长(　　)

A．(6－3) m B．4 m

C．6 m D．(2－3) m

10．[2023·枣庄]二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示 ，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；

②方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；

③若(0，y₁)，是抛物线上的两点，那么y₁＜y₂；

④11a＋2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m(am＋b)≥a＋b.其中正确结论的个数是(　　)

A．5 B．4 C．3 D．2

11．【母题：教材P₈₀习题A组T₁】一个不透明的袋中装有标号分别为1，2，3，4的4个小球(小球除标号外其他均相同)．从袋中随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字．则组成的这个两位数是3的倍数的概率为(　　)

A. B. C. D.

12．【母题：教材P₂₂复习题A组T₉】如图，将直尺、含60°的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上的读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是(　　)

A．3 B．3 C．6 D．6

13．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积为(　　)

A．9π B．40π C．20π D．16π

14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(　　)

A．4 B．6.25 C．7.5 D．9

15．[2023·衡水二模]如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，DE上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为(　　)

A. B．2 C. D.

16. [2023·承德模拟] [新视角·结论探究题]如图，已知抛物线L：

y＝－tx²＋2(1－t)x＋4(常数t>0)与x轴分别交于点M(－2，0)和点N，与y轴交于点P，PQ∥x轴交抛物线L于点Q，作直线MP和OQ.甲、乙、丙三人的说法如下：

甲：若t＝2，则点Q的坐标为(－1，4)．

乙：若MN＝2PQ，则t的值有两个，且互为倒数．

丙：若OQ∥MP，点Q′是直线OQ上一点，点M到直线PQ′的最大距离为2.

下列判断正确的是(　　)

A．甲对，乙和丙错

B．乙对，甲和丙错

C．甲和丙对，乙错

D．甲、乙、丙都对

二、填空题(每题3分，共9分)

17．[2023·上海]一个二次函数y＝ax²＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是____________．

18．【母题：教材P₈₆复习题A组T₃】如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数为3的倍数”发生的概率为________．

19．[2023·泰安]为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按如图所示放置于桌面上，并量出AB＝4 cm，则这张光盘的半径是________cm.

(精确到0.1 cm，参考数据：≈1.73)

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分)

20．【母题：教材P₉₉习题A组T₁】由5个棱长一样的正方体组成的几何体如图所示，在指定的方格内画出该几何体从三个方向看到的视图．

21．如图，二次函数y＝x²＋bx＋c的图像与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点坐标是A(－2，0)．

(1)求二次函数的表达式；

(2)当y<0时，求x的取值范围．

22．如图，一棵树(AB)的高度为7.5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树的影长(BE)为10米，现在小明想要站在这棵树下乘凉，他的身高为1.5米，那么他最多可以离开树干多少米才能不被阳光晒到？

23．[2023·盐城三模]2023年5月2日，央视《非遗里的中国(江苏篇)》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力，淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位，小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人．

(1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择2号空座位的概率________；

(2)用画树形图或列表的方法，求小明和小军坐在相邻位置的概率．

24．[2022·本溪]如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF.

(1)求证：BF与⊙O相切；

(2)若AP＝OP，cos A＝，AP＝4，求BF的长．

25. [2023·十堰] [新考法·传承文化]“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．

(1)当x＝60时，p＝________；

(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？

(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．

26.如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为，且与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)．

(1)求抛物线的表达式及A，B两点的坐标．

(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求AP＋CP的最小值；若不存在，请说明理由．

(3)在以AB为直径的⊙M中，CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的表达式．

答案

一、1．C　2．A　3．D　4．B　5．D

6．C 【点拨】∵AD，BE是折痕，

∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴点O为△ABC的内接圆的圆心．如图所示，作OF⊥BC于F，OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质可得OF＝OG＝OH，即点O到△ABC三边的距离相等，故C选项符合题意．

7．B

8．B 【点拨】∵卡片共6张，其中水果类卡片有2张，∴恰好抽中水果类卡片的概率是＝.故选B.

9．B

10．C 【点拨】①根据图像可知，a＞0，c＜0，

∵对称轴是直线x＝1，∴－＝1，即b＝－2a.

∴b＜0，∴abc＞0.故①错误．

②方程ax²＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)图像与x轴的交点的横坐标，根据图像已知

－1＜x₁＜0，由抛物线的对称性可知2＜x₂＜3.故②正确．

③∵对称轴是直线x＝1，|0－1|＞，

∴点离对称轴更近，∴y₁＞y₂，故③错误．

④∵x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.

∵b＝－2a，∴a＋2a＋c＝3a＋c＞0，∴6a＋2c＞0.

∵a＞0，∴11a＋2c＞0，故④正确．

⑤由图像知，当x＝1时，y有最小值．

∴对于任意实数m，都有am²＋bm＋c≥a＋b＋c，

即m(am＋b)≥a＋b，

故⑤正确．

综上，②④⑤正确，故选C.

11．B

12．D 【点拨】

连接OA，OB，OC，如图．

根据题意有：AB＝7－4＝3，∠CAB＝120°，

∵AC，AB是⊙O的切线，

∴AC＝AB，∠ABO＝90°.

∵AO＝AO，OC＝OB，∴△AOC≌△AOB.

∴∠CAO＝∠BAO＝∠CAB＝60°.

∴OB＝AB×tan∠BAO＝3.

∴量角器的直径是6.

13．B

14．A 【点拨】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，

∴AB²＋CA²＝BC².

∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°.

∵AB，AC分别与⊙O相切于点F，E，

∴OF⊥AB，OE⊥AC.

又∵OE＝OF，

∴四边形OFAE为正方形．

设OE＝r，则AE＝AF＝r，

又∵△ABC的内切圆⊙O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，

∴BD＝BF＝5－r，CD＝CE＝12－r.

∴5－r＋12－r＝13.∴r＝2.

∴S_{正方形AEOF}＝2×2＝4.故选A.

15．D 【点拨】如图所示，连接OB，AC，OB与AC相交于点F，

在菱形OABC中，AC⊥BO，FO＝BF，∠COB＝∠BOA.

∵扇形DOE的半径为3，菱形OABC的边长为，

∴FO＝BF＝1.5，

∴cos∠FOC＝＝＝，∴∠FOC＝30°，

∴∠EOD＝2×30°＝60°，

∴lDE＝＝π.

设围成的圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝π，解得r＝.

∵圆锥的母线长为3，

∴此圆锥的高为＝.

16．D 【点拨】甲：当x＝0时，y＝4，

∴P的坐标为(0，4)．

∵PQ∥x轴，∴Q的纵坐标为4，

∴4＝－tx²＋2(1－t)x＋4，

∴x₁＝－2，x₂＝0，

∴Q的坐标为，

∴当t＝2时，Q的坐标为(－1，4)．

故甲正确；

乙：令y＝0，得0＝－tx²＋2(1－t)x＋4，

∴x＝＝，

∴x₁＝－2，x₂＝，∴N，

∴MN＝＋2.

∵MN＝2PQ，∴PQ＝＋1，

∴Q或.

当Q的坐标为时，

把Q的坐标代入抛物线表达式得

－t×＋2(1－t)＋4＝4，

整理得3t²＋2t－1＝0，

解得t₁＝，t₂＝－1(舍去)；

当Q的坐标为时，将其代入抛物线的表达式得

－t＋2(1－t)＋4＝4，

整理得t²－2t－3＝0，

解得t₃＝－1(舍去)，t₄＝3.

∴t的值有两个，且互为倒数．

故乙正确；

丙：∵点Q′是直线OQ上的一点，

∴点M到直线PQ′的最大距离为PM.

∵OM＝2，OP＝4，∠MOP＝90°，

∴PM＝＝2，

即点M到直线PQ′的最大距离为2.

故丙正确．故选D.

二、17. y＝－x²＋1(答案不唯一)　18.

19．6.9 【点拨】如图，设光盘的圆心为O，由题意可知AB，AC分别切⊙O于点B，C，连接OC，OB，OA.

∵AC，AB分别为⊙O的切线，

∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB.

∴∠OAC＝∠OAB＝∠CAB.

∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°.∴∠OAB＝60°.

在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，AB＝4 cm，tan∠OAB＝，

∴OB＝AB·tan∠OAB＝4 cm≈6.9 cm.

∴这张光盘的半径为6.9 cm.

三、20.解：这个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示：

21．解：(1)把点C的坐标(0，－6)代入y＝x²＋bx＋c，得c＝－6.

把点A的坐标(－2，0)代入y＝x²＋bx－6，

得0＝4－2b－6，解得b＝－1.

∴二次函数的表达式为y＝x²－x－6.

(2)由(1)知，二次函数的表达式为y＝x²－x－6.

令y＝0，得x²－x－6＝0，

解得x₁＝3，x₂＝－2.

结合函数图像得当y＜0时，x的取值范围是－2＜x＜3.

22．解：设小明在同一时刻在水平地面上形成的影长为x米，

则＝，

解得x＝2，10－2＝8(米)．

答：他最多可以离开树干8米才能不被阳光晒到．

23．解：(1)

(2)列表如下：

小军 小明	1	2	3	4
1	/	(1，2)	(1，3)	(1，4)
2	(2，1)	/	(2，3)	(2，4)
3	(3，1)	(3，2)	/	(3，4)
4	(4，1)	(4，2)	(4，3)	/

由表知，共有12种等可能的结果，其中小明和小军坐在相邻位置的结果有4种，∴小明和小军坐在相邻位置的概率为.

24．(1)证明：如图，连接OB.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.

∴∠ABD＝180°－∠ABC＝90°.

∵点F为DE的中点，∴BF＝DE＝EF.

∴∠FEB＝∠FBE.

∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP.

∵PD⊥AC，∴∠EPA＝90°.

∴∠A＋∠AEP＝90°.

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.∴∠OBA＋∠FBE＝90°，即∠OBF＝90°.

∵OB是⊙O的半径，∴BF与⊙O相切．

(2)解：在Rt△AEP中，cos A＝，AP＝4，

∴AE＝＝＝5.

∴PE＝＝＝3.

∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8.

∴PC＝OP＋OC＝12.

∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠AEP＝∠C.

∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC.

∴＝.∴＝，解得DP＝16.

∴DE＝DP－PE＝16－3＝13.

∴BF＝DE＝.

25．解：(1)400

(2)由题意可，得W＝(x－40)(－10x＋1 000)＝

－10x²＋1 400x－40 000＝－10(x－70)²＋9 000.

∵每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，

∴即

解得50≤x≤65.

∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8 750.

答：当每盒售价定为65元时，日销售利润W(元)最大，最大利润是8 750元．

(3)小强：∵50≤x≤65，

设日销售额为y元，则

y＝x·p＝x(－10x＋1 000)＝－10x²＋1 000x＝

－10(x－50)²＋25 000，

当x＝50时，y值最大，此时y＝25 000，

当x＝65时，W值最大，此时W＝8 750，

∴小强正确．

小红：当日销售利润不低于8 000元时，

即W≥8 000，

－10(x－70)²＋9 000≥8 000，

解得60≤x≤80.

∵50≤x≤65，

∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.

故小红错误，当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.

26．解：(1)由题意得抛物线的表达式为y＝a(x－4)²－(a≠0)．

∵抛物线经过点C(0，2)，

∴a(0－4)²－＝2，解得a＝.

∴y＝(x－4)²－，

即抛物线的表达式为y＝x²－x＋2.

当y＝0时，x²－x＋2＝0，

解得x₁＝2，x₂＝6，

∴A点的坐标为(2，0)，B点的坐标为(6，0)．

(2)存在，由(1)知，抛物线的对称轴l为直线x＝4，

如图，连接CB交直线l于点P，连接AP，

∵A，B两点关于直线l对称，

∴AP＝BP，

∴AP＋CP＝BC，此时AP＋CP的值最小．

∵B(6，0)，C(0，2)，

∴OB＝6，OC＝2.

∴BC＝＝2.

即AP＋CP的最小值为2.

(3)如图，连接ME，∵CE是⊙M的切线，

∴CE⊥ME，∴∠CEM＝90°.

∴∠COD＝∠DEM＝90°.

由题意，易得OC＝ME＝2，

∵∠ODC＝∠EDM，∴△COD≌△MED.

∴DC＝DM.

设OD＝x，∵OM＝4，

∴CD＝DM＝OM－OD＝4－x.

∵在Rt△COD中，OD²＋OC²＝CD².

∴x²＋2²＝(4－x)².

∴x＝.∴D.

设直线CE的表达式为y＝kx＋b′(k≠0)，

∵直线CE经过C(0，2)，D两点，

∴解得

∴直线CE的表达式为y＝－x＋2.