期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2023·湖南郴州模拟]下列事件中是必然事件的是(　　)

A．翻开教材恰好翻到68页

B．任意画两条直线，这两条直线必相交

C．在一个只装有白球的盒子里摸出黑球

D．三角形的内角和等于180°

2．(母题：教材P125动脑筋)小玲参加综合知识竞赛活动，现有语文题6道、数学题5道、综合题9道，她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是(　　)

A． B． C． D．

3．若二次函数y＝x²＋bx＋5配方后为y＝(x－2)²＋k，则b，k的值分别为(　　)

A．0，5 B．0，1 C．－4，5 D．－4，1

4．[2023·自贡]如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是(　　)

A．41° B．45° C．49° D．59°

5．设A(－2，y₁)，B(1，y₂)，C(2，y₃)是抛物线y＝－(x＋1)²＋a上的三点，则y₁，y₂，y₃的大小关系是(　　)

A．y₁>y₂>y₃ B．y₁>y₃>y₂ C．y₃>y₂>y₁ D．y₃>y₁>y₂

6．如图，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中的图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为(　　)

A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．24 cm

7．[2023·营口]如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是(　　)

8．[2023·广安]如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是(　　)

A ．π－2

B．2π－2

C．2π－4

D．4π－4

9．[2023·乐山]如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(m，0)，且1＜ m＜2，有下列结论：①b＜0；②a＋b＞0；③0＜a＜－c；④若点C，D在抛物线上，则y₁＞y₂.其中正确的结论有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

10．[2023·长沙雅礼实验中学月考]如图，AC是圆O的直径，AC＝4，∠ACB＝60°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD＋BD的最小值为(　　)

A．2 B． C．2 D．4

二、填空题(每题3分，共24分)

11．[2023·岳阳一中模拟]100件某种产品中有5件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是________．

12．二次函数y＝－(x＋2)²－1中，当x________时，y随x的增大而减小．

13．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点A，D，AC＝5，CB＝12，则AD＝________．

14．(母题：教材P111练习T2)如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体有________个．

15．[2023·菏泽]如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________(结果保留π)．

16．(母题：教材P104习题T4)如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12 cm，底面圆半径为3 cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于________cm²(精确到1 cm²)．

17．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，则水面下降1米时，水面的宽度为________米．

18．[2023·宁波]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD，BE＝3，BD＝3.P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为________．

三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)

1 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．

(1)求证：AB＝CD；

(2)若∠A＝66°，求∠ADB的度数．

20．如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且AC＝17.2 m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长 AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．

(1)楼房的高度约为多少米？(结果精确到0.1 m)

(2)过了一会儿，当α＝45°时，小猫能否晒到太阳？请说明理由．(参考数据： ≈1.732)

21．[2023·湖南师大附中期中]整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此湖南师大附中教育集团某校教务处就这种优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查．设计的调查问题是对自己做错的题目进行整理、分析、改正情况；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图(如图)．

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)填空：a＝________%，b＝________%，“常常”对应扇形的圆心角度数为________；

(2)补全条形统计图；

(3)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位学生恰好组合成功(即“很少“和“总是”的两人为一组)的概率．

22．2023年是中国农历癸卯兔年．春节前，某商场进货员打算购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8 800元购进的“吉祥兔”的数量是用4 000元购进的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．

(1)“吉祥兔”“如意兔”每件的进价分别是多少元？

(2)该商场把“如意兔”的销售价定为每件60元，每天可卖80件．调研发现，如果调整价格，每降价1元，每天可多卖10件．如何定价才能使“如意兔”的利润最大？最大利润是多少？

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E是AC的中点，OE交CD于点F，连接DE.

( 1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD的长；

(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(3)求证：2CE²＝AB·EF.

24．[2023·常德]如图，二次函数的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，tan∠ACO＝.

(1)求二次函数的表达式；

(2)求四边形ACDB的面积；

(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．

答案

一、1．D　2．C　3．D

4．C 【点拨】由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA＝41°，进而可计算出∠ABC的度数．

5．A

6．C　7．B

8．C 【点拨】在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，

∴∠A＝∠B＝45°，

∴阴影部分的面积S＝S_扇形CAE＋S_扇形CBF－S_△ABC

＝×2－×2×2

＝2 π－4.

故选C.

9．B 【点拨】∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴－＞0，

∴b＜0，故①正确；

∵抛物线经过点A(－1，0)，∴a－b＋c＝0，∴c＝b－a，

∵当x＝2时，y＞0，∴4a＋2b＋c＞0，∴4a＋2b＋b－a＞0，

∴3a＋3b＞0，∴a＋b＞0，故②正确；

∵a－b＋c＝0，∴a＋c＝b，

∵b＜0，∴a＋c＜0，

∴0＜a＜－c，故③正确；

∵点C到对称轴的距离比点D到对称轴的距离近，∴y₁＜y₂，故④错误．

故选B.

10．B 【点拨】作BK∥CA，DE⊥BK于点E，OM⊥BK于点M，连接OB.在Rt△DBE中，易得DE＝BD，则OD＋BD＝OD＋DE，根据垂线段最短可知，点E与点M重合时，OD＋BD的值最小，最小值为OM的长，则在Rt△BOM中求OM即可．

二、11．　12．＞－2

13．　14．4　15．6π　16．113

17．2 【点拨】建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线顶点C的坐标为(0，2)，B(2，0)．设抛物线的表达式为y＝ax²＋2，将B点坐标代入，解得a＝－，故y＝－x²＋2.当y＝－1时，x＝±.故水面的宽度为2米．

1 8．2或6 【点拨】如图，连接OD.∵以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，OA＝OE＝OD，∴∠ODB＝90°.设OA＝OE＝OD＝r，∵BE＝3，BD＝3，则OB＝OE＋BE＝3＋r.

在Rt△ODB中，OD²＋BD²＝OB²，

即r²＋(3)²＝(3＋r)²，解得r＝6，

∴OA＝OE＝OD＝6，∴OB＝9，AB＝15，AE＝12.

∵∠C＝∠ODB＝90°，∴OD∥AC，∴＝＝＝.

∵DB＝3，∴CD＝2，∴BC＝DB＋CD＝5，

∴AC＝＝10，

∴AD＝＝2.

∵△ADP为等腰三角形，当AD＝AP时，AP＝2.

当PA＝PD时，∵OA＝OD，∴点P与点O重合，∴AP＝OA＝6，不存在 PD＝AD的情况．

综上，AP的长为2或6.

【点方法】连接OD，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出CD的长，勾股定理求出AC和AD的长，分AP＝AD和AP＝PD两种情况进行求解即可．

三、19．(1)【证明】∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB.∴AB＝BC.

∵OC⊥BD，∴BC＝CD.∴AB＝CD.∴AB＝CD.

(2)【解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BCD＝180°－∠A＝114°.

∵BC＝CD，∴BC＝CD.

∴∠BDC＝×(180°－114°)＝33°.

∴∠ADB＝∠BDC＝33°.

20．【解】(1)当α＝60°时，在Rt△ABE中，

tan 60°＝＝，

∴AB＝10·tan 60°＝10≈10×1.732≈17.3(m)，

即楼房的高度约为17.3 m.

(2)当α＝45°时，小猫能晒到太阳．理由如下：

假设没有台阶，如图，当α＝45°时，设过点B的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H.

∵∠BFA＝45°，∴tan45°＝＝1.

∴此时的影长AF＝AB≈17.3 m.

∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．

易得CH＝CF≈0.1 m<0.2 m.

∴楼房的影子落在台阶MC这个侧面上．∴小猫能晒到太阳．

21．【解】(1)12；36；108° 【点拨】调查的总人数是44÷22%＝200(人)，a＝24÷ 200＝12%，b＝72÷200＝36%.

“常常”对应扇形的圆心角度数为360°×30%＝108°.

(2)补全条形统计图如图所示：

(3)画树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，则所选两位同学恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率是＝.

22．【解】(1)设“如意兔”每件的进价为x元，

则“吉祥兔”每件的进价为(x＋4)元，

由题意，得＝2×，解得x＝40，

经检验x＝40是原方程的解，∴x＋4＝44.

答：“吉祥兔”“如意兔”每件的进价分别是44元和40元．

(2)设“如意兔”的销售价定为每件a元，总利润为w元，由题意，

得w＝(a－40)[80＋(60－a)×10]，

整理得w＝－10a²＋1 080a－27 200(40≤a≤60)，

∴w＝－10(a－54)²＋1 960(40≤a≤60)．

∵－10<0,

∴当a＝54时，w有最大值为1 960，

∴定价为每件54元，才能使“如意兔”的利润最大，最大利润是1 960元．

23．(1)【解】在⊙O中，∵BC＝10，

∴OB＝5.连接OD.

∵∠BCD＝36°，∴∠BOD＝72°.

∴BD的长为＝2π.

(2)【解】直线DE与⊙O相切．

理由：∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°.

∵E是AC的中点，O是BC的中点，

∴OE为△ABC的中位线．

∴OE∥AB.

∴∠OFC＝∠BDC＝90°.

易知CF＝FD.

∴OE垂直平分CD.∴CE＝DE.

又∵OD＝OC，OE＝OE，

∴△ODE≌△OCE.

∴∠ODE＝∠OCE.

∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝90°.

又∵OD为⊙O的半径，

∴直线DE与⊙O相切．

(3)【证明】∵OE∥AB，∴∠A＝∠OEC.

易知∠EFC＝∠ACB＝90°，

∴△ABC∽△ECF.∴＝.

∵E是AC的中点，∴2CE＝AC.

∴2CE²＝AB·EF.

24．【解】(1)∵A(－1，0)，∴AO＝1，

又∵tan∠ACO＝＝，

∴OC＝5，∴点C的坐标为(0，5)．

设二次函数的表达式为y＝ax²＋bx＋c，

∵二次函数的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点且过C(0，5)，

∴解得

∴二次函数的表达式为y＝－x²＋4x＋5.

( 2)∵y＝－x²＋4x＋5＝－(x－2)²＋9，

∴顶点D的坐标为(2，9)．如图①，过点D作DN⊥AB于点N，作DM⊥OC于点M，则

四边形ACDB的面积＝S_△AOC＋S_矩形OMDN－S_△CDM＋S_△DNB＝× 1×5＋2×9－×2×(9－5)＋×(5－2)×9＝30.

(3)如图②，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F.

∵ OC＝OB＝5，∴BC＝5 .

∵∠ACO＝∠PBC，

∴tan∠ACO＝tan∠PBC，

即＝＝，∴CE＝，

∴△EFC是等腰直角三角形，

∴FC＝FE＝1，

∴E的坐标为(1，6)，

∴过B，E的直线表达式为y＝－x＋.

令解得或

∴直线BE与抛物线的两个交点为B(5，0)，

P，即所求P点的坐标为.