期末综合素质评价(二)
一、选择题(每题3分，共36分)
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
2．【2023·泰安泰山区期末】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝54°，则∠ACB的度数是( )
A．54° B．27° C．36° D．108°
3．【2023·东营东营区期末】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则BE的值为( )
A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．8 cm
4．【2023·潍坊潍城区期末】如图，点I为△ABC的内切圆的圆心，连接BI并延长交△ABC的外接圆于点D，连接AD，AI，若BD＝7，AD＝5，则BI的长为( )
A．1 B．2 C．2.5 D．3.5
5．【2023·青岛第四十中学期末】在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，盒子中白色球的个数可能是( )
A．24个 B．18个 C．16个 D．6个
6．【跨学科】如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在▱APBC中，∠C＝40°，若⊙O与PA，PB相切于点A，B，则∠CAB＝( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．【2023·聊城】如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为，则其侧面展开图的面积为( )
A.π B．2π C．3π D．4π
9．【2023·临沂罗庄区期末】如图，某游乐场矗立起一座摩天轮，其直径为90 m，旋转1周用时18 min.小明从摩天轮的底部B(与地面相距0.5 m)出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68 m及以上的空中的时间是( )
A．3 min B．5 min C．6 min D．9 min
10．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A．24－4π B．12＋4π
C．24＋8π D．24＋4π
11．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，分别过A，B两点作PE的垂线AC，BD，垂足为C，D，连接AM，下列结论正确的有( )
①AM平分∠CAB；②AM2＝AC·AB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则BM的长为；
④若AC＝3，BD＝1，则CM＝DM＝.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD＝，AC＝3.则DE长为( )
A. B．2 C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径， ∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为________．
14．某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如下表．由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为________．(精确到0.01)
抽查数n |
1 000 |
2 000 |
3 000 |
4 000 |
5 000 |
合格品数m |
957 |
1 926 |
2 868 |
3 844 |
4 810 |
合格品频率 |
0.957 |
0.963 |
0.956 |
0.961 |
0.962 |
15.【2023·重庆B卷】有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________．
16．如图，小杨将一个直角三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5 cm，AB＝3 cm，则⊙O的半径为__________．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，则CE的长是________．
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN的周长的最小值是________．
三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，且点C是AB的三等分点，AD＝6，BD＝8.求BC的长．
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD.
(1)求证：AB＝CD.
(2)若∠A＝66°，求∠ADB的度数．
21．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25.
(1)估计摸到白球的概率为________．
(2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个．
(3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
22．【2023·枣庄】如图，AB为⊙O的直径，点C是AD的中点，过点C作射线BD的垂线，垂足为E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若BE＝3，AB＝4，求BC的长；
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积(用含有π的式子表示)．
23．每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对九年级全体学生答题成绩进行了统计，将成绩分为优秀、良好、一般、不合格四个等级，并绘制成如下不完整的统计图．请根据图①②中所给的信息解答下列问题：
(1)该校九年级共有________名学生，图②中“优秀”所对应扇形的圆心角的度数为________．
(2)请将图①补充完整．
(3)已知该市共有15 000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校九年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次活动中成绩不合格．
(4)该校德育处从九年级答题成绩为前四名的学生甲、乙、丙、丁中随机抽取2名参加全市现场禁毒知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出有甲参加的概率．
24.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，∠DAB＝60°.点P从点A出发，以2 cm/s的速度，沿AC向C做匀速运动．与此同时，点Q也从点A出发，以2 cm/s的速度，沿射线AB做匀速运动．当P运动到C点时，P，Q都停止运动．设点P运动的时间为t s.
(1)当P异于A，C时，请说明PQ∥BC；
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
答案
一、1.B
2．C 【点拨】在△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝54°，
∴∠ABO＝∠BAO＝54°.
∴∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAO＝72°.
∴∠ACB＝∠AOB＝36°.
3．A 【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴OB＝OC＝5 cm.
∵弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝4 cm.
在Rt△OCE中，OE＝＝＝3(cm)．
∴BE＝OB－OE＝5－3＝2(cm)．
4．B 【点拨】∵点I为△ABC的内切圆的圆心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC.
∴∠IAB＝∠IAC，∠IBA＝∠IBC.
∵∠IAD＝∠IAC＋∠DAC，∠AID＝∠IAB＋∠IBA，
∠DAC＝∠DBC，
∴∠IAD＝∠AID.∴ID＝AD＝5.
∴BI＝BD－ID＝7－5＝2.
5．B 【点拨】盒子中白色球可能有60×(1－30%－40%)＝60×30%＝18(个)．
6．A 【点拨】画树状图如图所示．共有12种等可能的结果，任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种结果，∴小灯泡发光的概率为＝.
7．D 【点拨】∵⊙O与PA，PB相切于点A，B，
∴PA＝PB.
∵四边形APBC是平行四边形，∠C＝40°，
∴∠PAC＝180°－∠C＝140°，四边形APBC是菱形．
∴∠CAB＝∠PAC＝70°.
8．C 【点拨】如图，记原大圆锥的顶点为A.
由题意得O1B∥OC，易知△AO1B∽△AOC，
∴＝，即＝，解得AO1＝，
∴AO＝2，AB＝＝，
∴AC＝＝2，
∴其侧面展开图的面积为2×2π－1×π＝3π.
9．C 【点拨】如图，设小明在C点和D点时距离地面68 m，连接OC，OD，CD，延长AO交CD于M，
易知OM⊥CD，小明在CD上的时间即为所求．
由题意知，AB＝0.5 m，AM＝68 m，OB＝OD＝＝45(m)，
∴OM＝68－45－0.5＝22.5(m)．
∴＝＝cos∠MOD.
∴∠MOD＝60°.∴∠COD＝120°.
∵摩天轮旋转1周用时18 min，
∴小明在离地面68 m及以上的空中的时间是18×＝6(min)．
10．A 【点拨】如图，设正六边形的中心为O，连接OA，OB，则∠AOB＝60°.
∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴OA＝AB＝4.
易得S△AOB＝4，
∴S弓形AB＝S扇形AOB－S△AOB＝－4＝π－4.
易得S阴影＝6(S半圆形－S弓形AB)，
∴S阴影＝6＝24－4π.
11．C
12．B 【点拨】连接OD，CD.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝，AC＝3.∴CD＝.
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB.
∴＝，∴BC＝＝＝4.
∵DE是切线，∴∠CDE＋∠ODC＝90°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.
∵∠OCD＋∠DCB＝90°，
∴∠BCD＝∠CDE.∴DE＝CE.
∵∠B＋∠DCB＝90°，∠CDE＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE.
∴DE＝BC＝×4＝2.
二、13.40° 【点拨】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°－∠ADC＝180°－130°＝50°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠CAB＝90°－∠B＝90°－50°＝40°.
14．0.96
15. 【点拨】列表如下，
|
清 |
风 |
朗 |
月 |
清 |
清清 |
清风 |
清朗 |
清月 |
风 |
风清 |
风风 |
风朗 |
风月 |
朗 |
朗清 |
朗风 |
朗朗 |
朗月 |
月 |
月清 |
月风 |
月朗 |
月月 |
由上表可知共有16种等可能的结果，抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有4种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是＝.
16．3.4 cm 【点拨】连接BC，过点O作OH⊥BC于点H，则CH＝BC.
在Rt△ACB中，BC＝＝＝(cm)，
∴CH＝BC＝ cm.
∵∠OCH＝∠BCA，∠OHC＝∠BAC＝90°，
∴△COH∽△CBA.
∴＝，即＝，
解得OC＝3.4 cm，即⊙O的半径为3.4 cm.
17.π 【点拨】连接AE，BE，∵AE＝BE＝AB，∴△ABE是等边三角形．∴∠EBA＝60°.∴AE的长是＝.∵AC的长是＝2π，∴CE的长为2π－＝π.
18．4 【点拨】如图，连接AC，可知AC过点O.
∵⊙O的面积为2π，
∴⊙O的半径为.
∴AC＝2.
过点C作CA′∥BD，且CA′＝MN＝1，连接CM，A′N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC.
∴AM＝CM，∠AOD＝90°.
∵A′C∥MN，A′C＝MN，
∴∠OCA′＝∠AOD＝90°，四边形MCA′N是平行四边形．
∴A′N＝CM＝AM.
∴△AMN的周长＝AM＋AN＋MN＝A′N＋AN＋1.
∴当A′，N，A三点共线时，△AMN的周长最小，此时△AMN的周长＝A′A＋1.
在Rt△ACA′中 ，A′A＝＝＝3.
∴△AMN的周长的最小值是3＋1＝4.
三、19.【解】∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10.
∵点C是AB的三等分点，∴∠BOC＝×180°＝60°.
∴∠BAC＝∠BOC＝30°.∴BC＝AB＝×10＝5.
20．(1)【证明】∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB.∴AB＝BC.
∵OC⊥BD，∴BC＝CD.
∴AB＝CD.∴AB＝CD.
(2)【解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°－∠A＝114°.
∵BC＝CD，∴BC＝CD.
∴∠CDB＝×(180°－114°)＝33°.
∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝33°.
21．【解】(1)0.25
(2)60×0.25＝15(个)，60－15＝45(个)．
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个．
(3)设需要往盒子里再放入x个白球．
根据题意得＝，解得x＝15.
经检验，x＝15是原方程的解．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
22．(1)【证明】连接OC.
∵点C是AD的中点，∴AC＝CD.∴∠ABC＝∠EBC.
∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB.
∴∠EBC＝∠OCB，∴OC∥BE.
∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
(2)【解】连接AC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ACB＝∠CEB＝90°.
又∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB.
∴＝，即＝，
∴BC＝2(负值已舍去)．
(3)【解】连接OD，CD.
∵AB＝4，∴OC＝OB＝2.
在Rt△BCE中，cos∠CBE＝＝＝，
∴∠CBE＝30°.∴∠COD＝60°.
又∵AC＝CD，
∴∠AOC＝∠COD＝60°.
∵∠COD＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形．
∴∠OCD＝60°，∴∠OCD＝∠AOC.
∴CD∥AB.∴S△COD＝S△CBD.
∴S阴影＝S扇形COD＝＝π.
23．【解】(1)500；108°
(2)500－150－200－50＝100(人)．
如图．
(3)15 000×＝1 500(名)．
答：估计该市大约有1 500名学生在这次活动中成绩不合格．
(4)画树状图如图．
共有12种等可能的结果，其中有甲参加的结果有6种，
所以有甲参加的概率为＝.
24．【解】(1)∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为4 cm，
∴AB＝BC＝4 cm，∠BAC＝∠DAB.
又∵∠DAB＝60°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°.
如图①，连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC.∴OB＝AB＝2 cm.
∴OA＝2 cm.∴AC＝2OA＝4 cm.
运动t s时，AP＝2t cm，AQ＝2t cm，
∴＝.
又∵∠PAQ＝∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.
∴∠APQ＝∠ACB.∴PQ∥BC.
(2)如图②，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC.
在Rt△CPM中，∵∠PCM＝30°，
∴PM＝PC＝(2－t)cm.
易得PM＝PQ＝AQ，∴2－t＝2t，
解得t＝4－6，此时⊙P与边BC有1个公共点；
如图③，连接PB.⊙P过点B，此时PQ＝PB，
∵∠PQB＝∠PAQ＋∠APQ＝60°，
∴△PQB为等边三角形．∴QB＝PQ＝AQ＝2cm.
∴2t＝2，∴t＝1.
∴当4－6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
如图④，⊙P过点C，
此时PC＝PQ＝AQ，即4－2t＝2t，
∴t＝3－.
∴当1<t≤3－时，⊙P与边BC有1个公共点．
当点P运动到点C，即t＝2时，⊙P过点B，
此时，⊙P与边BC有1个公共点．
∴当t＝4－6或1＜t≤3－或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点；
当4－6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
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