期末检测题

(时间：100分钟　　满分：120分)

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．(2023·贵州)如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是( A )

2．如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( A )

A．OA·CD＝AB·OD B．＝

C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C

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)　　sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)

3．在△ABC中，若∠A，∠B均为锐角，且|sin A－|＋(1－tan B)²＝0，则∠C的度数是( C )

A．45° B．60° C．75° D．105°

4．(2023·湘潭)如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝(k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为2.则k的值是( A )

A．2 B．－2 C．1 D．－1

5．若两个点(x₁，2)，(x₂，4)均在反比例函数y＝的图象上，且x₁＞x₂，则k的值可以是( A )

A．3 B．2 C．1 D．－1

6．如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒50 cm处准备了一支蜡烛，其中纸筒长为10 cm，蜡烛长为15 cm，则这支蜡烛所成像的高度为( B )

A．2.5 cm B．3 cm C．3.75 cm D．5 cm

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC，垂足为点E.若sin A＝，AB＝6，则△CDE的周长为( A )

A．4＋2 B．4＋4 C．6＋2 D．6＋4

8．如图，大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝4 m，坝高AE＝6 m，斜坡AB的坡度i＝1∶，斜坡DC的坡角∠C＝45°，那么坝底BC的长度是( D )

A．6 m B．(6＋4) m C．10 m D．(6＋10) m

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9．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为(2，3)，点E的横坐标为－1，则点P的坐标为( A )

A．(－2，0) B．(0，－2) C．(－，0) D．(0，－)

10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G.点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E.连接AD，DE，若CF＝2，AF＝3.给出下列结论：①AD²＝AF·AE；②FG＝2；③tan E＝；④S_△DEF＝4.其中正确的是( A )

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．如图，在△ABC中，点D在AB上(不与点A，B重合)，连接CD.只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是__∠ACD＝∠B__(写出一个即可).

12．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y₁，y₂，则y₁＋y₂的值为__0__．

13．如图，是一几何体的三视图，根据图中数据，这个几何体的侧面积是__60π__cm².

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)　　　sup7(
)　　　sup7(
)

14．(2023·眉山)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是__(6＋6)__海里．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，则AF的长为____.

三、解答题(共75分)

16．(8分)计算：

(1)2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos²45°；

解：原式＝2×＋4××－6×()²＝1＋2－6×＝1＋2－3＝0

(2)2cos30°－＋.

解：原式＝2×－＋1－＝－1＋1－＝

17．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E.求证：△ABF∽△COE.

证明：∵OE⊥OB，∠BAC＝90°，∴∠BOA＋∠COE＝90°，∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE，∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠DAC＝90°，∴∠BAF＝∠C.∴△ABF∽△COE

18．(9分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BF平分∠ABC交AD于点E，BC＝5，AD＝4，sin C＝.

(1)求sin ∠BAD的值；

(2)求线段EF的长．

解：(1)∵AD⊥BC，AD＝4，sin C＝，∴＝＝，解得AC＝2，在Rt△ACD中，CD＝＝2，∵BC＝5，∴BD＝BC－CD＝5－2＝3，在Rt△ABD中，AB＝＝5，∴sin ∠BAD＝＝　(2)∵AB＝BC＝5，BF平分∠ABC，∴BF⊥AC，AF＝AC＝，∴∠AFE＝∠ADC＝90°，又∵∠EAF＝∠CAD，∴△AEF∽△ACD，∴＝，即＝.解得EF＝

19．(9分)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A₁B₁C，使△A₁B₁C与△ABC的相似比为2∶1，并写出点A₁的坐标；

(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A₂B₂C；

(3)在(2)的条件下，求出点B所经过的路径长．

解：(1)如图，△A₁B₁C为所作，点A₁的坐标为(3，－3)

(2)如图，△A₂B₂C为所作

(3)CB＝＝，所以点B所经过的路径长为：＝π

20．(10分)(2023·东营)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a＜0)与反比例函数y＝(k≠0)交于A(－m，3m)，B(4，－3)两点，与y轴交于点C，连接OA，OB.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求△AOB的面积；

(3)请根据图象直接写出不等式＜ax＋b的解集．

解：(1)∵点B(4，－3)在反比例函数y＝的图象上，∴－3＝.∴k＝－12.∴反比例函数的解析式为y＝－.∵A(－m，3m)在反比例函数y＝－的图象上，∴3m＝－.∴m₁＝2，m₂＝－2(舍去).∴点A的坐标为(－2，6).∵点A，B在一次函数y＝ax＋b的图象上，把点A(－2，6)，B(4，－3)分别代入，得∴∴一次函数的解析式为y＝－x＋3　(2)∵点C为直线AB与y轴的交点，∴OC＝3.∴S_△AOB＝S_△AOC＋S_△BOC＝OC·|x_A|＋OC·|x_B|＝×3×2＋×3×4＝9　(3)由题意，得x＜－2或0＜x＜4

21．(10分)(2023·苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E.

(1)求证：△DBE∽△ABC；

(2)若AF＝2，求ED的长．

解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC　(2)过点C作CG⊥AB，垂足为G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵CG⊥AB，∴AG＝AC cos A＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB－AF＝5－2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ED＝

22．(10分)(2023·重庆)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：≈1.41，≈1.73)

(1)求AD的长度；(结果精确到1千米)

(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

解：(1)过D作DF⊥AE，垂足为F，

由题意得：四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14(千米).∴AD的长度约为14千米　(2)小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan30°＝24×＝8(千米)，EB＝2AE＝16千米，按路线①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB＝14＋14＋10＝38(千米)，按路线②A－E－B走的路程为AE＋EB＝8＋16≈24×1.73＝41.52(千米)∵38千米＜41.52千米，∴小明应该选择线路①

23．(12分)(1)【问题发现】

如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合．则线段BE与AF的数量关系为__BE＝AF__；

(2)【拓展研究】

在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3)【问题解决】

当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

解：(1)∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵点D为BC的中点，∴AD＝BC＝2，∵四边形ADCF是正方形，∴AF＝AD＝2，∴BE＝AF，故答案为：BE＝AF

(2)无变化，理由如下：∵△ABC和△ECF是等腰直角三角形，∴＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠BCE＝∠ACF，∴△BCE∽△ACF，∴＝＝，∴BE＝AF，∴线段BE和线段AF的数量关系无变化

(3)①当点E落在BF上时，如图3，在Rt△BCF中，BF＝＝2，∴BE＝BF－EF＝2－2，由(2)知，BE＝AF，∴AF＝2－2；

②当点E在BF的延长线上时，如图4，同理得BE＝BF＋EF＝2＋2，由(2)知，BE＝AF，∴AF＝2＋2，综上可知，AF＝2－2或2＋2