期末检测

得分________　卷后分________　评价________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是( A )

　　　　 　　　　　　 　　　　　　

　　sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

2．如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是( D )

A．1 B． C． D．5

sup7(
) sup7(
) sup7(
)

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝，则BC等于( B )

A． B．1 C．2 D．3

4．若点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)都在函数y＝的图象上，且x₁＜0＜x₂，则( A )

A．y₁＜y₂ B．y₁＝y₂ C．y₁＞y₂ D．y₁＝－y₂

5．如图，点P(8，6)在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC顶点坐标缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的坐标为( A )

A．(4，3) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，4)

6．图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC²的值为( A )

A．＋1 B．sin²α＋1 C．＋1 D．cos²α＋1

7．如图，电线杆AB直立于地面BM，CD是一斜坡，其坡比为1∶2，AD是电线杆的一斜拉钢绳，已知BC＝(8－3)米，CD＝米，∠BAD＝45°，则电线杆AB的长为(A )

A．8米 B．10米 C．12米 D．9米

sup7(
) sup7(
) sup7(
) sup7(
)

8．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝(a＞1)的图象于A，B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，若S_△BCD＝5，则a的值为( D )

A．8 B．9 C．10 D．11

9．已知y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则y＝ax＋b和y＝的图象为( C )

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF，则GF的最小值是( D )

A．3 B．6 C．6 D．3

解析：过点F作FM⊥AD于M.∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，∴∠AGE＋∠AEG＝90°.∵EF⊥GE，∴∠AEG＋∠MEF＝90°，∴∠AGE＝∠MEF，∴△AEG∽△MFE，∴＝.设AG＝x.∵AD＝9，DE＝2AE，∴AE＝3，∴＝，∴ME＝2x，∴BF＝AM＝3＋2x.在Rt△GBF中，GF²＝GB²＋BF²＝(6－x)²＋(3＋2x)²＝5x²＋45.∵点G在线段AB上，∴0≤x≤6，由二次函数的性质可知，当x＝0时，GF²有最小值45，∴GF的最小值为3，故选D

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．如图，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为__42°__．

sup7(
)　　sup7(
)

12．如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A＝____．

13．长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的表面积是__66__．

sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

14．如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B.实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是45°，B点的俯角是60°，B点测得钉子P的仰角是45°，且OP长为4，则摆绳OA长为__4＋2＋2__．

15．如图，圆O与BC相切于点E，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，连接AE，∠AEF＝90°，则AF的值为____．

16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan ∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是__y＝－__．

解析：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H.∵tan ∠ABO＝＝3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，∴∠ABO＋∠CBT＝90°，∠CBT＋∠BCT＝90°，∴∠ABO＝∠BCT，∴△AOB≌△BTC(AAS)，∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，∴OT＝BT－OB＝2a，∴C(a，2a).∵点C在y＝上，∴2a²＝1.同法可证△CHD≌△BTC，∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，∴D(－2a，3a).设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有－2a×3a＝k，∴k＝－6a²＝－3，∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝－

三、解答题(共72分)

17．(8分)计算：2tan 45°－cos 30°sin 60°.

解：原式＝2×1－××＝2－1＝1

18．(8分)如图，是某几何体从三个方向分别看到的图形．

(1)写出这个几何体的名称__三棱柱__；

(2)若图①的长为15 cm，宽为4 cm；图②的宽为3 cm；图③直角三角形的斜边长为5 cm，那么这个几何体的所有棱长的和是多少？

解：(2)棱长和为(3＋4＋5)×2＋15×3＝69(cm)

19．(10分)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹．

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的6×6网格中，点A，B，C，D，O均在格点上．

(1)在图①中，以点O为位似中心，画△DEF，使△ABC与△DEF位似，且位似比为1∶2；

(2)在图②中的BD上找一点P，使△APB∽△CPD.

解：(1)如图①，△DEF为所作

(2)如图②，点P为所作

20．(10分)如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5 m，点F到地面的高度CF＝1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4 m，墙到木板的水平距离CD＝4 m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一平面上．

(1)求BC的长；

(2)求灯泡到地面的高度AG.

解：(1)由题意可得FC∥DE，则△BFC∽△BED，故＝，即＝，解得BC＝3 m

(2)∵AC＝5.4 m，∴AB＝5.4－3＝2.4(m).∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA.又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得AG＝1.2 m．答：灯泡到地面的高度AG为1.2 m

21．(12分)如图，已知反比例函数y₁＝(c≠0)和一次函数y₂＝kx＋b(k≠0)的图象相交于点A(－2，3)，B(3，a).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)将一次函数y₂向下平移5个单位长度后得到直线y₃，当y₂>y₁>y₃时，求x的取值范围．

解：(1)将A(－2，3)代入y₁＝，得c＝－6，∴反比例函数的解析式为y₁＝－.对于y₁＝－，当x＝3时，y＝－2，∴点B的坐标为(3，－2).将A(－2，3)，B(3，－2)代入y₂＝kx＋b，得解得∴一次函数的解析式为y₂＝－x＋1

(2)将一次函数y₂＝－x＋1向下平移5个单位长度后得到直线y₃＝－x－4，画出直线y₃＝－x－4，由题意得解得x₁＝－2，x₂＝－－2，由函数的图象可知：当y₂>y₁>y₃时，x的取值范围是－－2＜x<－2或－2<x<3

22．(12分)阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝，求AD的长．

小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②).

(1)请回答：AD的长为__6__．

(2)参考小红思考问题的方法，解决问题：

如图③，在四边形ABCD中，tan A＝，∠B＝∠C＝135°，AB＝9，CD＝3，求BC和AD的长．

解：

(2)如答图③，延长AB与DC相交于点E.∵∠ABC＝∠BCD＝135°，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴BE＝CE，∠E＝90°.设BE＝CE＝x，则BC＝x，AE＝9＋x，DE＝3＋x.在Rt△ADE中，∠E＝90°，∵tan A＝，∴＝，即＝，∴x＝3.经检验，x＝3是所列方程的解，且符合题意，∴BC＝3，AE＝12，DE＝6，∴AD＝＝＝6

23．(12分)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合).以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)当DE∥AB时(如图②)，则AE＝____；

(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE

(3)存在某个位置，使得DF＝CF.理由：作FH⊥BC于点H，AM⊥BC于点M，

AN⊥FH于点N.则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN.∵AB＝20，tan B＝＝，∴易得AM＝12，BM＝16.∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝16.∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD.∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴＝＝tan ∠ADF＝tan B＝，∴AN＝AM＝×12＝9，∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形．∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14，∴BD＝BC－CD＝32－14＝18，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18