期末测试
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，则AC＝( B )
A．3 B．9 C．10 D．15
sup7() sup7() sup7()
2．抛物线y＝x2－6x＋3的顶点坐标为( A )
A．(3，－6) B．(3，12) C．(－3，－9) D．(－3，－6)
3．(2023·广东)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝( B )
A．20° B．40° C．50° D．80°
4．已知α为锐角，sin (α－20°)＝，则α＝( D )
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．将抛物线y＝－x2－2x＋3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( B )
A．(－2，2) B．(－1，1) C．(0，6) D．(1，－3)
6．如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10米，则旗杆BC的高度为( A )
A．5米 B．6米 C．8米 D．(3＋)米
7．(泸州中考)在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为( A )
A． B． C．16π D．64π
8．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( D )
9．(2023·武汉)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD长为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若＝，则sin C的值是( B )
A． B． C． D．
sup7() sup7() sup7() sup7()
10．如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB，AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为( D )
A．4 B． C． D．5
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．计算：2sin60°＝____．
12．二次函数y＝x2的图象开口方向是__向上__(填“向上”或“向下”).
13．如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是__y＝x2＋2x＋3__．
14．(2023·成都)为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 __184__名观众同时观看演出．(π取3.14，取1.73)
15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1.下面结论：①abc＜0；②2a＋b＝0；③3a＋c＞0；④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0.其中正确的是__①②④__．(只填序号)
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝3.求tan B的值．
解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°.∵∠C＝60°，AC＝2，∴CD＝AC·cos60°＝1，AD＝AC·sin60°＝.∵BC＝3，∴BD＝3－1＝2.∴tan B＝＝
17．(9分)如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点M，且点M是半径OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．
解：连接OC，∵直径AB⊥CD，∴CM＝DM＝CD＝3 cm.∵M是OB的中点，∴OM＝OB＝OC.由勾股定理，得OC2＝OM2＋CM2，∴OC2＝OC2＋32.解得OC＝2.∴直径AB的长为4cm
18．(9分)已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象经过原点，当x＝1时，函数有最小值为－1.
(1)求这个二次函数的表达式，并画出图象；
(2)利用图象填空：这条抛物线的开口向__上__，顶点坐标为__(1，－1)__，对称轴是直线__x＝1__，当__0≤x≤2__时，y≤0.
解：(1)∵当x＝1时，函数有最小值为－1，∴二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－1.∵二次函数的图象经过原点，∴(0－1)2·a－1＝0，∴a＝1.∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2－1.函数图象如图所示
19．(9分)(南通中考)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC.
(1)求∠B的度数；
(2)若AB＝2，求的长．
解：(1)连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAD＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠OAC＝35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC＋∠B＝90°，∴∠B＝90°－∠OAC＝90°－35°＝55°
(2)连接OE，∵⊙O的直径AB＝2，∴OA＝1，∵∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°，∴的长为：＝
20．(9分)(2023·内江)某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长(结果保留根号).
解：设点B到AD的距离为BG，在Rt△ABG中，BG＝AB sin ∠BAG＝30×＝15(米)，设BF＝x米，则CF＝x米，EF＝(x－4)米，在Rt△CEF中，sin ∠CEF＝＝，即＝，∴x＝6＋2，∴CD＝DF＋CF＝15＋6＋2＝(21＋2)米
21．(10分)(2023·随州)如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AE＝2，sin ∠AFD＝，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
解：(1)连接OC，∵AD⊥DF，∴∠D＝90°，∵点C是的中点，∴＝，∴∠DAC＝∠CAB，∴OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线 (2)①过点O作OG⊥AE，垂足为G，
∴AG＝EG＝AE＝1，∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠DGO＝90°，∵∠D＝∠AGO＝90°，∴OG∥DF，∴∠AFD＝∠AOG，∵sin ∠AFD＝，∴sin ∠AOG＝sin ∠AFD＝，在Rt△AGO中，AO＝＝＝3，∴⊙O的半径为3 ②∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝180°－∠OCF＝90°，∵∠OGE＝∠D＝90°，∴四边形OGDC是矩形，∴OC＝DG＝3，∵GE＝1，∴DE＝DG－GE＝3－1＝2，∴线段DE的长为2
22．(10分)(2023·临沂)综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
|
售价(元/盆) |
日销售量(盆) |
A |
20 |
50 |
B |
30 |
30 |
C |
18 |
54 |
D |
22 |
46 |
E |
26 |
38 |
数据整理：
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价(元/盆) |
18 |
20 |
22 |
26 |
30 |
日销售量(盆) |
54 |
50 |
46 |
38 |
30 |
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价之间的关系；
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
解：(2)观察表格可知销售量是售价的一次函数．设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx＋b，把(18，54)，(20，50)代入得：解得∴y＝－2x＋90 (3)①∵每天获得400元的利润，∴(x－15)(－2x＋90)＝400，解得x＝25或x＝35，∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元 ②设每天获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1350＝－2(x－30)2＋450，∵－2<0，∴当x＝30时，w取最大值450，∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元
23．(11分)(2023·株洲)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0).
(1)若a＝1，c＝－1，且该二次函数的图象过点(2，0)，求b的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，∠DOF＝∠DEO，OF＝DF.
①求证：＝；
②当点E在线段OB上，且BE＝1.⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝－a2－b2，求2a＋b的值．
解：(1)∵a＝1，c＝－1，∴二次函数解析式为y＝x2＋bx－1，∵该二次函数的图象过点(2，0)，∴4＋2b－1＝0，解得b＝－
(2)①∵∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO，∴△DOF∽△DEO，∴＝，∴＝，∵OF＝DF，∴＝ ②∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜0＜x2，∴OA＝－x1，OB＝x2，∵BE＝1.∴OE＝x2－1，∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，∴OD＝－2x1，∵＝，∴＝，∴3x1＋x2－1＝0，即x2＝1－3x1①，∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，∴x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∵4ac＝－a2－b2，a≠0，∴4·＋1＋()2＝0，即4(x1x2)＋1＋(x1＋x2)2＝0②，①代入②，即4x1(1－3x1)＋1＋(x1＋1－3x1)2＝0，即4x1－12x12＋1＋1＋4x12－4x1＝0，整理得－8(x1)2＝－2，∴x12＝，解得x1＝－(正值舍去)，∴x2＝1－(－)＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝＝＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝0
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