第一章　直角三角形的边角关系

得分________　卷后分________　评价________

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列三角函数中，结果为的是( D )

A．cos 30° B．tan 30° C．sin 60° D．cos 60°

2．在如图所示的方格网中，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan ∠ACB的值为( A )

A． B． C． D．3

sup7()　　sup7()　　sup7()　　sup7()

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝8，AC＝6，则cos A的值为( D )

A． B． C． D．

4．如图，已知一座高AB＝6 m的过街天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为( A )

A．10 m B．8 m C．6 m D．5 m

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则sin A的值为( D )

A． B． C． D．

6．如图，点P在第二象限，OP与x轴负半轴的夹角是α，且OP＝10，tan α＝，则点P的坐标是( B )

A．(6，8) B．(－6，8) C．(－8，6) D．(－6，10)

7．一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知AB＝4 m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为( A )

A．(4＋4sin α)m B．(4＋4cos α)m

C．(4＋)m D．(4＋)m

8．一个高1 m的正方体木箱沿坡角为α的斜面下滑至如图所示位置时，AB＝2 m，则此时木箱的端点D距地面的高度为( C )

A．(2tan α＋cos α)m B．(2tan α＋sin α)m

C．(2sin α＋cos α)m D．(2sin α＋tan α)m

sup7()　　　　sup7()　　　　sup7()

9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P(1，1)，则tan ∠OAP的值为( C )

A． B． C． D．3

10．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan ∠BDE的值是( A )

A． B． C． D．

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，若AB＋AC＝6，则AC＝__2___．

12．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，点B(0，3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则sin ∠BCO＝____．

sup7()　　sup7()　　sup7()　　sup7()

13．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明的眼睛与地面的距离AB＝1.7 m，视线AD与水平线的夹角为α，他与篮板底的距离BC＝5 m，若tan α＝0.3，则点D到地面的距离CD＝__3.2__m.

14．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过它的顶点C，交边AB于点D，若sin B＝，S_△OCD＝6，则k的值为__4__．

15．在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos (α＋β)的值为____．

三、解答题(共75分)

16．(6分)计算：

(1)2tan45°－－2sin²60°＋；

解：原式＝2×1－－2×()²＋

＝2－2－＋

＝0　　(2)tan60°－(4－π)⁰＋2cos30°＋()^－1.

解：原式＝－1＋2×＋4

＝－1＋＋4

＝2＋3

17．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．

解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，∴b＝＝＝2，sin A＝＝＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°

18．(8分)如图所示的是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4 m，BC＝1.26 m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)

解：延长CD交AE于点F，则四边形BCFE为矩形，∴CF＝BE，EF＝BC＝1.26 m．又∵在Rt△ACF中，AF＝AC·sin ∠ACF＝10.4sin 70°≈9.78(m)，∴AE＝AF＋EF≈9.78＋1.26≈11(m)，∴楼AE的高度约为11 m

19．(9分)如图，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30 m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10 m到达B处时，测得∠EBC＝48°，若仪器的高度忽略不计，求广告牌ED的高度(结果保留小数点后一位)(参考数据：≈1.732，sin 48°≈0.743，cos 48°≈0.669，tan 48°≈1.111)．

解：∵在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝30 m，∴CD＝AC·tan ∠DAC＝30tan 30°＝30×＝10(m).又∵在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，BC＝AC－AB＝30－10＝20(m)，∴EC＝BC·tan ∠EBC＝20tan 48°≈20×1.111＝22.22(m)，∴DE＝EC－DC≈22.22－10≈4.9(m)，∴广告牌ED的高度约为4.9 m

20．(10分)如图，AB为东西走向的滨海大道，小莉沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动．小莉在点A处时，某艘海上观光船位于小莉北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200 m．当小莉沿滨海大道向东步行200 m到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小莉的正北方向，求观光船从C处航行到D处的航程(结果保留一位小数，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48).

解：根据题意可得AG∥DE∥HB，∴∠ACB＝∠CAG＝68°，∠D＝∠DCH＝40°，∴在Rt△ABC中，AB＝BC•tan ∠ACB＝200tan 68°≈496(m).过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE为矩形，∴CF＝BE＝AB－AE≈496－200＝296(m)，∴在Rt△CDF中，CD＝≈≈462.5(m)，∴观光船从C处航行到D处的航程约为462.5 m

21．(10分)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15 m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m，测得点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度(结果精确到1 m，参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)．

解：根据题意可知EF＝AB＝15 m，延长EF交DC于点H，则CH＝BF＝AE＝1.5 m．设FH＝x m，则EH＝EF＋FH＝(15＋x) m，在Rt△DFH中，DH＝FH·tan ∠DFH＝tan 45°x＝x(m).又∵在Rt△DHE中，tan ∠DEH＝，∴＝tan 34°≈0.67，∴x≈30.5，∴DC＝DH＋CH＝x＋1.5≈30.5＋1.5＝32(m)，∴拂云阁DC的高度约为32 m

22．(12分)如图，为了测量某建筑物AB的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的C点出发，沿坡度i＝3∶4的斜坡CD行走100 m至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在点E测得该建筑物顶端A的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，求建筑物AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 59°≈0.86，cos 59°≈0.52，tan 59°≈1.66).

解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AB于点G.则四边形BGDF为矩形，∴BG＝DF.又∵在Rt△CDF中，DF∶CF＝i＝3∶4，∴CF＝DF，∴CD＝＝DF＝100 m，∴DF＝60 m，∴BG＝60 m，∴在Rt△BEG中，EG＝＝＝60(m)，∴在Rt△AEG中，AG＝EG·tan ∠AEG＝60tan 59°≈60×1.66＝99.6(m)，∴AB＝AG＋BG≈159.6(m)，∴建筑物AB的高度约为159.6 m

23．(14分)某中学数学实践小组利用节假日到现场测量一古建筑的牌匾悬挂的高度，如图①，大门上悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2 m，∠MBC＝37°.他们在该古建筑底部所在的平地上选取两个不同的测量点D，E，分别测量了该牌匾端点的仰角以及这两个测量点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测量点之间的距离时都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)：

测
量
数
据
测量项目	第一次	第二次	平均值
∠ADC	43°	47°	45°
∠AEB	54.2°	51.8°	53°
点D，E之间的距离	4.3 m	4.5 m
…	…	…	…	…

(1)点D，E之间的距离的平均值是__4.4__m；

(2)求匾额悬挂的高度AB的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75).

解：(2)过点C分别作CF⊥AD于点F，CN⊥AM于点N，则四边形AFCN是矩形，∴AF＝CN＝BC·sin ∠MBC＝2sin 37°≈2×0.6＝1.2(m)，BN＝BC·cos ∠MBC＝2cos 37°≈2×0.8＝1.6(m)，AN＝CF.又∵∠ABE＝90°－∠AEB＝90°－53°＝37°，∠ADC＝45°，∴AE＝AB·tan ∠ABE＝tan 37°AB≈0.75AB，DF＝＝＝CF＝AN，∴DE＝AF＋DF－AE＝AF＋AN－AE＝AF＋AB＋BN－AE≈1.2＋AB＋1.6－0.75AB≈4.4 m，∴AB≈6.4 m，∴匾额悬挂的高度AB的长约为6.4 m