第五章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是(　　)

A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内

C．点P在⊙O上 D．无法确定

2．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，若∠EOF＝55°，则∠BOC的度数等于(　　)

A．125° B．120° C．115° D．110°

3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝41°，则∠ABC＝(　　)

A．39° B．41° C．49° D．59°

4．如图，已知AC是⊙O的直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是AB上一点，若∠APB＝40°，则∠ACB的度数是(　　)

A．110° B．100° C．140° D．80°

7．如图，从一块半径为8 cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形BAC，则扇形BAC中弧BC的长为(　　)

A. cm B. cm C. cm D. cm

8．如图，AB是⊙O的弦，且直径AC＝6，BD＝3，AC⊥BD，∠AOD＋∠EDB＝180°，则DE的长为(　　)

A．3 B．4 C．3 D．4

9．如图，点I是△ABC的内心，CI的延长线交AB于D，点A，E关于CD所在的直线对称，若∠B＝38.20°，则∠DIE的度数是(　　)

A．70.88° B．70.90° C．70.92° D．70.94°

10．如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，则图中阴影部分的面积为(　　)

A.－4 B.－4

C.－8 D.－8

11．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，AB＝20 cm，BC＝15 cm，CD＝12 cm，DA＝13 cm，BD＝21 cm，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为(　　)

A．21 cm

B．15 cm

C. cm

D．25 cm

12．【2023·淄博张店区模拟】如图，多边形A₁A₂A₃…A_n是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A₁OA₂的度数为α，点O到A₁A₂的距离为d，△A₁OA₂的面积为S.下面三个推断：

①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；

②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；

③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．

其中正确的是(　　)

A．①② B．①③

C．②③ D．①②③

二、填空题(每题3分，共18分)

13．已知圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，则其侧面展开图的面积为______．

14．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是________．

15．【2023·烟台】如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为________．

16．【2023·常德】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB的长l的近似值s的计算公式：s＝AB＋ .当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l－s|＝________．(结果保留一位小数)

17．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO，BO，CO，DO，记△AOD，△AOB，△COB，△DOC的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，则S₁，S₂，S₃，S₄的数量关系为____________.

18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为________．

三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)

19．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°，求∠B的度数．

20．如图，⊙O的半径为2，弦BC＝3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E.

(1)求证：BE∥AM；

(2)过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长．

21．【2023·烟台莱阳模拟】如图，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB.求证：

(1)CD＝EF；

(2)CE＝DF.

22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若OB＝10，CD＝5，求图中阴影部分的面积．

23.如图是一座圆弧形拱桥，水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.

(1)求桥拱所在圆的半径．

(2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．

24．【2023·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.

(1)求证：S_△ABF∶S_△ACF＝AB∶AC；

(2)求证：AB∶AC＝BF∶CF；

(3)求证：AF²＝AB·AC－BF·CF；

(4)猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．(直接写出，不需证明)

答案

一、1.A

2．D　【点拨】设OF交AC于点J.∵OE⊥AC，OF⊥AB，∴∠OEJ＝∠AFJ＝90°.∵∠OJE＝∠AJF，∴∠FAJ＝∠EOF＝55°，∴∠BOC＝2∠CAB＝110°.

3．C　【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵BC＝BC，∴∠BAC＝∠BDC＝41°，

∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝180°－90°－41°＝49°.

4．B　【点拨】连接OB.

∵D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠COD.

∵OB＝OC，∴OD⊥BC，BE＝BC＝×8＝4.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.

∴AC＝＝＝10.

∴OB＝AC＝5.∴OE＝＝＝3.

∴DE＝OD－OE＝OB－OE＝5－3＝2.

5．B　【点拨】∵半径OD⊥弦AB，∴AC＝BC＝AB＝2.

又∵OA＝OE，

∴CO是△ABE的中位线，∴EB＝2OC.

在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x－1.

∵AO²＝OC²＋AC²，∴x²＝(x－1)²＋2²，

解得x＝，∴OC＝，∴EB＝2OC＝3.

6．A　【点拨】连接OA，OB，作AB所对的圆周角∠ADB.

∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.

∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠APB＝140°.

∴∠ADB＝∠AOB＝70°.

∴∠ACB＝180°－70°＝110°.

7．D　【点拨】连接OB，OC，BC，过O作OD⊥BC交BC于点D.

∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°.

∵OD⊥BC，OB＝OC，

∴BD＝CD，∠BOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，∠BDO＝90°.∴BD＝OB· sin 60°＝8×＝4(cm)．

∴BC＝2BD＝8 cm.

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．

∴AB＝BC＝8 cm.

∴弧BC的长为＝(cm)．

8．C　【点拨】连接OE.∵直径AC＝6，BD＝3，

∴OD＝OB＝BD＝3，∴△BOD为等边三角形．

∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60°.

∵AC⊥BD，∴∠BOC＝∠BOD＝30°.

∴∠A＋∠ABO＝30°.

又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝15°.

∴∠ABD＝∠ABO＋∠OBD＝75°.

∵∠ABD＝∠AOD，∠AOD＋∠EDB＝180°，

∴∠ABD＋∠EDB＝180°，

即∠ABD＋∠ODE＋∠ODB＝180°.∴∠ODE＝45°.

又∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED＝45°，

即△DOE为等腰直角三角形．∴DE＝OD＝3.

9．B　【点拨】∵∠B＝38.20°，∴∠BAC＋∠ACB＝180°－∠B＝180°－38.20°＝141.80°.

∵点I是△ABC的内心，

∴∠DAI＝∠CAI＝∠BAC，∠ACI＝∠ECI＝∠ACB，

∴∠CAI＋∠ACI＝(∠BAC＋∠ACB)＝70.90°.

∵点A，E关于CD所在的直线对称，

∴AI＝EI，AD＝ED.

在△ADI和△EDI中，

∴△ADI≌△EDI(SSS)，

∴∠AID＝∠EID.

∵∠AID＝∠CAI＋∠ACI＝70.90°，

∴∠EID＝70.90°.

10．C　【点拨】连接OC交AB于点H.

∵△OAB沿AB折叠得到△CAB，

∴AB垂直平分OC，△OAB≌△CAB，

∴OH＝OC＝×4＝2，△OAB的面积＝△CAB的面积．

∵cos∠AOH＝＝，∴∠AOH＝60°.

∵OA＝OB，OC⊥AB，

∴∠AOB＝2∠AOH＝120°，AB＝2AH.

∴扇形AOB的面积＝＝.

易得AH＝OH＝2，∴AB＝4，

∴△OAB的面积＝AB·OH＝×4×2＝4，

∴阴影部分的面积＝扇形AOB的面积－△OAB的面积×2＝－8.

11．D　【点拨】过A作AE⊥BD于点E，过C作CF⊥BD于点F，连接AC交BD于点G.

在Rt△ABE中，AE²＝AB²－BE²，

在Rt△ADE中，AE²＝AD²－DE².

设BE＝x cm，则DE＝(21－x)cm，

∴20²－x²＝13²－(21－x)²，

解得x＝16，即BE＝16 cm，

∴AE＝＝＝12(cm)．

在Rt△BCF中，CF²＝BC²－BF²，

在Rt△DCF中，CF²＝DC²－DF².

设BF＝y cm，则DF＝(21－y)cm，

∴15²－y²＝(12)²－(21－y)²，解得y＝9，即BF＝9 cm，

∴CF＝＝＝12(cm)．

∵∠BGC＝∠AGD，∠CFG＝∠AEG＝90°，

CF＝AE＝12 cm，∴△CFG≌△AEG(AAS)，

∴FG＝EG，AG＝CG.

又∵FE＝BE－BF＝16－9＝7(cm)，

∴FG＝EF＝ cm，

∴CG＝＝＝(cm)．

∴AC＝2CG＝2×＝25(cm)，∵AC＞BD，

∴此圆形纸板的直径为25 cm.

12．D　【点拨】①∵α＝，∴α是n的反比例函数，故①正确．

②如图，过点O作OB⊥A₁A₂于点B，则d＝OB.∵OA₁＝OA₂，∴∠BOA₁＝∠A₁OA₂＝α，∴d＝r·cosα.

∵α为定值，即cosα为定值，

∴d是r的正比例函数，故②正确．

③∵n为定值，α＝，∴α为定值．

易得BA₁＝A₁A₂.∵BA₁＝r·sinα，d＝r·cosα，

∴S＝·A₁A₂·d＝r·sinα·r·cosα＝(sin α·cos α)·r²，

∴S为r的二次函数，故③正确．

二、13.60π cm²　【点拨】圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，由勾股定理得，底面半径为6 cm，侧面展开图的面积＝πrl＝π×6×10＝60π(cm²)．

14．120°　【点拨】设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x，

∵四边形ABCD为圆内接四边形，

∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，

∴4x＋5x＝180°，解得x＝20°，

∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°－60°＝120°.

15．24　【点拨】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r.

则AC＝AB＝r，BC＝2r，

设AE＝a，则点C的坐标为(a，2r)，

∴k＝2ar.

易知S_△ACD＝AC·AE，∴·r·a＝6，

即ar＝12，∴k＝2ar＝24.

16．0.1　【点拨】∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，

∴AB＝2.

∵C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB，

∴延长DC可得O在直线DC上，OC＝AB＝.

∴CD＝OD－OC＝2－，

∴s＝AB＋＝2＋＝3，

又∵l＝＝π，

∴|l－s|＝|π－3|≈0.1.

17．S₁＋S₃＝S₂＋S₄　【点拨】如图，设⊙O的半径为r，切点分别为E，F，G，H，连接OE，OF，OG，OH，易知OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC，OH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r.

设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，则S₁＝r(a＋b)，S₂＝r(b＋c)，S₃＝r(c＋d)，S₄＝r(a＋d)，∴S₁＋S₃＝r(a＋b)＋r(c＋d)＝r(a＋b＋c＋d)，S₂＋S₄＝r(a＋d)＋r (b＋c)＝r(a＋b＋c＋d)，∴S₁＋S₃＝S₂＋S₄.

18.　【点拨】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，

连接OB.

∵AB，BC是⊙O的切线，

∴OE，OF是⊙O的半径．∴OE＝OF.

∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，

∴BC＝＝4.

∵D是BC边的中点，∴BD＝CD＝2.

∵S_△ABD＝S_△ABO＋_S△BOD，

∴AB·OE＋BD·OF＝BD·AC，即5OE＋2OE＝2×3，

解得OE＝.∴⊙O的半径为.

三、19.【解】∵PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，

∴∠OAP＝90°.

∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.∴∠B＝∠AOP＝30°.

20．(1)【证明】∵MC是⊙O的直径，

∴∠MAC＝90°.∴MA⊥AC.

又∵BE⊥AC，∴BE∥MA.

(2)【解】连接MB.

∵MC是⊙O的直径，∴∠MBC＝90°.∴MB⊥BC.

∵AD⊥BC，∴BM∥AD.

又∵BE∥MA，

∴四边形AMBH是平行四边形．∴AH＝MB.

∵圆的半径是2，∴MC＝4.

∴MB＝＝＝.∴AH＝.

21．【证明】(1)如图，过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD，OE.

∵∠DPB＝∠EPB，∴OM＝ON.

又∵OE＝OD，

∴Rt△ODN≌Rt△OEM(HL)．

∴DN＝EM.

∵OM⊥EF，ON⊥CD，

∴EM＝EF，DN＝CD.∴CD＝EF.

(2)∵CD＝EF，∴CD＝EF.

∴CD－FC＝EF－FC，即CE＝DF.

22．(1)【证明】如图，连接OD.

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠1＝∠2.

∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，∴OD∥BC.

∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴OD⊥AC.

∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线．

(2)【解】如图，过点O作OG⊥BC于点G，连接OE，则BG＝EG，四边形ODCG为矩形，

∴OG＝CD＝5.

在Rt△OBG中，由勾股定理得BG＝＝＝5，

∴BE＝2BG＝10，∴OB＝BE＝OE，

∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，

∴S_阴影＝S_扇形BOE－S_△BOE＝－×10×5＝－25.

23．【解】(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．

过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交AB于点C，连接AE，则CF＝20 m.

由垂径定理知AF＝FB＝AB＝40 m.

设半径是r m，

在Rt△AFE中，由勾股定理得AE²＝AF²＋EF²＝AF²＋(CE－CF)²，

即r²＝40²＋(r－20)²，解得r＝50.

∴桥拱所在圆的半径为50 m.

(2)这艘轮船能顺利通过．

理由：如图，假设MN＝60 m，且MN∥AB.

连接EM，设EC与MN的交点为D，

则DE⊥MN，∴DM＝30 m.

∴DE＝＝＝40(m)．

∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，

∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．

∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过．

24．(1)【证明】过点F作FH⊥AC于H，FG⊥AB于G.

∵点E是△ABC的内心，

∴AD是∠BAC的平分线．

又∵FH⊥AC，FG⊥AB，∴FG＝FH.

∵S_△ABF＝·AB·FG，S_△ACF＝·AC·FH，

∴S_△ABF∶S_△ACF＝(·AB·FG)∶(·AC·FH)＝AB∶AC.

(2)【证明】过点A作AM⊥BC于点M.

∵S_△ABF＝BF·AM，S_△ACF＝FC·AM，

∴S_△ABF∶S_△ACF＝(BF·AM)∶(FC·AM)＝BF∶FC，

由(1)可得S_△ABF ∶S_△ACF＝AB ∶AC.

∴AB ∶AC＝BF ∶FC.

(3)【证明】连接DB，DC.

∵AB＝AB，DC＝DC，

∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，

∴△BFD∽△AFC，∴＝，即BF·CF＝AF·DF.

∵AC＝AC，∴∠FBA＝∠ADC.

又∵∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC.

∴＝，即AB·AC＝AD·AF.

∴AB·AC＝(AF＋DF)·AF＝AF²＋AF·DF，

∴AF²＝AB·AC－AF·DF＝AB·AC－BF·CF.

(4)【解】DE²＝DA·DF.