直角三角形的边角关系

(时间：100分钟　　满分：120分)

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．2cos45°的值等于( B )

A． B． C． D．2

2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sin A的值为( C )

A． B． C． D．

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则∠A的锐角三角函数值( C )

A．扩大2倍 B．缩小 C．不变 D．无法确定

4．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是( B )

A． B．

C． D．

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

5．在△ABC中，若＋(－tan B)²＝0，则∠C的度数为( A )

A．120° B．90° C．60° D．30°

6．(2023·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距( B )

A．米 B．米 C．x·sin α米 D．x·cos α米

7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos B的值为( B )

A． B． C． D．

8．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sin α＝cos β＝，则梯子顶端上升了( C )

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

9．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )

A．7海里/时 B．7海里/时 C．7海里/时 D．28海里/时

10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则的值为( D )

A． B． C． D．2

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是____．

sup7()　　sup7()　　sup7()　　sup7()

12．已知，在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝AC，则tan A＝____，∠B＝__60°__．

13．如图，在△ABC中，cos B＝，sin C＝，AC＝10，则△ABC的面积为__42__．

14．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30 m，用高1 m(AC＝1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(15＋1)_m__．(结果保留根号)

15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan ∠ABC＝，则点C的坐标为__(，0)__.

三、解答题(共75分)

16．(8分)计算：2cos²30°－2sin60°·cos45°.

解：原式＝2×()²－2××＝－＝

17．(9分)已知，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝3，利用三角函数知识，求∠A，∠B的度数．

解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝，AB＝3，∴sin B＝＝.∴∠B＝60°.∴∠A＝90°－∠B＝30°.∴∠A，∠B的度数分别为30°，60°

18．(9分)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝，求sin A＋cos B的值．

解：在Rt△ACD中，CD＝6，tan A＝＝，∴AD＝4.∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，BC＝＝10.∴cos B＝＝.在Rt△ADC中，AC＝＝2.∴sin A＝＝＝.∴sin A＋cos B＝＋

19．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数．参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)

解：由题意得PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°，在Rt△APC中，AP＝100海里，∴PC＝AP·sin 72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP中，BP＝≈≈148(海里)，∴B处距离灯塔P约有148海里

20．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)

解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，

由题意得AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝，∴设AF＝3x米，则BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(米)，在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得x＝，∴AB＝5x≈10.3(米)，∴斜坡AB的长约为10.3米

21．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：＝＝.

(1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；

(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin ∠ACB＝，求景观桥CD的长度．

解：(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵＝＝，∴＝，∴b＝2

(2)∵＝，∴＝，∴sin B＝，∴∠B＝60°，∴tan B＝＝，∴BD＝CD，∵AC²＝CD²＋AD²，∴196＝CD²＋(10－CD)²，∴CD＝8或CD＝－3(舍去)，∴CD的长度为8米

22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．

(1)求教学楼AB的高度；

(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.

解：(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，

在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM·tan ∠DBM＝24×＝24(米)，∴AB＝CM＝CD－DM＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB的高度为25.6米　(2)连接EB并延长交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM－CE＝24米，∴tan ∠MBE＝＝＝，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CD－CE＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG＝ED·tan60°＝48(米)，∴48÷4＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线

23．(11分)如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100 cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°.

锐角A
三角函数	13°	28°	32°
sin A	0.22	0.47	0.53
cos A	0.97	0.88	0.85
tan A	0.23	0.53	0.62

　

(1)求AE的长(结果取整数)；

(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)

解：(1)在Rt△ADF中，cos ∠DAF＝，∴AF＝AD·cos ∠DAF＝100cos28°≈100×0.88＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos ∠EAF＝，∴AE＝＝≈≈91(cm)　(2)设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin ∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan ∠DGA＝，∴FG＝≈≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在Rt△AGN中，AN＝AG·sin ∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32 cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32 cm