第三章　圆

得分________　卷后分________　评价________

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列说法正确的是( B )

A．长度相等的弧是等弧 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．弧是半圆 D．三点确定一个圆

2．若⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是( B )

A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定

3．如图，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB＝70°，则∠ACB的度数是( B )

A．30° B．35° C．45° D．70°

sup7()　　　　　sup7()　　　　　sup7()

4．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B的度数为( C )

A．15° B．40° C．35° D．75°

5．如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为( A )

A．65° B．60° C．50° D．25°

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是( C )

A．90° B．100° C．110° D．120°

sup7()　　　　sup7()　　　　sup7()

7．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC＝4，DE＝4，则BC的长是( C )

A．1 B． C．2 D．4

8．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠BOC的度数是( B )

A．121° B．128° C．146° D．166°

9．如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为( B )

A．π B．π C．π D．π

sup7()　　　　　sup7()　　　　　　sup7()

10．如图，点P(3，4)，⊙P的半径为2，点A(2.5，0)，点B(5，0)，M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则线段AC长度的最小值是( B )

A．1.4 B．1.5 C．2.5 D．2.6

【解析】连接OM，∵点A，C分别是OB，MB的中点，∴AC＝OM.而当M为线段OP与⊙P的交点时OM最小，此时OM＝OP－PM＝5－2＝3，∴AC_最小值＝1.5.

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan ∠ADC＝____．

12．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是__50__cm.

sup7()　　　sup7()　　　sup7()　　　sup7()

13．如图，A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝130°，在这个图中，要画出下列度数的圆周角：30°，40°，50°，90°，其中仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有__40°或50°或90°__．

14．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则图中阴影部分的面积为__π__(结果保留π).

15．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB边的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM的长为半径作⊙P，当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为__3或4__．

【解析】分如下两种情况讨论：①当⊙P与直线CD相切时，如图①，在Rt△BPM中，∵PM²＝BM²＋BP²，∴PC²＝4²＋(8－PC)²，∴PC＝5，∴BP＝BC－PC＝3；②当⊙P与直线AD相切时，如图②，设切点为K，连接PK，则四边形PKDC是矩形，∴PM＝PK＝CD＝8，∴BP＝＝4.综上所述，BP的长为3或4．

三、解答题(共75分)

16．(6分)如图，点B在⊙O外，以点B为圆心，OB为半径画圆，与⊙O相交于C，D两点，与OB的延长线相交于A点，连接AC，AD，当AC＝5时，求AD的长．

解：连接OC，OD，∵OA是⊙B的直径，∴∠OCA＝∠ODA＝90°，∴AC，AD都是⊙O的切线，∴AD＝AC＝5

17．(8分)某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)若有水部分的水面宽AB＝32 cm，水最深处的地方水深CD为8 cm，求这个圆形截面的半径．

解：(1)如图所示

(2)连接OA，易知点D为AB的中点．

∵AB＝32 cm，∴AD＝AB＝16 cm.设这个圆形截面的半径为x cm.又∵CD＝8 cm，∴OD＝(x－8) cm.在Rt△OAD中，∵OD²＋AD²＝OA²，即(x－8)²＋16²＝x²，解得x＝20，∴圆形截面的半径为20 cm

18．(8分)如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，分别交OA，OB于点C，D，弦MN∥AB.

(1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)求证：＝.

解：(1)AB与⊙O相切，理由如下：过点O作OE⊥AB于点E，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝(180°－∠AOB)＝×(180°－120°)＝30°，∴OE＝OA＝OC，即OE是⊙O的半径．∴AB是⊙O的切线，即AB与⊙O相切

(2)连接CD，延长EO交MN于点F，∵OC＝OD，∴∠OCD＝×(180°－∠AOB)＝×(180°－120°)＝30°＝∠A，∴CD∥AB.又∵OE⊥AB，∴OE⊥CD，∴＝.又∵MN∥AB，∴EF⊥MN，∴＝，∴－＝－，即＝

19．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC.

(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若点B是的中点，⊙O的半径为2，求劣弧的长．

解：(1)DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，即OD⊥CG.又∵四边形GDEC为平行四边形，∴ED∥CG，∴OD⊥ED，∴DE是⊙O的切线，即DE与⊙O相切

(2)连接OB，∵点B是的中点，∴∠COB＝∠DOB＝(360°－∠COD)＝×(360°－90°)＝135°，∴l＝＝

20．(9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与AD的延长线相交于点E，EF⊥BC，交BC的延长线于点F.

(1)求证：∠BAC＝∠ECF；

(2)若AD＝4，CD＝2，cos ∠BAC＝，求CF的长．

解：(1)证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠B＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.又∵CE为⊙O的切线，∴AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∴∠ACB＋ECF＝90°，∴∠BAC＝∠ECF

(2)∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝2.∵∠CAD＝∠EAC，∠ADC＝∠ACE，∴△ACD∽△AEC，∴＝，即＝，∴CE＝.又∵EF⊥BC，∴CF＝CE·cos ∠ECF＝CE·cos ∠BAC＝×＝

21．(10分)如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，AB为半径作⊙A，交BC于点E，交AC于点F，连接DE.

(1)求证：DE与⊙A相切；

(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

解：(1)证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC(SAS)，∴∠DEA＝∠CAB＝90°，∴DE⊥AE，∴DE与⊙A相切

(2)∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴∠ACB＝30°，AC＝AB＝4，△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∴∠CAE＝∠CAB－∠EAB＝30°＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S_△ACE＝S_△ABC＝·AB·AC＝×4×4＝4，∴S_阴影＝S_△ACE－S_扇形AEF＝4－＝4－

22．(12分)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD²＝BD·CD，连接AB，AC.

(1)求证：AD为⊙O的切线；

(2)筒车的半径为3 m，AC＝BC，∠C＝30°，当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度(精确到0.1 m，参考值：≈1.4，≈1.7).

解：(1)证明：连接AO并延长，交⊙O于点G，连接BG，则∠ACB＝∠AGB.∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴∠BAG＋∠AGB＝90°.∵AD²＝BD·CD，∴＝.又∵∠ADB＝∠CDA，∴△DAB∽△DCA，∴∠DAB＝∠ACB＝∠AGB，∴∠DAB＋∠BAG＝90°，即∠DAG＝90°，∴AD⊥AO，∴AD为⊙O的切线

(2)当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，Q与G重合，水面到GH，过点O作OM⊥GH于点M，则GH∥PQ.∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°，∴∠CBG＝∠ABG－∠ABC＝90°－75°＝15°.又∵BC∥PQ∥GH，∴∠BGH＝∠CBG＝15°，∴∠AGM＝∠AGB＋∠BGH＝∠C＋∠BGH＝30°＋15°＝45°，∴OM＝OG·sin ∠AGM＝3sin 45°＝3×＝(m)，∴筒车在水面下的最大深度为3－≈0.9(m)

23．(14分)请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：

阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他流传于世的数学著作有十余种．下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：如图①，AB是⊙O的弦，点P在⊙O上，PC⊥AB于点C，点D在弦AB上，且AC＝CD，在上取一点Q，使＝，连接BQ，则BQ＝BD.小明思考后，给出如下证明：

如图②，连接PA，PD，PB，PQ，

∵AC＝CD，PC⊥AB，∴PA＝PD(依据1)，∴∠A＝∠PDA.

∵＝，∴∠QBP＝∠ABP(依据2)……

任务：(1)写出小明证明过程中的依据：

依据1：__线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等__；

依据2：__等弧所对的圆周角相等__；

(2)请你将小明的证明过程补充完整；

(3)小亮想到了不同的证明方法：如图③，连接PA，PD，PQ，DQ，请你按照小亮的证明思路写出证明过程；

(4)结论应用：如图④，将材料中的“弦AB”改为“直径AB”，作直线l与⊙O相切于点Q，过点B作BM⊥l于点M，其余条件不变，若AB＝4，且D是OA的中点，求QM的长．

解：(2)证明：如图②，连接PA，PD，PB，PQ，∵AC＝CD，PC⊥AB，∴PA＝PD，∴∠A＝∠PDA.∵＝，∴∠QBP＝∠ABP.又∵四边形ABQP是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠Q＝180°.又∵∠PDA＋∠PDB＝180°，∴∠Q＝∠PDB.在△PQB和△PDB中，∵∴△PQB≌△PDB(AAS)，∴BQ＝BD

(3)证明：如图③，连接PA，PD，PQ，DQ，∵AC＝CD，PC⊥AB，∴PA＝PD，∴∠A＝∠PDA.又∵＝，∴PQ＝PA＝PD，∴∠PQD＝∠PDQ.∵四边形ABQP为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠PQB＝180°.又∵∠PDA＋∠PDB＝180°，∴∠PQB＝∠PDB，∴∠PQB－∠PQD＝∠PDB－∠PDQ，即∠BQD＝∠BDQ，∴BQ＝BD

(4)连接AQ，∵⊙O的直径AB＝4，∴OA＝OB＝2，∠AQB＝90°.又∵D是OA的中点，∴OD＝OA＝1，∴BQ＝BD＝OB＋OD＝3，∴AQ＝＝＝.∵直线l与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥l，∴∠OQM＝90°＝∠AQB，∴∠AQO＝∠BQM.又∵OQ＝OA，∴∠AQO＝∠A，∴∠BQM＝∠A.又∵BM⊥l于点M，∴∠QMB＝90°＝∠AQB，∴△BMQ∽△BQA，∴＝，∴＝，∴QM＝