圆

(时间：100分钟　　满分：120分)

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是( C )

A．2.5 B．3 C．5 D．10

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，若OB＝BC，则∠BAC等于( C )

A．60° B．45° C．30° D．20°

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

3．(2023·重庆)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为( B )

A．30° B．40° C．50° D．60°

4．下列说法正确的是( B )

A．三点确定一个圆 B．经过圆心的直线是圆的对称轴

C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等

5．(2023·泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )

A．25° B．30° C．35° D．40°

6．(2023·凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝( B )

A．1 B．2 C．2 D．4

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

7．(2023·温州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD.若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为( C )

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，

8．(2023·连云港)如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是( D )

A．π－20 B．π－20 C．20π D．20

9．(2023·荆州)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D.若AC＝300 m，BD＝150 m，则的长为( B )

A．300π m B．200π m C．150π m D．100π m

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

10．如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是( A )

A． B． C． D．

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．一个扇形的弧长是8π cm，圆心角是144°，则此扇形的半径是__10__cm.

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则点A，点B，点C，点D四点中在⊙A外的是__点C__．

13．(河南中考)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为____．

sup7()　　　sup7()　　　sup7()

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为__2__．

15．如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC.若OC＝AB，则▱ABCD的周长为__24＋6__．

三、解答题(共75分)

16．(8分)如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在内部作正方形ABMN，连接MC.求∠BCM的大小．

解：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC＝120°，AB＝BC.∵四边形ABMN为正方形，∴∠ABM＝90°，AB＝BM.∴∠MBC＝120°－90°＝30°，BM＝BC.∴∠BCM＝∠BMC.∴∠BCM＝×(180°－30°)＝75°

17．(9分)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED.连接BC，CD.求证：

(1)△AOE≌△CDE；

(2)四边形OBCD是菱形．

证明：(1)在△AOE和△CDE中，∴△AOE≌△CDE(SAS)

(2)连接OC，∵AE＝CE，∴OD⊥AC，∵OE＝DE，∴CE垂直平分OD，∴CD＝CO，∴△OCD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC∥OD，∴∠BCO＝∠COD＝60°，而OB＝OC，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OC，∴OB＝BC＝CD＝OD，∴四边形OBCD是菱形

18．(9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(3，3)，C(4，2).

(1)请在图中作出经过点A，B，C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；

(2)若D(1，4)，则直线BD与⊙M的位置关系是__相切__．

解：(1)如图所示，圆心M的坐标为(2，1)

19．(9分)如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E.

求证：(1)AD∥BC；

(2)四边形BCDE为菱形．

证明：(1)连接BD，∵＝，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC

(2)连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠CBF，∵＝，∴BC＝CD，BF＝DF，又∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF(ASA)，∴DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形

20．(9分)(2023·绍兴)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E.

(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；

(2)若OB＝2，BD＝1，求CE的长．

解：(1)∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC＝90°，∴∠ACD＝∠AEC＋∠EAC＝90°＋25°＝115°　(2)∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB＋BD＝3，∴CD＝＝.∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴＝，∴＝，∴CE＝

21．(10分)(2023·张家界)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.

(1)求证：CF是⊙O的切线；

(2)若AD＝10，cos B＝，求FD的长．

解：(1)连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC＋∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD.∴∠DCF＋∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线　(2)∵∠B＝∠ADC，cos B＝，∴cos ∠ADC＝，在Rt△ACD中，cos ∠ADC＝＝，AD＝10，∴CD＝AD·cos ∠ADC＝10×＝6，∴AC＝＝8，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x＋10，又∵FC²＝FD·FA，即(4x)²＝3x(3x＋10)，解得x＝(取正值)，∴FD＝3x＝

22．(10分)(2023·临沂)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．

解：(1)连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，

∵AB＝AC，∴△OAB≌△OAC(SSS)，∴∠OAB＝∠OAC，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠AFB＝90°，∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切线　(2)∵∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°－∠BOC＝120°，∴OC＝BC＝2，∴l＝＝，∴的长是

23．(11分)问题背景：

如图1，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD.探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处(如图2)，易证点C，A，E在同一条直线上，且△CDE是等腰三角形，所以CE＝CD，从而得出结论：AC＋BC＝CD.

简单应用：

(1)在图1中，若AC＝，BC＝2，则CD＝__3__；

(2)如图3，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，若AB＝13，BC＝12，求CD的长；

(3)如图4，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n(m<n)，求CD的长．(用含m，n的代数式表示)

解：(2)连接AC，BD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.∴AC＝＝5.∵＝.∴AD＝BD.将△BCD绕点D顺时针旋转90°到△AED，∴∠EAD＝∠DBC.∵∠DBC＋∠DAC＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°.∴E，A，C三点共线．∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝BC＋AC＝17.∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA＋∠ADC＝∠CDB＋∠ADC.即∠EDC＝∠ADB＝90°.∵CD＝ED，∴△EDC是等腰直角三角形．∴CE＝CD.∴CD＝

(3)以AB为直径作⊙O，连接DO并延长交⊙O于点D₁，连接D₁A，D₁B，D₁C.由(2)可知：AC＋BC＝D₁C，∴D₁C＝.又∵D₁D是⊙O的直径，∴∠DCD₁＝90°.∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB²＝m²＋n².∴D₁D²＝AB²＝m²＋n².∵D₁C²＋CD²＝D₁D²，∴CD²＝m²＋n²－＝.∵m<n，∴CD＝