第二章　二次函数

得分________　卷后分________　评价________

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列函数中，属于二次函数的是( C )

A．y＝－2x B．y＝x²＋ C．y＝(x＋3)²－9 D．y＝＋1

2．抛物线y＝2(x－3)²＋4的顶点坐标是( A )

A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)

3．将抛物线y＝x²－4先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为( B )

A．y＝(x＋2)²＋2 B．y＝(x－2)²－2

C．y＝(x－2)²＋2 D．y＝(x＋2)²－2

4．已知抛物线y＝x²－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为( D )

A．－2 B．－1 C．0 D．2

5．若抛物线y＝x²＋bx＋c过A(m，n)，B(m－4，n)两点，且与x轴只有一个公共点，则n的值为( A )

A．4 B．－4 C．6 D．16

6．若二次函数y＝ax²－4ax＋3(a为常数，且a＞0)的图象上有三点A(－2，y₁)，B(2，y₂)，C(3，y₃)，则y₁，y₂，y₃的大小关系为( D )

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₁＜y₃＜y₂

C．y₂＜y₁＜y₃ D．y₂＜y₃＜y₁

7．如图，已知抛物线y＝ax²＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则关于x的不等式ax²－mx＋c＜n的解集为( C )

A．x＞－1 B．x＜3 C．－1＜x＜3 D．x＜－3或x＞1

sup7()　　　　　sup7()

8．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，1)，若抛物线y＝x²＋c与线段AB有公共点，则c的取值范围是( C )

A．－1≤c≤0 B．－1≤c≤ C．－1≤c≤ D．0≤c≤

9．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＞0；②9a＋3b＋c＝0；③b²－4ac＜8a；④5a＋b＋c＞0.其中正确结论的个数是( C )

A．1 B．2 C．3 D．4

sup7()　　　　　　sup7()

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从点A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N.设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是( B )

A　 　　　　　 　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　D

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．已知一抛物线的顶点坐标是(0，1)，且经过(－3，2)，则此抛物线的表达式为__y＝x²＋1__．

12．将二次函数y＝ax²－8ax＋2的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后过点(5，2)，则m的值为__3__．

13．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形状，拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m，则支柱MN的长度为__5.5__ m.

sup7()　　　　sup7()　　　sup7()

14．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝kx－3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 __17__．

15．如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x²－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S_△PAB＝____．

三、解答题(共75分)

16．(6分)已知抛物线y＝－x²＋4x＋5.

(1)指出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)若该抛物线上有两点A(－，y₁)，B(5，y₂)，试比较y₁与y₂的大小．

解：(1)∵y＝－x²＋4x＋5＝－(x－2)²＋9，∴该抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2

(2)∵2－(－)＞5－2，∴点A到抛物线的对称轴的距离比点B到抛物线的对称轴的距离更远．又∵抛物线的开口向下，∴y₁＜y₂

17．(6分)如图，已知抛物线y＝x²－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋3与该抛物线交于A，B两点．

(1)求m的值；

(2)求A，B两点的坐标．

解：(1)∵抛物线y＝x²－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，∴抛物线与x轴只有一个交点，∴(m＋3)²－4×9＝0，解得m＝3或m＝－9.又∵－＞0，∴m＞－3，∴m＝3

(2)由(1)可得抛物线的表达式为y＝x²－6x＋9，联立方程组解得或∴点A的坐标是(1，4)，点B的坐标是(6，9)

18．(8分)已知函数y＝－x²＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3).

(1)求b，c的值；

(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值；

(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)分别代入y＝－x²＋bx＋c，得解得

(2)∵y＝－x²－6x－3＝－(x＋3)²＋6，－4≤x≤0，∴当x＝－3时，y有最大值为6

(3)①当－3≤m＜0时，当x＝0时，y_最小值＝－3，当x＝m时，y_最大值＝－m²－6m－3，∴－m²－6m－3＋(－3)＝2，解得m＝－2或m＝－4(舍去)；②当m<－3时，当x＝－3时，y_最大值＝6，∴y_最小值＝2－6＝－4.当y＝－x²－6x－3＝－4时，解得x＝－3＋(舍去)或x＝－3－，∴m＝－3－.综上所述，m的值为－2或－3－

19．(9分)如图，在足够大的空地上，张叔叔利用直角墙角(两边足够长)和30 m长的篱笆围成了一个中间隔开的矩形花园ABCD(图中虚线为篱笆)，设AB＝x m，矩形花园ABCD的面积为S m².

(1)求S关于x的函数表达式；

(2)求矩形花园ABCD面积的最大值．

解：(1)S＝x(30－2x)＝－2x²＋30x(0＜x＜15)

(2)∵S＝－2x²＋30x＝－2(x－7.5)²＋112.5，∴当x＝7.5时，S_最大值＝112.5，∴矩形花园ABCD面积的最大值为112.5 m²

20．(10分)小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件的进价为6元，当销售单价定为8元/件时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：销售单价不能超过12元/件．设该纪念品的销售单价为x(元/件)，日销量为y(件)，日销售利润为W(元)．

(1)求y与x的函数关系式；

(2)求日销售利润W(元)与销售单价x(元/件)的函数关系式，当x为何值时日销售利润最大？并求出最大利润．

解：(1)根据题意，得y＝200－10(x－8)＝－10x＋280(6≤x≤12)

(2)根据题意，得W＝(x－6)y＝(x－6)(－10x＋280)＝－10x²＋340x－1 680＝－10(x－17)²＋1 210，而6≤x≤12，∴当x＝12时，W_最大值＝960，∴当x＝12时日销售利润最大，最大利润为960元

21．(10分)如图①所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图②所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似地看作抛物线y＝a(x－20)²＋k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2 m，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28 m，竖直距离为6 m.

(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10 m，

①求抛物线的函数表达式；②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；

(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B，C)，求a的取值范围．

解：(1)①将点O(0，0)代入y＝a(x－20)²＋10，得0＝(0－20)²a＋10，解得a＝－，∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－20)²＋10(0≤x≤40)

②石块能飞越防御墙，理由如下：当x＝30时，y＝－×(30－20)²＋10＝7.5.∵7.5＞6，∴石块能飞越防御墙　(2)将点O(0，0)代入y＝a(x－20)²＋k，得0＝(0－20)²a＋k，∴k＝－400a，∴抛物线的函数表达式为y＝a(x－20)²－400a.当抛物线经过点B(28，6)时，6＝(28－20)²a－400a，解得a＝－；当抛物线经过点C(30，6)时，6＝(30－20)²a－400a，解得a＝－，∴a的取值范围为－≤a≤－

22．(12分)如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C(0，3).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)将该抛物线位于直线y＝m(m为常数，且m≥0)下方的部分沿直线y＝m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．

①当m＝0时，若直线y＝x＋n与图象W有三个交点，求n的值；

②若直线y＝x与图象W有四个交点，求m的取值范围．

解：(1)由题意，得解得∴该抛物线的函数表达式为y＝x²－4x＋3

(2)抛物线y＝x²－4x＋3位于直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折后得到的图象所在的抛物线的函数表达式为y＝－x²＋4x－3＋2m，

①当m＝0时，若直线y＝x＋n与图象W有三个交点，存在如下2种情况：(i)直线y＝x＋n经过点A，即0＝1＋n，解得n＝－1；(ii)直线y＝x＋n与抛物线y＝－x²＋4x－3只有一个交点，即方程x＋n＝－x²＋4x－3，也即方程x²－3x＋n＋3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－3)²－4(n＋3)＝0，∴n＝－.综上所述，n的值为－1或－

②联立方程组解得∴直线y＝x与抛物线y＝x²－4x＋3交于(，)，(，)两点．若直线y＝x与抛物线y＝－x²＋4x－3＋2m只有一个交点，即方程x＝－x²＋4x－3＋2m，也即方程x²－3x＋3－2m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－3)²－4(3－2m)＝0，∴m＝，∴若直线y＝x与图象W有四个交点，m的取值范围是＜m＜

23．(14分)如图，直线y＝x－3与坐标轴交于A，B两点，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点B，与直线y＝x－3交于点E(8，5)，且与x轴交于C，D两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；

(3)点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)y＝x²－x－3

(2)∵OA＝OB＝3，∴∠ABO＝45°.分如下两种情况讨论：如图，①当点M位于直线AB上方时，∠MBO＝∠MBE－∠ABO＝30°，∴易得直线BM的解析式为y＝－x－3.联立方程组解得或∴点M的横坐标为4－4；

②当点M′位于直线AB下方时，∠M′BO＝∠M′BE＋∠ABO＝120°，∴易得直线BM′的解析式为y＝－x－3，则同①可得点M的横坐标为4－.综上所述，点M的横坐标为4－4或4－

(3)存在，理由如下：易得点B(0，－3)，C(6，0)，∴直线BC的解析式为y＝x－3.①当四边形BCQP为矩形时，则BP⊥BC，∴直线BP的解析式为y＝－2x－3.联立方程组解得或∴点P(－4，5)，∴点Q(2，8)；②当四边形BCPQ为矩形时，则CP⊥BC，同理可得点P(－10，32)，∴点Q(－16，29)；③当四边形BPCQ为矩形时，则BP⊥PC，∴若设点P(m，m²－m－3)，则k_BP·k_CP＝·＝－1，易得此方程无解．综上所述，在坐标平面内存在点Q(2，8)或(－16，29)，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形