第二十七章检测题

(时间：100分钟　　满分：120分)

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝( A )

A．4 B．6 C．8 D．16

2．如图，已知l₁∥l₂∥l₃，＝，EF＝6，则DF的长( D )

A．3 B．4 C．5 D．10

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)　　sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)

3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是( D )

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝

4．(2023·浙江)如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( C )

A．(2，4) B．(4，2) C．(6，4) D．(5，4)

5．如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20 m，树的顶端在水中的倒影距自己5 m远，淇淇的身高为1.7 m，则树高为( C )

A．3.4 m B．4.7 m C．5.1 m D．6.8 m

6．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为( D )

A．135° B．90° C．60° D．45°

sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)

7．如图，等边三角形ABC中，D为BC边上的一点，E为AC边上的一点．且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝3，则△ABC的边长为( D )

A．12 B．14 C．15 D．16

8．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S_△DEF＝2，则S_△BCF为( D )

A．4 B．6 C．9 D．18

9．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点(位于AB下方)，CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为( C )

A．2 B．4 C．4 D．3

10．(遂宁中考)如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC，GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD，OB，则下列结论一定正确的是( D )

①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°

A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．如果＝，那么＝____．

12．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件__∠ACD＝∠B(或∠ADC＝∠ACB或＝)__，使△ACD∽△ABC(只填一个即可).

sup7(
)　　　sup7(
)　　　sup7(
)　　　sup7(
)

13．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8 cm，DF＝10 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__7.5__m.

14．(2023·台湾)如图，正方形ABCD与△EBC中，AD分别与EB，EC相交于F点，G点，若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则FG与BC的长度比为__3∶7__．

15．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为__1或__秒时，以P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．

三、解答题(共75分)

16．(7分)(菏泽中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC.

证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC

17．(8分)如图，点C在△ADE的边DE上，AD与BC相交于点F，∠1＝∠2，＝.求证：AF·DF＝BF·CF.

证明：∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠DAC＝∠1＋∠DAC，∴∠DAE＝∠BAC，∵＝，∴＝，∴△ADE∽△ABC，∴∠D＝∠B，∵∠BFA＝∠DFC，∴△ABF∽△CDF，∴＝，∴AF·DF＝BF·CF

18．(9分)(河池中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2).

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；

(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A₂B₂C₂，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B₂的坐标．

　　

解：(1)如图，△A₁B₁C₁即为所作

(2)如图，△A₂B₂C₂即为所作，点B₂的坐标为(－4，－6)

19．(9分)如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长．

解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)，∵BC＝12，AD＝6，∴AN＝6－x，∴＝，解得x＝4，∴AN＝6－x＝6－4＝2

20．(10分)如图，在菱形ABCD中，G为边CB延长线上一点，连接DG分别交AC和AB于E和F两点．

(1)求证：∠ADE＝∠ABE；

(2)已知EF＝1，EG＝3，求BE的长．

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，∵AE＝AE，∴△DAE≌△BAE(SAS)，∴∠ADE＝∠ABE　(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠G，∵∠ADE＝∠ABE，∴∠ABE＝∠G，∵∠BEG＝∠BEF，∴△BEF∽△GEB，∴＝，∴BE²＝EG·EF＝1×3＝3，∴BE＝

21．(10分)已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，连接BE，ED²＝EA·EC.

(1)求证：∠EBA＝∠C；

(2)如果BD＝CD，求证：AB²＝AD·AC.

证明：(1)∵EF垂直平分线段BD，∴ED＝EB，∵ED²＝EA·EC，∴＝，∴＝，∵∠BEA＝∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA＝∠C　(2)∵EF垂直平分线段BD，∴EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠C＋∠DBC＝∠EBA＋∠ABD，∵∠EBA＝∠C，∴∠DBC＝∠ABD，∵DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∴∠ABD＝∠C，∵∠BAD＝∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴＝，∴AB²＝AD·AC

22．(10分)(陕西中考)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.

(1)求证：∠CAB＝∠APB；

(2)若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．

解：(1)∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB

(2)连接AD，∵AB是直径，∴∠CDB＋∠ADC＝90°，∵∠CAB＋∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，∵∠BAD＋∠DAP＝90°，∠PAD＋∠APD＝90°，∴∠APB＝∠DAB，∵∠BDA＝∠BAP，∴△ADB∽△PAB，∴＝，∴PB＝＝＝，∴DP＝－6＝

23．(12分)如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE.

(1)发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2.

①线段DG与BE之间的数量关系是__DG＝BE__；

②直线DG与直线BE之间的位置关系是__DG⊥BE__．

(2)探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE.

(3)应用：在(2)情况下，连接GE(点E在AB上方)，若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？(直接写出结论)

解：(1)①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴DG＝BE，故答案为：DG＝BE

②如图1，延长BE交AD于Q，交DG于H，由①知，△ABE≌△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB＋∠ABE＝90°，∴∠AQB＋∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴DG⊥BE，故答案为：DG⊥BE

(2)如图2，延长BE交AD于点Q，交DG于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB＋∠ABE＝90°，∴∠AQB＋∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴DG⊥BE

(3)如图3，EG与AD的交点记作M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得，EG＝，∵AB＝，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，如图4，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝＝2，由(2)知，△ABE∽△ADG，∴＝＝，∴＝，∴DG＝4