第二十七章　相似

得分________　卷后分________　评价________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下面不是相似图形的是( A )

　　　　 　　　　　　 　　　　　　

　 　 　

　A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　 D

2．如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是( B )

A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝GC D．EG＝2GC

sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

3．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，点O为位似中心，若OD＝OD′，则A′B′∶AB为( D )

A．2∶3 B．3∶2 C．1∶2 D．2∶1

4．如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( B )

A．AB²＝AP·AC B．AC·BC＝AB·BP

C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC

5．如图，在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为( A )

A．1 B． C．2 D．

sup7(
)　　　sup7(
)　　　sup7(
)

6．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为点P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是( C )

A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD

7．如图，在正方形网格中，△ABC，△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为( B )

A．30° B．45° C．60° D．75°

8．如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80 cm，高AD＝120 cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为( C )

A．36 cm B．40 cm C．48 cm D．60 cm

sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是( D )

A．20 B．22 C．24 D．26

10．如图①，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P的运动速度为1 cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图②所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为( D )

A．(2＋2)cm B．(4－2)cm

C．(4＋2)cm D．(2－2)cm

解析：作∠BAC的平分线AP交BC于点P.由题意中的函数图象知AB＝BC＝4 cm.∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°.∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝∠B＋∠BAP＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP.∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴＝，∴AP·AC＝AB·PC，∴AP²＝AB·PC＝4(4－AP)，解得AP＝(2－2)cm或(－2－2)cm(舍)，∴BP＝(2－2)cm

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．已知线段a，b，c，d成比例，且线段a＝6，c＝18，d＝24，则b＝__8__．

12．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，已知S_△DEF∶S_△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝__2∶3__．

sup7(
) sup7(
) sup7(
)

13．在平面直角坐标系中，△ABC和△A₁B₁C₁的相似比等于，并且是以原点O为位似中心的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A₁的坐标是__(4，8)或(－4，－8)__．

14．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有__5__对 .

15．把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则＝____．

16．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF²＋BE²＝OG·OC.其中正确的是 __①②③__．(填序号)

解析：①∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°.∵∠MON＝90°，∴∠COM＝∠DOF，∴△COE≌△DOF(ASA)，故①正确；②∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF.∵∠MON＝90°，∴∠OEG＝45°＝∠FCG.∵∠OGE＝∠FGC，∴△OGE∽△FGC，故②正确；③∵△COE≌△DOF，∴S_△COE＝S_△DOF，∴S_{四边形CEOF}＝S_△OCD＝S_{正方形ABCD}，故③正确；④∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF.又∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°＝∠OCE.∵∠EOG＝∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE∶OC＝OG∶OE，∴OG·OC＝OE².∵CE＝DF，BC＝CD，∴BE＝CF.又∵Rt△CEF中，CF²＋CE²＝EF².∴BE²＋DF²＝EF².∵EF²>OE²，∴BE²＋DF²>OG·OC，故④错误．故填①②③

三、解答题(共72分)

17．(8分)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.求的值．

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝

18．(8分)如图，l₁∥l₂∥l₃，AD＝2，DE＝4.

(1)若AB＝3，求BC的长；

(2)若EF＝7.5，求BE的长．

解：(1)∵l₁∥l₂∥l₃，∴＝.∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，∴＝，解得BC＝6

(2)∵l₁∥l₂∥l₃，∴＝.∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，∴＝，解得BE＝5

19．(10分)如图，是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

(1)以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△DEF，使它与△ABC的相似比为2∶1；

(2)在线段DF上找出所有的点M，将线段DF分为2∶3两部分．

sup7(
)　　sup7(
)

解：(1)如图，△DEF即为所求

(2)如图，点M₁，M₂满足要求

20．(10分)如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A处的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A处的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．(注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角)

解：设AB为x米，BC为y米，根据题意知，△ABC∽△EDC，有＝①.△ABD∽△GFD，有＝②.联立①②，得x＝32.答：建筑物AB的高度为32米

21．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别在BC和AC边上，点G是BE上的一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C.求证：

(1)BD·BC＝BG·BE；

(2)∠BGA＝∠BAC.

证明：(1)∵∠BGD＝∠C，∠GBD＝∠CBE，∴△BDG∽△BEC，∴＝，∴BD·BC＝BG·BE

(2)∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴＝，∴AB²＝BD·BC.又由(1)知BD·BC＝BG·BE，∴AB²＝BG·BE，∴＝.又∵∠GBA＝∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA＝∠BAC

22．(12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A，D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E.

(1)求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；

(2)当∠CPD＝30°时，求AE的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∴∠PCD＋∠DPC＝90°.∵∠CPE＝90°，∴∠EPA＋∠DPC＝90°，∴∠PCD＝∠EPA，∴Rt△AEP∽Rt△DPC

(2)∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴CD＝AB＝4.在Rt△PCD中，∠CPD＝30°，CD＝4，∴PC＝8，∴PD＝＝4，∴AP＝AD－PD＝10－4.∵Rt△AEP∽Rt△DPC，∴＝，即＝，∴AE＝10－12

23．(12分)【模型建立】(1)如图①，在等边△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，∠ADE＝60°.求证：AB·CE＝BD·DC；

【模型应用】(2)如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE＝AD，点F在DC边上，∠EFD＝60°，则的值为______；

【模型拓展】(3)如图③，在钝角△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别在BC，AC边上，∠DAE＝∠ADE＝60°，若AB＝5，CE＝6，求DC的长．

解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠EDC，∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB·CE＝BD·DC

(2).∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝60°.∵AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠EDF＝30°.∵∠DFE＝60°，∴∠DEF＝90°，DF＝2EF.∵∠C＝30°，∠EFD＝60°，∴∠C＝∠FEC＝30°，∴EF＝CF，∴＝＝

(3)在CD上取点F，使∠EFD＝60°.∵∠DAE＝∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE.由(1)同理知，△ABD∽△DFE，∴△ABD≌△DFE，∴DF＝AB＝5.∵∠CFE＝∠CED＝120°，∠C＝∠C，∴△CFE∽△CED，∴＝，∴＝，∴CF＝4(负值舍去)，∴CD＝CF＋DF＝4＋5＝9