二次函数
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( C )
A．直线x＝ B．直线x＝－ C．y轴 D．直线x＝2
2．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( D )
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2
3．(2023·河南)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
sup7() sup7() sup7() sup7()
4．(2023·大连)已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为( D )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
5．将抛物线y＝(x－1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的表达式为( B )
A．y＝x2－8x＋22 B．y＝x2＋4x＋2
C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2－8x＋14
6．如图，二次函数y＝a(x＋2)2＋k的图象与x轴交于A，B(－1，0)两点，则下列说法正确的是( D )
A．a＜0 B．点A的坐标为(－4，0)
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x＝－2
7．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面宽12 m，这时水面离桥顶的高度为( C )
A．3 m B．2 m C．9 m D．4 m
8．二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是( A )
9．已知直线y＝kx＋2经过第一、二、三象限，则直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3的交点个数为( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．(2023·营口)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x＝－1；③当－3<x<0时，ax2＋bx＋c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤am2＋bm≤a－b(m为任意实数)，其中正确的个数是( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．二次函数y＝－3x2－2的最大值为__－2__．
12．在函数y＝(x－1)2中，当x＞1时，y随x的增大而__增大__．(填“增大”或“减小”)
13．(2023·滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水距离也为3 m，那么水管的设计高度应为___m__.
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是__(－2，0)__．
15．(2023·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，c＜0)经过(1，1)，(m，0)，(n，0)三点，且n≥3.下列四个结论：①b＜0；②4ac－b2＜4a；③当n＝3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t＞1；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数根，则0＜m≤.其中正确的是__②③④__(填写序号).
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知二次函数y＝ax2＋6x＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x |
… |
－1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
y |
… |
10 |
5 |
2 |
1 |
2 |
5 |
… |
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
解：(1)y＝(x－2)2＋1
(2)当x＝2时，y有最小值1
17．(9分)如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2＋mx与x轴交于另一点A(2，0).
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标；
(2)求直线AM的表达式．
解：(1)∵抛物线y＝2x2＋mx与x轴交于点A(2，0)，∴2×22＋2m＝0，∴m＝－4，∴y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，∴顶点M的坐标为(1，－2)
(2)设直线AM的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵图象过A(2，0)，M(1，－2)，∴解得∴直线AM的表达式为y＝2x－4
18．(9分)已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
解：(1)当y＝0时，2(x－1)(x－m－3)＝0，解得x1＝1，x2＝m＋3.当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点
(2)当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6.∴当2m＋6>0，即m>－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方
19．(9分)(2023·兰州)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
解：(1)根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)，对称轴为直线x＝1，设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，∴解得∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10 (2)在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得0＝－x2＋2x＋10，解得x＝＋1或x＝－＋1(舍去)，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(＋1)米
20．(9分)(2023·菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
解：(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(120－3x)米，根据题意得：S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x＝－3(x－20)2＋1200，∵－3<0，∴当x＝20时，S取最大值1200，∴120－3x＝120－3×20＝60，∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米时，花园面积最大为1200平方米 (2)设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2－m＝(2400－m)株，∵学校计划购买费用不超过5万元，∴25m＋15(2400－m)≤50000，解得m≤1400，∴最多可以购买1400株牡丹
21．(10分)(2023·随州)为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为p＝销量q(千克)与x的函数关系式为q＝x＋10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
(1)m＝__－2__，n＝__60__；
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
解：(1)把(5，50)，(10，40)代入p＝mx＋n得解得故答案为：－2，60 (2)当1≤x<20时，W＝pq＝(－2x＋60)(x＋10)＝－2x2＋40x＋600；当20≤x≤30时，W＝pq＝30(x＋10)＝30x＋300.∴W＝ (3)在W＝－2x2＋40x＋600中，令W＝1000，得－2x2＋40x＋600＝1000，整理得x2－20x＋200＝0，方程无实数解；由30x＋300>1000得x>23，∵x整数，∴x可取24，25，26，27，28，29，30，∴销售额超过1000元的共有7天
22．(10分)(2023·陕西)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m3，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN.
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8 m，拱高P′E′＝6 m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥ON′，OE′＝E′N′.
要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′、D′在抛物线上，边B′C′在ON′上．现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′＝3 m时，S2＝12 m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB＝3 m时，求矩形框架ABCD的面积S1，并比较S1，S2的大小．
解：(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点P(6，4)，设抛物线的函数表达式为y＝a(x－6)2＋4，把O(0，0)代入得：0＝a(0－6)2＋4，解得a＝－，∴y＝－(x－6)2＋4 (2)令y＝3，则－(x－6)2＋4＝3，解得x＝3或x＝9，∴BC＝9－3＝6(m)，∴S1＝AB·BC＝3×6＝18(m2).∵18>12，∴S1>S2
23．(11分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为(3，0).
(1)填空：点A的坐标为__(1，0)__，点D的坐标为__(2，－1)__，抛物线的表达式为__y＝x2－4x＋3__；
(2)当二次函数y＝x2＋bx＋c的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最小值为，求m的值；
(3)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵对称轴为直线x＝2，点B(3，0)是抛物线与x轴的交点，∴A(1，0)，将点A，C坐标代入，可得y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴D(2，－1)，故答案为：(1，0)，(2，－1)，y＝x2－4x＋3
(2)当m＋2＜2时，即m＜0，此时当x＝m＋2时，y有最小值，则(m＋2)2－4(m＋2)＋3＝，解得m＝±，∴m＝－；当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，则m2－4m＋3＝，解得m＝或m＝，∴m＝；当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为－1，与题意不符；综上所述：m的值为或－
(3)∵A(1，0)，C(0，3)，∴AC＝，AC的中点为E(，)，设P(2，t)，∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，∴PE＝AC，∴＝，∴t＝2或t＝1，∴P(2，2)或P(2，1)，∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为(2，2)或(2，1)
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