第二十六章　反比例函数

得分________　卷后分________　评价________

　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是( A )

A．x≠0 B．x＞0 C．x＜0 D．一切实数

2．已知反比例函数y＝的图象经过点P(－3，2)，则k的值为( C )

A．3 B．6 C．－6 D．－3

3．已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x增大而减小，则a的值可能是( A )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m²)之间有如下关系式：F＝pS.当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是( D )

sup7(
) sup7(
) sup7(
) sup7(
)

5．已知反比例函数y＝(x＜0)的图象如图所示，下列说法正确的是( D )

A．k＞0

B．y随x的增大而减小

C．若矩形OABC面积为2，则k＝2

D．若图象上两个点的坐标分别是M(－2，y₁)，N(－1，y₂)，则y₁＜y₂

sup7(
)　　　sup7(
)　　　sup7(
)

6．如图是三个反比例函数y₁＝，y₂＝，y₃＝在y轴右侧的图象，则( C )

A．k₁＞k₂＞k₃ B．k₂＞k₁＞k₃

C．k₃＞k₂＞k₁ D．k₃＞k₁＞k₂

7．如图，直线x＝t(t>0)与反比例函数y＝(x>0)，y＝(x>0)的图象分别交于B，C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为( D )

A．2 B．3 C．4 D．5

8．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象大致是( C )

sup7(
) sup7(
) sup7(
) sup7(
)

9．如图，反比例函数y＝(k>0)的图象与过点(－1，0)的直线AB相交于A，B两点．已知点A的坐标为(1，3)，点C为x轴上任意一点．如果S_△ABC＝9，那么点C的坐标为( D )

A．(－3，0) B．(5，0)

C．(－3，0)或(5，0) D．(3，0)或(－5，0)

sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)

10．如图，A，B是函数y＝上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是( B )

①△AOP≌△BOP；②S_△AOP＝S_△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S_△BOP＝2，则S_△ABP＝8

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

解析：点P是动点，∴BP与AP不一定相等，∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；设P(m，n).∵BP∥y轴，∴B(m，)，∴BP＝|－n|，∴S_△BOP＝×|－n|×|m|＝|3－mn|.∵PA∥x轴，∴A(，n)，∴AP＝|－m|，∴S_△AOP＝×|－m|×|n|＝|3－mn|，∴S_△AOP＝S_△BOP，②正确；如图①，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F.∵S_△AOP＝S_△BOP，OA＝OB，∴PE＝PF.∵PE⊥OB，PF⊥OA，∴OP平分∠AOB，③正确；如图②，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°，∴四边形OMPN是矩形．∵点A，B在双曲线y＝上，∴S_△AMO＝S_△BNO＝3.∵S_△BOP＝2，∴S_△PMO＝S_△PNO＝1，∴S_矩形OMPN＝2，∴mn＝2，∴m＝，∴BP＝|－n|＝|3n－n|＝2|n|，AP＝|－m|＝||，∴S_△ABP＝×2|n|×||＝4，④错误；故选：B

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．下列函数是反比例函数的有__①②③__．(只填序号)

①y＝－；②y＝5x^－1；③y＝(k为常数且k≠0)；④y＝.

12．已知点A(－2，y₁)，B(1，y₂)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，且y₁<y₂，则k的值可以是__2(答案不唯一)__．(只写一个)

13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，2)，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过线段OA的中点B，则k＝__－2__．

14．已知点A(－2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的解析式为__y＝－__．

15．当电压U(V)不变时，选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过的电流为I(A)，由欧姆定律可知I＝.当电阻R＝40 Ω时，测得的电流I＝0.3 A．为保证电流I不低于0.2 A且不超过0.6 A，则灯泡的电阻R的取值范围是__20≤R≤60__．

16．如图，已知函数y＝2x和函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是__P₁(0，－4)，P₂(－4，－4)，P₃(4，4)__．

解析：如图，∵△AOE的面积为4，函数y＝的图象过一、三象限，∴S_△AOE＝·OE·AE＝4，∴OE·AE＝8，∴xy＝8，∴k＝8.∵函数y＝2x和函数y＝(k≠0)的图象交于A，B两点，∴2x＝，∴x＝±2，当x＝2时，y＝4，当x＝－2时，y＝－4，∴A，B两点的坐标是(2，4)，(－2，－4).∵以点B，O，E，P为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P点有3个，分别为P₁(0，－4)，P₂(－4，－4)，P₃(4，4)

三、解答题(共72分)

17．(8分)已知反比例函数y＝的图象经过A(2，－4).

(1)求k的值；

(2)判断点B(－1，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．

解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过A(2，－4)，∴k＝2×(－4)＝－8

(2)把x＝－1代入反比例函数解析式y＝－得，y＝8≠5，所以点B(－1，5)不在这个函数的图象上

18．(8分)已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，y＝；当y＝时，z＝－2.试说明z是x的函数吗？当x＝16时，z的值是多少？

解：设y＝.∵当x＝8时，y＝，∴＝，∴k＝4，∴y＝.设z＝ny.∵当y＝时，z＝－2，∴－2＝n，∴n＝－6，∴z＝－6y，∴z＝－6×，即z＝－，∴z是x的反比例函数．将x＝16代入，得z＝－＝－

19．(8分)笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：

频率f(MHz)	10	15	50
波长λ(m)	30	20	6

(1)求波长λ关于频率f的函数解析式；

(2)当f＝75 MHz时，求此电磁波的波长λ.

解：(1)设波长λ关于频率f的函数解析式为λ＝(k≠0)，把f＝10，λ＝30代入上式中得＝30，解得k＝300，∴λ＝

(2)当f＝75时，λ＝＝4.答：当f＝75 MHz时，此电磁波的波长λ为4 m

20．(9分)作出反比例函数y＝－的图象，并结合图象回答：

(1)当x＝2时，y的值；

(2)当1<x≤4时，y的取值范围；

(3)当1≤y<4时，x的取值范围．

解：作反比例函数y＝－的图象如图所示．(1)把x＝2代入得y＝－＝－2　(2)当x＝1时，y＝－4；当x＝4时，y＝－1.根据图象得，当1<x≤4时，y的取值范围为－4<y≤－1　(3)当y＝1时，x＝－4；当y＝4时，x＝－1.根据图象得，当1≤y<4时，x的取值范围为－4≤x<－1

21．(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A(1，4)在反比例函数y＝第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y＝第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y＝k₂x交反比例函数第一象限的图象于点B.

(1)求反比例函数y＝和直线y＝k₂x的解析式；

(2)连接AC，AB，求△ABC的面积；

(3)请根据函数图象，直接写出关于x的不等式>k₂x的解集．

解：(1)∵点A(1，4)在反比例函数y＝第一象限的图象上，∴k₁＝1×4＝4，∴反比例函数为y＝.由题意得C(－4，4－m).∵点C恰好落在反比例函数y＝第三象限的图象上，∴4－m＝，∴m＝5，∴C(－4，－1)，代入y＝k₂x得－1＝－4k₂，∴k₂＝，∴直线y＝k₂x的解析式为y＝x

(2)作AM⊥x轴，交BC于点D，则D(1，)，∴AD＝4－＝.∵点B，C关于原点对称，∴B(4，1)，∴S_△ABC＝S_△ABD＋S_△ACD＝AD·(x_B－x_C)＝××(4＋4)＝15

(3)关于x的不等式>k₂x的解集为x<－4或0<x<4

22．(15分)某班“数学兴趣小组”对函数y＝＋x的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

(1)函数y＝＋x的自变量x的取值范围是__x≠1__；

(2)下表是y与x的几组对应值：

x

…

－3

－2

－1

0

2

3

4

5

…

y

…

－

－

－

－1

－

－

3

m

…

求m的值；

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2，3)，结合函数的图象，写出该函数的其他性质(一条即可)：__x＞2时，y随x的增大而增大(答案不唯一)__；

(5)小明发现：

①该函数的图象关于点(__1__，__1__)成中心对称；

②该函数的图象与一条垂直于x轴的直线无交点，则这条直线为__x＝1__；

③直线y＝m与该函数的图象无交点，则m的取值范围为__－1<m<3__．

sup7(
)　sup7(
)

解：(2)x＝4时，y＝，∴m＝　(3)函数图象如答图所示

23．(12分)如图，反比例函数y＝(k>0)与长方形OABC在第一象限相交于D，E两点，OA＝2，OC＝4，连接OD，OE，DE.记△OAD，△OCE的面积分别为S₁，S₂.

(1)①点B坐标为______；②S₁______S₂；(填“>”“<”“＝”)

(2)当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E坐标；

(3)当S₁＋S₂＝2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．

解：(1)①(4，2)　②＝

(2)当点D为AB中点时，AD＝2，∴D的坐标是(2，2).把D(2，2)代入y＝得k＝2×2＝4，∴y＝.∵点B坐标为(4，2)，∴E点横坐标为4，∴y＝1，∴E点坐标为(4，1)

(3)当S₁＋S₂＝2时，∵S₁＝S₂，∴S₁＝S₂＝1.∵S₁＝AD·AO＝AD×2＝1，∴AD＝1.∵S₂＝·CO·EC＝×4×EC＝1，∴EC＝.∵OA＝2，OC＝4，∴BD＝4－1＝3，BE＝2－＝，∴DO²＝AO²＋AD²＝4＋1＝5，DE²＝DB²＋BE²＝9＋＝，OE²＝CO²＋CE²＝16＋＝，∴DO²＋DE²＝OE²，∴△ODE是直角三角形．∵DO²＝5，∴DO＝.∵DE²＝，∴DE＝，∴△ODE的面积为×DO×DE＝××＝