第二十八章检测题

(时间：100分钟　　满分：120分)

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．tan30°的值等于( A )

A． B． C．1 D．

2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则cos B的值是( A )

A． B． C． D．

3．某书店拿取高处书籍的登高梯按如图位置摆放，登高梯AC的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度AC为3米，登高梯与地面的夹角∠ACB为72°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为( A )

A．3sin72°米 B．米 C．3cos72°米 D．米

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4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1＝，则∠2的度数为( B )

A．120° B．135° C．145° D．150°

5．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝2，sin B＝，则AC的长为( B )

A．3 B． C．2 D．4

6．若tan A＝2，则∠A的度数估计在( D )

A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间

C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间

7．(通辽中考)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos ∠ADC的值为( B )

A． B． C． D．

8．(2023·杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan²β，则n＝(C )

A．5 B．4 C．3 D．2

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9．(2023·日照)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3 m，则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)( B )

A．31 m B．36 m C．42 m D．53 m

10．黑龙江亚布力地区的滑雪场在国内享誉盛名，如图所示为该地区某滑雪场的一段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE.已知着陆坡DE的坡度为i＝1∶2.4，DE长度为19.5米，B，D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离约为(参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数)( C )

A．15.9米 B．16.0米 C．16.4米 D．24.5米

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝sin B＝，则△ABC是__钝角__三角形．

12．如果一个行人在斜坡为1∶2.4的坡面上行走130米，则他升高了__50__米．

13．(2023·黄石)如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为__423__米．(参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈)

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14．如图，甲楼高21 m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为__57__m．(结果精确到1 m，≈1.7)

15．市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1 km.若tan ∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了__24__km.

三、解答题(共75分)

16．(8分)计算：

(1)sin60°·tan30°＋cos60°·tan45°；

解：原式＝×＋×1＝＋＝1

(2)2cos30°－＋.

解：原式＝2×－＋1－＝－1＋1－＝

17．(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos ∠DAC.

(1)求证：AC＝BD；

(2)若sin C＝，BC＝12，求AD的长．

解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B＝，cos ∠DAC＝，又∵tan B＝cos ∠DAC，∴＝，∴AC＝BD

(2)在Rt△ADC中，sin C＝，故可设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝＝5k，∵BC＝BD＋CD，又AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k，∵BC＝12，∴18k＝12，∴k＝，∴AD＝12k＝12×＝8，∴AD的长为8

18．(8分)(2023·朝阳)如图，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由南向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东30°方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头D在北偏东45°方向上．已知大桥CD长300米，求桥头C到公路l的距离．(结果保留根号)

解：延长DC交直线l于H，设CH＝x米，∴HD＝(x＋300)米，根据题意，得∠DHA＝90°，在Rt△AHC中，∠A＝30°，tan30°＝，∴AH＝x米，∵AB＝500米，∴HB＝(x－500)米，在Rt△BHD中，∠HBD＝45°，∴HB＝HD，∴x－500＝x＋300，解得x＝400(＋1)米，答：桥头C到公路l的距离为400(＋1)米

19．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)

解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，

由题意，得AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝，∴设AF＝3x米，则BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(米)，在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得x＝，∴AB＝5x≈10.3(米)，∴斜坡AB的长约为10.3米

20．(10分)(2023·泰州)如图，堤坝AB长为10 m，坡度i为1∶0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1 m)

解：过B作BH⊥AE于H，∵坡度i为1∶0.75，∴设BH＝4x m，AH＝3x m，∴AB＝＝5x＝10 m，∴x＝2，∴AH＝6 m，BH＝8 m，过B作BF⊥CE于F，则EF＝BH＝8，BF＝EH，设DF＝a m，∵α＝26°35′.∴BF＝≈＝2a，∴AE＝6＋2a，∵坡度i为1∶0.75，∴CE∶AE＝(20＋a＋8)∶(6＋2a)＝1∶0.75，∴a＝12，∴DF＝12米，∴DE＝DF＋EF＝12＋8＝20(米)，答：堤坝高为8米，山高DE为20米

21．(10分)图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．

(1)真空管上端B到水平线AD的距离；

(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4.)

解：(1)过B作BF⊥AD于F.在Rt△ABF中，sin ∠BAF＝，则BF＝AB sin ∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8(米).答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米　(2)在Rt△ABF中，cos ∠BAF＝，则AF＝AB cos ∠BAF＝3cos37°≈2.4(米)，∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD－CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan ∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25(米)，∴BC＝DF＝AD－AF＝3.25－2.4≈0.9(米)，答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米

22．(10分)(丹东中考)如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE.

(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若sin ∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．

解：(1)CD是⊙O的切线．理由：连接OC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线

(2)设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin ∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r²＝(r－3)²＋4²，∴r＝，∴⊙O的半径为

23．(12分)(济宁中考)知识再现

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.

∵sin A＝，sin B＝，∴c＝，c＝.∴＝.

拓展探究

如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.

请探究，，之间的关系，并写出探究过程．

解决问题

如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60 m，∠A＝75°，∠C＝60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

解：拓展探究：如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，

在Rt△ABE中，sin B＝＝，同理：sin B＝＝，sin ∠BAC＝＝，sin ∠BCA＝＝，∴AE＝c sin B，AE＝b sin ∠BCA，CD＝a sin B，CD＝b sin ∠BAC，∴＝，＝，∴＝＝

解决问题：在△ABC中，∠CBA＝180°－∠A－∠C＝180°－75°－60°＝45°，∵＝，∴＝，∴AB＝30，∴点A到点B的距离为30 m