第二十八章　锐角三角函数

得分________　卷后分________　评价________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．2cos 30°＝( B )

　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A．1 B． C． D．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，那么∠A的三角函数值为的是( B )

A．sin A B．cos A C． D．tan A

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan A等于( A )

A．2 B． C． D．24

4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，BC＝4，tan ∠CAB＝，则AD的长为( C )

A．1 B．2 C．4 D．8

5．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是( C )

A．(sin α，sin α) B．(cos α，cos α)

C．(cos α，sin α) D．(sin α，cos α)

sup7(
)　 sup7(
)　 sup7(
)

6．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为( C )

(参考数据：tan 43°≈0.9，sin 43°≈0.7，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，结果保留整数)

A．188 m B．269 m C．286 m D．312 m

7．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30 km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20 km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为( B )

A．20 km B．(10＋20) km

C．(10＋10) km D．(20＋10) km

8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D，若CD＝12，PA＝8，则sin ∠ADB的值为( A )

A． B． C． D．

sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)

9．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos ∠APC的值为( B )

A． B． C． D．

10．如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，ED⊥AD，BC⊥AC，且cos ∠CBE＝，∠ABE＝30°，则的值为( D )

A． B． C． D．

解析：过点E作EF⊥AB，垂足为F.∵AC平分∠BAD，ED⊥AD，∴∠DAE＝∠CAB，EF＝ED.∵∠EFB＝90°，∠ABE＝30°，∴BE＝2EF.∵BC⊥AC，∴∠BCA＝∠EDA＝90°.∵cos ∠CBE＝＝，∴＝，即＝.∵∠EAD＝∠BAC，∠ADE＝∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴＝＝，故选D

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__10__米．

12．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝，则α＝__45°__．

13．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PH⊥x轴于点H，若cos ∠POH＝，则点P的坐标是__(12，5)__ .

sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

14．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin ∠AOC的值为____．

15．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为____．

16．如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF，则(1)EF＝____；(2)sin ∠CEF＝____．

解析：(1)∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC.根据翻折可得∠ECA＝∠FCA，∠BAC＝∠CAF.∵四边形ABCD是矩形，∴DA∥CB，∴∠ECA＝∠CAD，∴∠EAC＝∠CAD，∴∠DAF＝∠BAE.∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°.设CE＝AE＝x，则BE＝4－x，在△BAE中，根据勾股定理可得BA²＋BE²＝AE²，即(2)²＋(4－x)²＝ x²，解得x＝3.在Rt△EAF中，EF＝＝　(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G.设CG＝y，则GE＝3－y.∵FG²＝FC²－CG²＝FE²－EG²，FC＝4，FE＝，即16－y²＝17－(3－y)²，解得y＝，∴FG＝＝，∴sin ∠CEF＝＝

三、解答题(共72分)

17．(8分)计算：sin 30°·tan 45°＋sin²60°－2cos60°.

解：原式＝×1＋()²－2×＝

18．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上的一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．

解：∵∠BCA＝90°，∠BDC＝45°，∴∠DBC＝45°，∴CD＝CB＝6.又∵sin A＝，∴＝，∴AB＝15

19．(10分)如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向上，在Q的南偏西50°的方向上，求河宽．(结果精确到1 m，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)

解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°－50°＝40°，∴PT＝PQ·tan ∠PQT＝180×tan40°≈151(m).答：河宽约为151 m

20．(10分)如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于C点时距离地面MN的高度CH为30米，测得旗杆顶部A点的俯角为30°，测得旗杆底部B点的俯角为45°，求旗杆的高度．(结果保留根号)

解：作AD⊥CH，垂足为D.根据题意得，∠CBH＝45°，∠CAD＝30°.在Rt△BHC中，∵∠BHC＝90°，∠CBH＝∠BCH＝45°，∴BH＝30米．∵∠ABH＝∠BHD＝∠ADH＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝30米，AB＝DH.在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴CD＝AD·tan ∠CAD＝10(米)，∴AB＝DH＝(30－10)米．答：旗杆的高度为(30－10)米

21．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC.点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF＝DE，连接AE，AF，CF.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若＝，求tan ∠BCF的值．

解：(1)证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形．又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形　(2)∵＝，∴CE＝4BE.设BE＝a，则CE＝4a.由(1)可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF.∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan ∠BCF＝tan ∠BEA＝＝＝

22．(12分)阅读下列材料：

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝.

证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：

在Rt△BCD中，CD＝a sin B，在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A，∴＝.

根据上面的材料解决下列问题：

(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝；

(2)如图③，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)

解：(1)证明：如图②，过点A作AD⊥BC于点D.∵在Rt△ABD中，AD＝c sin B，在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，∴＝

(2)如图③，过点A作AE⊥BC于点E.∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin60°＝80×＝40(米)，又∵＝，即≈，∴BC≈90米，∴S_△ABC≈×90×40＝1 800(平方米)

23．(12分)图①是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算：

如图②，AB⊥BC，垂足为B，EA⊥AB，垂足为A，CD∥AB，CD＝10 cm，DE＝120 cm，FG⊥DE，垂足G.

(1)若∠θ＝37°50′，则AB的长约为__83.2__cm；(参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78)

(2)若FG＝30 cm，∠θ＝60°，求CF的长．

解：(1)作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，

则CD＝PQ＝10，∠2＋∠3＝90°.∵∠1＋∠θ＝90°，且∠1＝∠2，∴∠3＝∠θ＝37°50′，则EQ＝DE·sin ∠3＝120×sin37°50′，∴AB＝EP＝EQ＋PQ＝120×sin37°50′＋10≈83.2(cm)

(2)延长ED，BC交于点K，由(1)知∠θ＝∠3＝∠K＝60°.在Rt△CDK中，CK＝＝(cm)，在Rt△KGF中，KF＝＝20(cm)，则CF＝KF－CK＝(cm)