第三十章综合素质评价

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．下列函数是二次函数的是(　　)

A．y＝2x＋1 B．y＝(x＋2)²－x²

C．y＝x²＋2 D．y＝

2．点A(2，3)在函数y＝ax²－x＋1的图像上，则a等于(　　)

A．1 B．－1 C．2 D．－2

3．抛物线y＝－3x²＋6x＋2的对称轴是(　　)

A．直线x＝2 B．直线x＝－2

C．直线x＝1 D．直线x＝－1

4．y＝x²－1的图像可由下列哪一个函数的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到(　　)

A．y＝(x－1)²＋1 B．y＝(x＋1)²＋1

C．y＝(x－1)²－3 D．y＝(x＋1)²＋3

5．【母题：教材P₃₄例1(1) 】关于二次函数y＝2(x－4)²＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是(　　)

A．有最大值4 B．有最小值4

C．有最大值6 D．有最小值6

6．已知函数y＝ax²＋bx＋c的图像如图所示，那么函数表达式为(　　)

A．y＝－x²＋2x＋3

B．y＝x²－2x－3

C．y＝－x²－2x＋3

D．y＝－x²－2x－3

7．二次函数y＝x²－2x＋1的图像与x轴的交点个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

8．在同一坐标系中，与抛物线y＝2x²关于x轴对称的抛物线为(　　)

A．y＝x² B．y＝－x²

C．y＝－2x² D．y＝－x²

9.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x²，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，水面宽度AB为(　　)

A．－20 m B．10 m

C．20 m D．－10 m

10．[2022·兰州]已知二次函数y＝2x²－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是(　　)

A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2

11．[2023·襄阳一模]如图，二次函数y＝ax²＋ax与反比例函数 y＝在同一平面直角坐标系内的图像可能是(　　)

12．已知函数y＝x²＋bx＋c的部分图像如图所示，若y＜0，则x的取值范围是(　　)

A．－1＜x＜4

B．－1＜x＜3

C．x＜－1或x＞4

D．x＜－1或x＞3

13．[2023·东营]如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为(－4，0)，则下列结论正确的是(　　)

A．2a＋b＝0

B．－4a－2b＋c＞0

C．x＝2是关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根

D．点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)在抛物线上．当x₁＞x₂＞－1时， y₁＜y₂＜0

14．[2022·绍兴]已知抛物线y＝x²＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x²＋mx＝5的根是(　　)

A．x₁＝0，x₂＝4 B．x₁＝1，x₂＝5

C．x₁＝1，x₂＝－5 D．x₁＝－1，x₂＝5

15．[2023·宁波]已知二次函数y＝ax²－(3a＋1)x＋3(a≠0)，下列说法正确的是(　　)

A．点(1，2)在该函数的图像上

B．当a＝1且－1≤x≤3时，0≤y≤8

C．该函数的图像与x轴一定有交点

D．当a＞0时，该函数图像的对称轴一定在直线x＝的左侧

16．[2023·新疆]如图，在平面直角坐标系中，直线y₁＝mx＋n与抛物线y₂＝ax²＋bx－3相交于点A，B.结合图像，判断下列结论：①当－2＜x＜3时，y₁＞y₂；②x＝3是方程ax²＋bx－3＝0的一个解；③若(－1，t₁)，(4，t₂)是抛物线上的两点，则t₁＜t₂； ④对于抛物线y₂＝ax²＋bx－3，当－2＜x＜3时，y₂的取值范围是0＜y₂＜5.其中正确结论的个数是(　　)

A．4个 B．3个

C．2个 D．1个

二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)

17．[2023·泰安]二次函数y＝－x²－3x＋4的最大值是________．

18．将二次函数y＝2(x＋1)²的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为____________．

19. [2023·石家庄四十二中二模] [新考法·定义探究法]定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”，例如，点是函数y＝x图像的“阶方点”；点(2，1)是函数y＝图像的“2阶方点”．

(1)在①；②(－1，－1)；③(1，1)三点中，是反比例函数y＝图像的“1阶方点”的有________(填序号)；

(2)若y关于x的一次函数y＝ax－3a＋1图像的“2阶方点”有且只有一个，则a＝________；

(3)若y关于x的二次函数y＝－(x－n)²－2n＋1图像的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为________．

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)

20．已知二次函数y＝x²＋2x＋m的图像过点A(3，0)．

(1)求m的值．

(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？

21．已知抛物线y＝3x²－2x＋4.

(1)通过配方将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)²＋k的形式；

(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．

22．如图，二次函数y＝－x²＋bx＋c的图像与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C.其中A(3，0)，C(0，3)．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点P在二次函数图像上，且S_△AOP＝4S_△BOC，求点P的坐标．

23．如图，二次函数y＝x²－2x－3的图像与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数y＝－x＋b的图像交于A，C两点．

(1)求b的值；

(2)求△ABC的面积；

(3)根据图像直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．

24．[2023·随州]为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为 p＝ 销量q(千克)与x的函数关系式为q＝x＋10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．

(1)m＝________，n＝________；

(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；

(3)在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？

25. [2023·武汉] [新考法·函数建模法]某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表．

飞行时间t/s	0	2	4	6	8	…
飞行水平距离x/m	0	10	20	30	40	…
飞行高度y/m	0	22	40	54	64	…

探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)．

问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N) ，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

26．[2023·保定三模]如图，抛物线y＝ax²＋bx＋2(a<0)经过点A (－1，0)，过点P(1，3)作PB∥y轴，向右作PN⊥PB，且PB＝2PN＝2，以PB，PN为邻边构造矩形PBMN.双曲线在第一象限内的分支L：y＝经过PB的中点Q.

(1)用含a的代数式表示b，并求双曲线的表达式(不写自变量的取值范围)；

(2)若抛物线经过点P，求抛物线的表达式，并求第一象限内两个函数图像围成的封闭区域内(包括边界)所有整点(横、纵坐标都是整数的点)的个数；

(3)若在图像L的上方，抛物线与矩形PBMN的边有2个公共点，直接写出a的取值范围．

答案

一、1.C　2.A　3.C　4.B　5.D　6.A　7.B　8.C

9．C 【点拨】由题意得－4＝－x²，解得x＝±10.

∴点A的坐标为(－10，－4)，点B的坐标为(10，－4)，

∴这时水面宽度AB为20 m，故选C.

10．B 【点拨】∵y＝2x²－4x＋5＝2(x－1)²＋3，

∴开口向上，对称轴为直线x＝1，

∴当x>1时，函数值y随x的增大而增大．

11．D 【点拨】根据y＝ax²＋ax可知，二次函数的图像过原点，对称轴为直线x＝－.再分a>0和a<0两种情况讨论，即可找到符合题意的答案．

12．B 【点拨】由图像知，抛物线与x轴交于(－1，0)，对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)．

∵y<0时，函数的图像位于x轴的下方，

且当－1<x<3时函数图像位于x轴的下方，

∴当－1<x<3时，y<0.

13．C 【点拨】∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，

∴x＝－＝－1，∴b＝2a.∴2a－b＝0.故A错误．

∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＞0，

∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，

∴－4a－2b＋c＜0.故B错误．

∵抛物线与x轴交于点(－4，0)，对称轴为直线x＝－1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，

∴x＝2是关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，故C正确．

∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，

∴当x＞－1时，y随x的增大而增大．

∴当x₁＞x₂＞－1时，y₁＞y₂，故D错误．

故选C.

14．D 【点拨】∵抛物线y＝x²＋mx的对称轴为直线x＝2，

∴－＝2，解得m＝－4.

∴关于x的方程x²＋mx＝5为x²－4x－5＝0.

∴(x－5)(x＋1)＝0，解得x₁＝5，x₂＝－1.

15．C 【点拨】当x＝1时，y＝a×1²－(3a＋1)×1＋3＝2－2a.

∵a≠0，∴y＝2－2a≠2，

∴点(1，2)不在该函数的图像上，

故选项A不正确；

当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，

∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，

即当x＝2时，y＝－1＜0，

故选项B不正确；

令y＝0，则ax²－(3a＋1)x＋3＝0，

∴b²－4ac＝[－(3a＋1)]²－4a·3＝(3a－1)²≥0，

∴该函数的图像与x轴一定有交点，

故选项C正确；

∵该抛物线的对称轴为直线x＝＝＋，a＞0，

∴＋＞，

∴该抛物线的对称轴一定在直线x＝的右侧，故选项D不正确．

故选C.

16．B 【点拨】由图像可知当－2＜x＜3时，直线y₁＝mx＋n在抛物线y₂＝ax²＋bx－3的上方，

∴当－2＜x＜3时，y₁＞y₂，

故①正确．

由图像可知抛物线y₂＝ax²＋bx－3与x轴交于点(3，0)，

∴x＝3是方程ax²＋bx－3＝0的一个解，

故②正确．

将点(－2，5)，(3，0)的坐标代入y₂＝ax²＋bx－3得解得

∴抛物线表达式为y₂＝x²－2x－3，

当x＝－1时，y₂＝t₁＝0，

当x＝4时，y₂＝t₂＝5，

∴t₁＜t₂，

故③正确．

由③可知(－2，5)与点(4，5)关于对称轴对称，

∴对称轴为直线x＝＝1.

将x＝1代入抛物线表达式，解得y₂＝－4，

∴当－2＜x＜3时，y₂的取值范围为－4＜y₂＜5，

故④错误．

故选B.

二、17.　18.y＝2x²－2

19．(1)②③　(2)3或－1　(3)≤n≤1

【点拨】(1)∵点到y轴的距离为2，大于1，

∴不是反比例函数y＝图像的“1阶方点”．

∵点(－1，－1)和点(1，1)都在反比例函数y＝的图像上，且到两坐标轴的距离都为1，

∴(－1，－1)和(1，1)是反比例函数y＝图像的“1阶方点”．

(2)如图，作正方形，四个顶点坐标分别为(2，2)，(2，－2)，(－2，2)，(－2，－2)，

当a>0时，若关于x的一次函数y＝ax－3a＋1图像的“2阶方点”有且只有一个，则y＝ax－3a＋1的图像过点(－2，2)或(2，－2)，

把(－2，2)代入y＝ax－3a＋1，得2＝－2a－3a＋1，

解得a＝－(舍去)；

把(2，－2)代入y＝ax－3a＋1，得－2＝2a－3a＋1，

解得a＝3；

当a<0时，若y关于x的一次函数y＝ax－3a＋1图像的“2阶方点”有且只有一个，则y＝ax－3a＋1的过点(2，2)或

(－2，－2)，

把(2，2)代入y＝ax－3a＋1，得2＝2a－3a＋1，

解得a＝－1；

把(－2，－2)代入y＝ax－3a＋1，得－2＝－2a－3a＋1，

解得a＝(舍去)；

综上，a的值为3或－1.

(3)∵二次函数y＝－(x－n)²－2n＋1的顶点坐标为

(n，－2n＋1)，

∴二次函数y＝－(x－n)²－2n＋1的顶点在直线y＝－2x＋1上移动．

∵y关于x的二次函数y＝－(x－n)²－2n＋1图像的“n阶方点”一定存在，

∴二次函数y＝－(x－n)²－2n＋1的图像与以顶点坐标为(n，n)，(n，－n)，(－n，n)，(－n，－n)的正方形有交点，

如图，当y＝－(x－n)²－2n＋1的图像过点(n，－n)时，

将(n，－n)代入y＝－(x－n)²－2n＋1，

得－n＝－(n－n)²－2n＋1，解得n＝1.

当y＝－(x－n)²－2n＋1的图像过点(－n，n)时，

将(－n，n)代入y＝－(x－n)²－2n＋1，

得n＝－(－n－n)²－2n＋1，解得n＝或n＝－1(舍去)，

由图可知，若y关于x的二次函数y＝－(x－n)²－2n＋1图像的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为≤n≤1.

三、20.解：(1)∵二次函数y＝x²＋2x＋m的图像过点A(3，0)，

∴9＋6＋m＝0，∴m＝－15.

(2)∵y＝x²＋2x－15＝(x＋1)²－16，

∴二次函数的图像的对称轴为直线x＝－1.

∵1＞0，

∴当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大．

21．解：(1)y＝3x²－2x＋4＝3[x²－x＋－]＋4＝

3－＋4＝3(x－)²＋.

(2)开口向上，对称轴是直线x＝.

22．解：(1)把点A(3，0)，C(0，3)的坐标代入y＝－x²＋bx＋c中，

得 解得

∴二次函数的表达式为y＝－x²＋2x＋3.

(2)当y＝0时，则－x²＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，

∴B(－1，0)．∴OB＝1.

∵A(3，0)，C(0，3)，∴OA＝3，OC＝3，

∴S_△BOC＝OB·OC＝.

∵S_△AOP＝4S_△BOC，∴S_△AOP＝6，∴OA·|y_P|＝6，

∴|y_P|＝4，∴y_P＝±4，

当y＝－x²＋2x＋3＝4时，解得x＝1，即P(1，4)；

当y＝－x²＋2x＋3＝－4时，解得x＝1＋2或x＝1－2，即P点坐标为(1＋2，－4)或(1－2，－4)；

综上所述，点P的坐标为(1，4)或(1＋2，－4)或

(1－2，－4)．

23．解：(1)令y＝x²－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.

∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)．

将点A(－1，0)的坐标代入y＝－x＋b，

得1＋b＝0，解得b＝－1.

(2)解方程组得或

∴点C的坐标为(2，－3)．

∴△ABC的面积＝×4×3＝6.

(3)根据图像可知，当－1＜x＜2时，一次函数的值大于二次函数的值．

24．解：(1)－2；60　 【点拨】把(5，50)，(10，40)的坐标代入

p＝mx＋n，得

解得

(2)当1≤x<20时，

W＝pq＝(－2x＋60)(x＋10)＝－2x²＋40x＋600；

当20≤x≤30时，

W＝pq＝30(x＋10)＝30x＋300；

∴W＝

(3)在W＝－2x²＋40x＋600中，

令W＝1 000，得－2x²＋40x＋600＝1 000，

整理得x²－20x＋200＝0，

方程无实数解；

由30x＋300＞1 000得x＞23，

∵x为整数，∴x可取24，25，26，27，28，29，30，　

∴在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有7天．

25．解：探究发现：x＝5t，y＝－t²＋12t.

问题解决：(1)依题意，得－t²＋12t＝0，

解得t₁＝0(舍去)，t₂＝24，

当t＝24时，x＝120.

答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.

(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度y′＝－t²＋12t＋n，

∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26.

在y′＝－t²＋12t＋n中，

当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；

当t＝26，y′＝0时，n＝26.

∴12.5＜n＜26.

答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.

26．解：(1)将点A(－1，0)代入抛物线的表达式y＝ax²＋bx＋2，

得a－b＋2＝0，

∴b＝a＋2.

∵PB∥y轴，P(1，3)，PB＝2，点Q为PB的中点，

∴Q(1，2)．

把点Q(1，2)的坐标代入y＝，得＝2，则k＝2，

∴双曲线的表达式为y＝.

(2)∵矩形PBMN中，P(1，3)，PB＝2PN＝2，

∴N(2，3)，M(2，1)．

由(1)得，抛物线的表达式可以表示为

y＝ax²＋(a＋2)x＋2(a<0)．

把P(1，3)的坐标代入y＝ax²＋(a＋2)x＋2，

得a＋(a＋2)＋2＝3，解得a＝－.

∴抛物线的表达式为y＝－x²＋x＋2.

当x＝2时，y＝－×4＋×2＋2＝－2＋3＋2＝3，

∴抛物线经过点N(2，3)，

同理，抛物线经过点(3，2)．

∵图像L经过Q(1，2)，M(2，1)，且点(2，2)，(3，1)在L上方，

∴符合题意的整点坐标分别为(1，3)，(1，2)，(2，3)，(2，2)，(2，1)，(3，2)，(3，1)共有7个．

(3)a的取值范围为－<a<2－4或a＝－.

【点拨】在原题图形状态下，随着a的减小，抛物线的开口变小，顶点下移．

①当抛物线经过点P时，由(2)可知，也经过点N(2，3)，则在图像L的上方，抛物线与矩形PBMN的边有2个公共点，此时a＝－.

②当抛物线的顶点在PN上时，由＝3，解得a₁＝2－4，a₂＝－2－4(不符合题意，舍去)，此时符合题意的公共点有3个，随着a的减小，公共点变为2个；

③当抛物线的顶点在M(2，1)上时，则4a＋2(a＋2)＋2＝1，解得a＝－，此时符合题意的公共点有1个．

综上可知，a的取值范围为－<a<2－4或a＝－.