第二十九章综合素质评价

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．已知OP＝5，⊙O的半径为5，则点P在(　　)

A．⊙O上 B．⊙O内

C．⊙O外 D．圆心上

2．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(　　)

3．[2023·保定二模]如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是(　　)

A．4 B．5 C．6 D．7

4．【母题：教材P₇习题A组T₂】在平面直角坐标系中，以点 (3，2)为圆心、2为半径的圆，一定(　　)

A．与x轴相切，与y轴相切

B．与x轴相切，与y轴相离

C．与x轴相离，与y轴相切

D．与x轴相离，与y轴相离

5．下列命题是真命题的是(　　)

A．六边形的内角和是540°

B．三角形的内心是三边的垂直平分线的交点

C．同位角相等

D．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆

6．[2023·营口]如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是(　　)

A．50° B．40° C．70° D．60°

7．【母题：教材复习题A组P₂₁T₄】若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径分别为(　　)

A．6，3 B．3，3

C．6，3 D．6，3

8．[2023·重庆育才中学三模]如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为(　　)

A．2 B．2

C．3 D．3

9．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AC是⊙O的直径，∠P＝62°，则∠BOC的度数是(　　)

A．60° B．62° C．31° D．70°

10．[2023·眉山]如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为(　　)

A．25° B．35° C．40° D．45°

11.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图像被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是(　　)

A．4 B．3＋ C．3 D．3＋

12.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)

A．40° B．55° C．65° D．70°

13．[2022·武汉]如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9 cm，AB＝20 cm，BC＝24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是(　　)

A. cm B．8 cm C．6 cm D．10 cm

14.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD＝DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E.设△OAC的面积为S₁，△OBE的面积为S₂，若＝，则

tan∠ACO的值为(　　)

A. B. C. D.

15．[2023·台州]如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(　　)

A. B．2

C．4＋2 D．4－2

16．[2023·沧州模拟]如图①，PQ为⊙O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在PQ上方的⊙O上运动(含P，Q两点)，连接AB，设∠AOB＝α.有以下结论：

结论Ⅰ：当线段AB与⊙O只有一个公共点A时，α的范围是0°≤α≤60°；

结论Ⅱ：当线段AB与⊙O有两个公共点A，M时，如图②，若AO⊥PM于N，则tan∠MPQ＝.

下列判断正确的是(　　)

A．Ⅰ和Ⅱ都正确 B．Ⅰ和Ⅱ都错误

C．Ⅰ错误Ⅱ正确 D．Ⅰ正确Ⅱ错误

二、填空题(每题3分，共9分)

17．[2023·广州二模]⊙O的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程x²－3x＋2＝0的两根和与两根积，则直线l与⊙O的位置关系是________．

18．[2023·菏泽]如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆， 则阴影部分的面积为________(结果保留π)．

19．[2023·岳阳三模]如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，AM是⊙O的切线，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P，若∠APB＝40°，则AD的长为________；若AC＝8，则线段PD的长是________．

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分)

20．如图，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)．判断点 P(－1，1)，点Q(0，1)，点R(2，2)和⊙O′的位置关系．

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.

(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

22．【母题：教材P₁₇例2】如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，且边长为4.

(1)求该正六边形的半径、边心距和中心角；

(2)求该正六边形的外接圆的周长和面积．

23．[2023·包头]如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP.

(1)求证：∠ADC－∠BAC＝90°(请用两种证法解答)；

(2)若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，⊙P切x轴、y轴于C，D两点，直线交x轴正半轴、y轴正半轴于A，B两点，且与⊙P相切于点 E．若AC＝4，BD＝6.

(1)求⊙P的半径；

(2)求切点E的坐标．

25．[2023·恩施州]如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．

26. [2023·邯郸二模] [情境题·生活应用]摩天轮(如图①)是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成(如图②)，大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点(如点P，N)均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线(如PQ，MN)始终垂直于水平线l.

(1)∠NOP＝________°.

(2)若OA＝16，⊙O的半径为10，小圆的半径都为1.

①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；

②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；

③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值．

答案

一、1.A　2.B　3.C　4.B　5.D

6．D 【点拨】如图，连接BD.

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°.

∵∠BAD＝30°，

∴∠ADB＝90°－30°＝60°.

∴∠ACB＝∠ADB＝60°.

7．B 【点拨】因为正方形内切圆半径为正方形边长的一半且正方形边长为6，所以其内切圆半径为3.又因为正方形边长是其外接圆半径的倍，所以其外接圆半径为＝3，故选B.

8．B 【点拨】连接AD，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC.

∴∠OAC＝90°.∵∠C＝30°，∴∠AOC＝90°－30°＝60°.

又∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形．∴∠OAD＝60°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝2OA＝4，

∴BD＝AB·sin 60°＝4×＝2，故选B.

9．B 【点拨】∵PA，PB是⊙O的两条切线，

∴∠A＝∠B＝90°.∴∠P＋∠AOB＝180°.

∵∠BOC＋∠AOB＝180°，∴∠BOC＝∠P＝62°.

10．C 【点拨】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出

∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°－∠O＝40°.

11．B 【点拨】

作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，如图．

∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，

∴OC＝3，PC＝a，

把x＝3代入y＝x得y＝3，

∴D点的坐标为(3，3)．∴CD＝3＝OC.

∴△OCD为等腰直角三角形．

易知△PED也为等腰直角三角形．

∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2.

在Rt△PBE中，PB＝3，BE＝2，

∴PE＝＝1.∴PD＝PE＝.

∴a＝3＋.

12．B 【点拨】由∠B＝50°，∠C＝60°可求出∠A＝70°，则易求得∠EOF＝110°，

∴∠EDF＝∠EOF＝55°.

13．B 【点拨】如图，当AB，BC，CD分别切⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H.

∵AD∥BC，∠BAD＝90°，

∴∠ABC＝90°.

∵∠DHB＝90°，

∴四边形ABHD是矩形．

∴AB＝DH＝20 cm，AD＝BH＝9 cm.

∵BC＝24 cm，

∴CH＝BC－BH＝24－9＝15(cm)，

∴CD＝＝＝25(cm)．

设OE＝OF＝OG＝r cm，

则有×(9＋24)×20＝×20×r＋×24×r＋×25×r＋×9×(20－r)，解得r＝8.

∴OE＝OF＝OG＝8 cm.

14．A 【点拨】如图，过点C作CH⊥AO于点H.

∵CD＝BD，

∴∠COD＝∠BOE.

∵∠A＝∠COB，

∴∠A＝∠BOE.

∵＝，即＝，∴＝.

∵∠A＝∠BOE，∴tan A＝tan∠BOE.

∴＝，即＝＝.

设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO，

∴OH＝3m－2m＝m.∴CH＝＝2m.

∴tan A＝ ＝＝.

∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.∴tan∠ACO＝.

15．D 【点拨】如图，连接OA并延长交⊙O于点B，连接OC，

则易知AB的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值．

由题意可得，AC＝4，OB＝4，

∵点O为正方形的中心，

∴OA⊥OC，OA＝OC，

∴△AOC为等腰直角三角形，∴OA＝＝＝2，

∴AB＝OB－OA＝4－2.

16．A 【点拨】①∵当点A与点Q重合时，

线段AB与⊙O只有一个公共点，此时α＝0°；

②当线段AB所在的直线与⊙O相切时，

线段AB与⊙O只有一个公共点，此时OA⊥AB.

∵OA＝OQ＝1，OB＝2，∴cos α＝＝，∴α＝60°，

∴当线段AB与⊙O只有一个公共点A时，α的范围是0°≤α≤60°；

故结论Ⅰ正确；

如图，连接MQ，∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ＝90°，

∴QM⊥PM.

∵AO⊥PM，∴QM∥OA，∴∠BQM＝∠AOB，

又∵∠B＝∠B，∴△AOB∽△MQB，∴＝.

∵OQ＝QB＝1，∴OB＝2，∴＝＝2.

∵OA＝OQ＝1，∴QM＝，PQ＝2，

∴在Rt△PMQ中，PM＝＝，

∴tan∠MPQ＝＝＝，

故结论Ⅱ正确；

故选A.

二、17.相交　18.6 π

19.π； 【点拨】∵AM是⊙O的切线，

∴∠MAB＝90°.

∵∠APB＝40°，∴∠B＝90°－∠APB＝90°－40°＝50°.

∴AD所对圆心角度数为50°×2＝100°，

∴AD的长为×π＝π.

如图，连接AD.

∵AB为直径，CD⊥AB，

∴CE＝DE，∠ADB＝90°，

∴AD＝AC＝8.

∵AB＝10，∴BD＝＝6.

∵∠BAP＝∠BDA＝90°，∠ABD＝∠PBA，

∴△ADB∽△PAB.∴＝.

∴PB＝＝＝.∴DP＝PB－BD＝－6＝.

三、20.解：圆的半径是＝.

P与O′的距离＝2＞，则P在⊙O′的外部；

Q与O′的距离＝1＜，则Q在⊙O′的内部；

R与O′的距离＝＝＝圆的半径，则R在⊙O′上．

21．解：(1)如图所示．

(2)AB与⊙O相切．

证明如下：过O作OD⊥AB于点D，如图．

∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OD⊥AB，

∴OD＝OC.即OD为⊙O的半径．

∴AB与⊙O相切．

22．解：(1)如图，AB为⊙O的内接正六边形的一边，连接OA，OB，

过点O作OM⊥AB于点M.

∵六边形ABCDEF为正六边形，

∴OA＝OB，∠AOB＝×360°＝60°.

∴△OAB为等边三角形．∴OA＝AB＝4.

∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝2.

∴OM＝＝2.

∴该正六边形的半径为4，边心距为2，中心角为60°.

(2)该正六边形的外接圆的周长＝2π×OA＝8π，

外接圆的面积＝π×OA²＝16π.

23．(1)证明：证法一：如图，连接BD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，

∴∠ADC－∠BAC＝90°.

证法二：如图，连接BC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，

∴∠PBC－∠BAC＝ 90°.

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠ADC＋∠ABC＝180°.

∵∠PBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠PBC.

∴∠ADC－∠BAC＝90°.

(2)解：由证法二得∠ADC＝∠PBC.

∵∠ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠PCA.

∵∠BPC＝∠CPA，

∴△PBC∽△PCA.∴＝.

∴PC²＝PA·PB.

∵⊙O的半径为3，∴AB＝6.∴PA＝PB＋6.

∵CP＝4，

∴42＝(PB＋6)·PB，解得PB＝2或PB＝－8(舍去)．

∴AP＝2＋6＝8.

24. 解：(1)如图，连接PD，PC.

∵OB，OA，AB是⊙P的切线，

∴BE＝BD＝6，AE＝AC＝4，OD＝OC，

PD⊥OB，PC⊥OC.

又∵∠DOC＝90°，DP＝CP，

∴四边形PDOC是正方形，∴PD＝DO＝OC＝PC.

设PD＝x，∵OB²＋OA²＝AB²，

AB＝BE＋AE＝6＋4＝10，

∴(x＋6)²＋(x＋4)²＝10²，

解得x₁＝2，x₂＝－12(舍去)，

∴⊙P的半径为2.

(2)如图，过E作EH⊥OA于H，

易知EH∥OB，∴△ABO∽△AEH，

∴＝＝，即＝＝，

∴EH＝，AH＝，∴OH＝2＋4－＝，

∴E.

25．(1)证明：如图，连接OD，作OM⊥BC于M.

由题意得AC＝BC，

∵O是AB的中点，

∴CO平分∠ACB.

∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC.∴OD＝OM.

∴BC是⊙O的切线．

(2)解：如图，作OH⊥AG于H，

∴∠GHO＝90°，FG＝2GH.

易得CG⊥AB，△OAC和△AOD是等腰直角三角形，

∴∠AOG＝90°＝∠GHO，OA＝AC＝×4＝4.

∴OD＝AO＝2，

∴OG＝2，∴AG＝＝2.

∵∠GHO＝∠GOA，∠G＝∠G，∴△GHO∽△GOA，

∴＝，即＝，解得GH＝.

∴FG＝.

26．(1)60

(2)①25

②解：如图，设⊙H的挂点为K，连接KH，

过点H作HT⊥l于点T，

∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，

∴K，H，T在同一直线上．

∵圆心H到l的距离等于OA，

∴HT＝OA.

∵HT⊥l，OA⊥l，∴HT∥OA，

∴四边形HTAO是平行四边形．

又∵∠OAT＝90°，∴四边形HTAO是矩形，

∴∠OHT＝90°，∴∠OHK＝90°，

∴OH＝＝＝3；

③证明：如图所示，连接NP，

由(1)知∠NOP＝60°.

又∵ON＝OP＝10，

∴△NOP是等边三角形，∴NP＝ON＝OP＝10.

∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，

∴MN＝PQ＝1，MN∥PQ，

∴四边形MNPQ是平行四边形，

∴MQ＝NP＝10，

∴MQ的长为定值．