第二十八章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列实数中是无理数的是(　　)

A．tan 30° B． C． D．

2．(母题：教材P84复习题T1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A等于(　　)

A． B． C． D．

3．[2023·太原五中模拟]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，则∠B等于(　　)

A．15° B．45° C．30° D．60°

4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为(　　)

A． B． C． D．

5．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为(　　)

A． B． C． D．

6.为出行方便，近日来越来越多的市民使用了共享单车，图①为单车实物图，图②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为20 cm，当BC＝60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为(　　)(结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)

A．80 cm B．72 cm C．76 cm D．70 cm

7 ．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin E的值为(　　)

A． B． C． D．

8．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的边OB在x轴上，∠AOB＝60°，B(4，0)，点D，E分别是边OB，OA上的点，将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，若AE＝AF，则点F的坐标为(　　)

A．(2，2) B．(2，4) C．(3，4) D．(2，3)

9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为(　　)

A．30° B．50° C．60°或120° D．30°或150°

10．[2022·泸州]如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝，若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为(　　)

A．y＝3x B．y＝－x＋ C．y＝－2x＋11 D．y＝－2x＋12

二、填空题(每题3分，共24分)

11.如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

12．在△ABC中，若＋＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C＝________.

1 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin A＝，

以点C为圆心，R为半径作圆，使A，B两点一点在圆

内，一点在圆外，那么R的取值范围是__________．

14．(母题：教材P69习题T8)如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AB＝4，sin A＝，则平行四边形ABCD的面积是______．

15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．

16．[2023·连云港]如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝(x<0)的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝________．

17．[2022·桂林]如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走，已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是________m.

18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的动点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，点G在AE上，且EG＝EF，点M，N分别为GF，CD的中点，连接MN，则MN的最小值为________．

三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分)

19．(母题：教材P68习题T3)计算：

(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；

(2)(－1)⁰＋＋|－2|＋tan 60°.

20．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．

21．[2022·鄂尔多斯]如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC的中点，连接OE，DE，BD．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．

22．[2023·重庆]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：≈1.41，≈1.73)

(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)

(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

23．[2023·潜江]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝34是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)

24.“十四五”开局，全面推进乡村振兴，加快农村农业现代化，无人机遥感数据采集引领农业精准发展．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为120 m的A处测得试验田一侧边界N处俯角为60°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田另一侧边界M处俯角为48°，已知点A，B，M，N在同一平面内，求试验田边界M，N之间的距离．(参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，≈1.73，结果精确到0.1 m)

答案

一、1．A　2．B

3．D【点拨】根据直角三角形的边角关系，求出tan B的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．

4．A【点拨】过点A作BC的垂线，与BC的延长线交于点D，在Rt△ABD中，由AD＝3，BD＝3，可得△ABD是等腰直角三角形，计算即可得出答案．

5．D

6．C【点拨】作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH，再求出CH＋AP即可得到答案．

7．A

8．A【点拨】过A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G.根据四边形AOBC是菱形，∠AOB＝60°，B(4，0)，可得∠OAC＝120°，OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，则A(2，2)．又∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EF＝2EG.∴EG＝AE·cos30°＝AE.故EF＝AE.由将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，有OE＝EF＝AE，从而AE＋AE＝4，则AE＝2－2，即AF＝2－2，可得F(2，2)．

9．D【点拨】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝，则180°－∠BAC＝30°，所以

∠ BAC＝150°.

10．D【点拨】连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，作直线MN，则直线MN为符合条件的直线l，如图．

∵四边形OABC是矩形，

∴OM＝BM.

∵点B的坐标为(10，4)，

∴M(5，2)，AB＝10，BC＝4.

∵四边形ABEF为菱形，

∴BE＝AB＝10.

如图，过点E作EG⊥AB于点G.

在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝，∴＝.

设EG＝4k，则BG＝3k，

∴BE＝＝5k.

∴5k＝10.∴k＝2.

∴EG＝8，BG＝6.

∴AG＝4.∴E(4，12)．

∵点B的坐标为(10，4)，AB∥x轴，

∴A(0，4)．

易知点N为AE的中点，∴N(2，8)．

设直线l的解析式为y＝ax＋b，

∴解得

∴直线l的解析式为y＝－2x＋12.故选D．

二、11.21 【点拨】∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB．

在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3 m，

∴AC＝≈＝5(m)，AD＝≈＝4(m)，

∴CA＝CB≈5 m，AB＝2AD≈8(m)，

∴AC＋CB＋AB＋CD≈5＋5＋8＋3＝21(m)．

∴共需钢材约21 m.

12．105°

13．5＜R＜12　【点拨】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin A＝，

∴BC＝AB×sin A＝13×＝5.

∴AC＝＝12.

∵以点C为圆心，R为半径作圆，使A，B两点一点在圆内，一点在圆外，

∴5＜R＜12.

14．3

15. 　【点拨】由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′＝＝

＝.

16．－ 【点拨】如图，作AE⊥x轴于点E.

∵矩形OABC的面积是6，

∴△AOC的面积是3，

∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，

∴＝.

∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC．

∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，

∴＝，∴＝.

∵S_△OEA＝|k|，k<0，∴k＝－.

故答案为－.

17．20　

18.　【点拨】如图，连接AC，BD交于点O，

由题意得∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，连接ME，CM，

由EG＝EF，EF⊥AE，点M为GF的中点，可知EM⊥GF，∠MEF＝45°，所以∠EMF＝∠BCD＝90°，故E，M，F，C在以EF为直径的圆上，所以

∠MCN＝∠MEF＝45°，则M在线段AC上运动，当NM⊥AC时，MN最短，从而可得答案．

三、19.【解】(1)原式＝×＋1×＝＋＝.

(2)原式＝1＋9＋2－＋＝12.

20．【解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，

∴∠CDB＝90°.

∵∠ABC＝120°，

∴∠CBD＝180°－∠ABC＝60°.

∵BC＝2，

∴sin∠CBD＝＝，cos∠CBD＝＝，

即sin 60°＝＝，cos 60°＝＝.

∴CD＝，BD＝1.

∵AB＝4，

∴AD＝AB＋BD＝4＋1＝5.

∴AC＝＝＝2，

即AC的长为2.

21．(1)【证明】如图，连接OD．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∴∠BDC＝90°.

∵E是BC的中点，

∴DE＝BE＝EC＝BC．

∵⊙O与BC相切于点B，

∴∠ABC＝90°.

在△DOE和△BOE中，

∴△DOE≌△BOE (SSS) .

∴∠ODE＝∠ABC＝90°.

∴OD⊥DE.

又∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线．

(2)解：∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＋∠CBD＝90°.

由(1)知∠BDC＝90°，BC＝2DE，

∴∠C＋∠CBD＝90°，BC＝2DE＝10.

∴∠C＝∠ABD．

在Rt△ABC中，AC＝＝＝＝.

∵OA＝OB, BE＝CE，

∴OE＝AC＝.

22．【解】(1)如图，过点D作DF⊥AE，垂足为F，

由题意得四边形ABCF是矩形，

∴AF＝BC＝10千米．

在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，

∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14(千米)．

∴AD的长度约为14千米；

(2)小明应该选择线路①，

理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°， AF＝10千米，

∴∠ADF＝45°＝∠DAF，

∴DF＝AF＝10千米，

在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，

AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，

∴AE＝AB·tan 30°＝24×＝8(千米)，

∴EB＝2AE＝16千米．

按线路①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)；

按线路②A－E－B走的路程为AE＋EB＝8＋16≈24×1.73＝41.52(千米)．

∵38千米<41.52千米，

∴小明应该选择线路①.

23．【解】如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，

由题意得AF⊥BC，DE＝AF，

∵斜面AB的坡度i＝3∶4，

∴＝.

设AF＝3x米，则BF＝4x米，

在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(米)，

在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，

∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(米)．

∴AF＝DE≈6.2米，

∴3x≈6.2，解得x≈.

∴AB≈5×＝10.3(米)．

∴斜坡AB的长约为10.3米．

24．【解】如图，延长AB交MN于点O，则AO⊥MN.

由题意得∠N＝60°，∠M＝48°，AO＝120 m，AB＝40 m，则BO＝AO－AB＝80(m)．

在Rt△AON中，tan N＝＝tan60°，

∴NO＝≈69.36 m.

在Rt△BOM中，tan M＝＝tan48°，

∴MO＝≈72.07 m.

∴MN＝MO＋NO≈72.07＋69.36≈141.4(m)．

答：试验田边界M，N之间的距离约为141.4 m.