第二十七章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.如图是杭州亚运会吉祥物“宸宸”，右边的“宸宸”是由左边的“宸宸”经过下列哪个变换得到的(　　)

A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换

2．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2 cm，b＝4 cm，c＝5 cm，则d等于(　　)

A．1 cm B．10 cm C． cm D． cm

3．(母题：教材P29探究)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则EF的长为(　　)

A．2.4 B．3 C．3.6 D．4.8

4．某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比(约等于0.618)．已知CD＝80 cm，则AB约是(　　)

A．30 cm B．49 cm C．55 cm D．129 cm

5．[2023·济南外国语学校月考]已知△ABC，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(　　)

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝

6．[2023·陕西]如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的长为(　　)

A． B．7 C． D．8

7 ．(母题：教材P40例5)如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(　　)

A．60 m

B．40 m

C．30 m

D．20 m

8．[2022·巴中]如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC∶

OC＝1∶2，过C作CD∥OB交AB于点D，C，D两点纵坐标分别为1，3，则B点的纵坐标为(　　)

A．4 B．5 C ．6 D．7

9.《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如树叶放大的过程可以看成是在平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，且整个过程中无旋转变换，设变化前树叶尖部点A的坐标为(a，b)，在咒语中变化后得到对应点A′的坐标为(300a＋200，300b－100)，则变化后树叶的面积变为原来的(　　)

A．300倍 B．3 000倍 C．9 000倍 D．90 000倍

10．[2023·安徽]如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝(　　)

A．2 B． C．＋1 D．

二、填空题(每题3分，共24分)

11．(母题：教材P27练习T1)假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.

12．[2023·淮北一中月考]若＝，则＝________．

13．[2022·嘉兴]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为________．

14.如图，在△ABC中，O是BC的中点，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形△DEF.若点A的对应点D是△ABC的重心，则△ABC与△DEF的位似比为________．

15.《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处竖立高都是3丈(1丈＝步)的标杆CD和EF，D，F相隔1 000步，并且AB，CD和EF在同一平面内，从D处后退123步到G处时，A，C，G在一条直线上；从F处后退127步到H处时，A，E，H在一条直线上，则山峰的高度AB为________步．

1 6．如图，已知⊙O的内接正方形ABCD，点F是CD的中点，AF与边DC交于点E，那么＝________．

17．如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D，E在AB上，点F，G分别在BC，AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为________．

18.2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会，这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形(Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA)拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF，EG，BH分别相交于点P，O，Q，若BE∶EQ＝3∶2，则的值是______．

三、解答题(19～21题每题12分，其余每题15分，共66分)

19．如图，已知DE∥BC，AD＝15，AE＝9，BD＝4，求AC的长．

20．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为(3，0)、(2，2)．

(1)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA₁B₁，使新图与原图的相似比为2∶1；

(2)A₁B₁的长为________(结果保留根号)；

(3)△OA₁B₁的面积为________．

21.清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形．请问诸君能算者，方城每边长是几？

如图所示，诗的意思：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口(点D)直行8里有一塔(点A)，自西门(点E)直行2里至点B，切城角(点C)也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？

22．(母题：教材P44习题T14)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点(与B，C不重合)，PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S.

(1)用含x的代数式表示AD的长；

(2)求S与x的函数解析式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围及S的最

大值．

23．[2023·恩施州]如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．

答案

一、1．D　2．B

3　C【点拨】∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，∴＝，∴EF＝3.6，故选C．

4．B

5．D【点拨】A．当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；B．当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；C．当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；D．无法得到△ABP∽△ACB．故选D．

6．C【点拨】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，

∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，∴CM＝BC＋BM＝.故选C．

7．B【点拨】测河宽也可采用构造全等三角形进行测量的方法，在实际应用中，这种方法虽然能直接通过测量对应边的长得出未知量，但是往往会受到场地、测量仪器等的限制，而利用相似三角形的知识，通过能测量的三角形的边长及相似三角形的性质求此距离可以减少限制，所以其应用面更广．

8．C【点拨】由CD∥OB易知△ACD∽△AOB，得＝.根据ACOC＝12得

＝，根据C，D两点纵坐标分别为1，3，得CD＝2，所以＝，解得OB＝6.即可得出答案．

9．D【点拨】由题意可知树叶先放大到原来的300倍，再向右平移200个单位长度，最后向下平移100个单位长度，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．　

10．B【点拨】∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，∴CD＝AD＝AB＝

BC＝3，∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠GBM＝90°，AC＝

＝3.

∵EF⊥AB，∴易知EF∥BC，

∴△AEF∽△ACB，∴＝，

∴＝，∴EF＝2，

∴AE＝＝2，∴CE＝AC－AE＝.

∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME，

∴＝，∴＝＝2，∴CM＝.∴BM＝＝CM.

在△CDM和△BGM中，

∴△CDM≌△BGM，∴CD＝BG＝3，

∴MG＝＝＝.

故选B．

二、11. 160　

12. 　【点拨】∵＝，

∴4(2a－b)＝3(a＋b)，

∴a＝，∴＝＝.

13. 　14. 3∶1　

15．1 255　【点拨】先证明△GCD∽△GAB，利用相似比得到＝①，再证明△HEF∽△HAB得到＝，即＝②，所以

＝，接着利用比例的性质求出BD，然后计算AB

的长．

16. 　【点拨】连接OF，交CD于点G，连接AC，根据题意得出GF∥AD，设AD＝a，则AC＝AD＝a，证明△ADE∽△FGE，根据相似三角形的性质即可求解．

17.

18. 【点拨】设四个全等的直角三角形的两直角边长分别为a和b，且a＞b，

∴BE＝b，EH＝a－b．

∵BE∶EQ＝3∶2，∴EQ＝b．

∴BQ＝BE＋EQ＝b＋b＝b，

QH＝EH－EQ＝a－b－b＝a－b．

易得AH∥EC，∴△AHQ∽△CEQ.

∴AH∶CE＝HQ∶EQ.∴b∶a＝∶b．

∴3a²－5ab－2b²＝0.∴a＝2b．

∵∠BEC＝90°，BE＝b，CE＝a＝2b，

∴BC＝＝b．

易得∠QEO＝∠QCB＝45°，

又∵∠EQO＝∠CQB，

∴△QEO∽△QCB．

∴＝.∴＝＝＝.

易得OP＝OQ.∴＝＝.

三、19.【解】∵DE∥BC，

∴＝，

又∵AD＝15，AE＝9，BD＝4，

∴＝，

∴AC＝11.4.

20．【解】(1)∵O是坐标原点，A，B的坐标分别为(3，0)、(2，2)，相似比为2∶1，∴A₁(－6，0)，B₁(－4，－4)，

∴如图所示的△OA₁B₁即为所求．

(2)2　(3)12

21．【解】设这座方城每面城墙的长为x里，

由题意得，BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°，CE＝CD＝x里，BE＝2里，AD＝8里，

∴∠B＝∠ACD，

∴△CEB∽△ADC，

∴＝，即＝，

∴x＝8.

答：这座方城每面城墙的长为8里．

22．【解】(1)∵PD∥AB，

∴＝，

即＝，

∴CD＝x，

∴AD＝3－x.

(2)S＝AD·CP＝·x＝－x²＋x＝－(x－2)²＋(0<x<4)．

∵a＝－<0，

∴当x＝2时，S有最大值，当S随x增大而减小时，x的取值范围是2≤x<4.

23．【解】如图，连接OD，作OM⊥BC于M.

由题意得AC＝BC，

∵O是AB的中点，

∴CO平分∠ACB．

∵AC是⊙O的切线，

∴OD⊥AC．

∴OD＝OM.

∴BC是⊙O的切线．

(2)【解】如图，作OH⊥AG于H，

∴∠GHO＝90°，FG＝2GH.

易得CG⊥AB，△OAC和△AOD是等腰直角三角形，

∴∠AOG＝90°＝∠GHO，OA＝AC＝×4＝4.

∴OD＝AO＝2，

∴OG＝2，

∴AG＝＝2.

∵∠GHO＝∠GOA，∠G＝∠G，

∴△GHO∽△GOA，

∴＝，即＝，

解得GH＝.

∴FG＝.