第27章综合评价

(时间：120分钟　　满分：120分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的有(C)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．已知⊙O的半径为5，且圆心O到直线l的距离d＝2sin 30°＋＋|－2|，则直线l与圆的位置关系是(C)

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

3．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为(C)

A．4 B．5 C．8 D．10

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)　　sup7(
)　　sup7(
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4．如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为(B)

A．25° B．50° C．60° D．80°

5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，D是的中点，E是上的一点，若∠ADC＝110°，则∠DEC的度数是(A)

A．35° B．45° C．50° D．55°

6．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB＝2，OD＝3，则BC的长为(A)

A． B． C． D．

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)　sup7(
)　sup7(
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7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F若∠DEF＝52°，则∠A的度数是(B)

A．52° B．76° C．26° D．128°

8．如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于点E.若⊙O的半径为5，且AB＝11，则DE的长为(B)

A．5 B．6 C． D．

9．如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为(B)

A．π B．π C．π D．π

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)　　sup7(
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10．如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连结OD，OC，下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S_△AOD：S_△BOC＝AD²：AO²；④OD：OC＝DE：EC；⑤OD²＝DE·CD.正确的有(C)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝__58°__．

12．已知一扇形的圆心角为120°，弧长为10π cm，则扇形的半径为__15__cm.

13．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____．

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)　　sup7(
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14．如图，⊙O与AB相切于点B，连结AO交⊙O于点E，过点B作BF∥OA交⊙O于点F，连结EF.若∠A＝40°，则∠OEF的度数为__25°__．

15．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是__50__cm.

16．如图，直线AB与⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且EF＝2，∠CDF＝30°，弦EF∥AB，则⊙O的半径为__2__．

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17．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分别以点O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连结AD，则图中阴影部分的面积是__8－π__．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(5，0)，(0，12)，过A，O，B三点作圆，点P是圆上位于第一象限部分的一点，连结PO，过点O作PO的垂线交PB的延长线于点C，当点P在圆弧上运动时，PC的最大值为____．

三、解答题(共66分)

19．(6分)如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D分别为OA，OB上的两点，且AC＝BD，求证：AD＝BC.

证明：∵OA，OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO.∵AC＝BD，∴OC＝OD.在△OCB和△ODA中，∴△OCB≌△ODA，∴BC＝AD

20.(6分)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点(点P不与点D，E重合)，求∠CPD的余角的度数．

解：连结OC，OD.∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝360°÷5＝72°，

∴∠CPD＝∠COD＝36°，∴∠CPD的余角的度数为90°－36°＝54°

21．(8分)某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)若有水部分的水面宽AB＝32 cm，水最深处的地方深度为8 cm，求这个圆形截面的半径．

解：(1)如图所示

(2)连结OA，设AB的垂直平分线交AB，⊙O于点D，C，易知点D为AB的中点，

∵AB＝32 cm，∴AD＝AB＝16(cm)，设这个圆形截面的半径为x cm.又∵CD＝8 cm，∴OD＝(x－8) cm.在Rt△OAD中，∵OD²＋AD²＝OA²，即(x－8)²＋16²＝x²，解得x＝20，∴圆形截面的半径为20 cm

22．(8分)如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE.

(1)求证：EC平分∠BED；

(2)当EB＝ED时，求证：AE＝CE.

证明：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠DEB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∴∠DEC＝45°，∴∠BEC＝∠DEC，即EC平分∠BED

(2)连结BC，OE，∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC，∴△BEC≌△DEC，∴∠CBE＝∠D.∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AOE＝∠COE，∴AE＝CE

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23．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G.

(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．

解：(1)EF是⊙O的切线；连结OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO.∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠AEO＋∠BEF＝90°，∴∠OEG＝90°，∴EF是⊙O的切线

(2)由(1)可知∠OEG＝90°.∵∠A＝30°，∴∠EOD＝60°，∴∠EGO＝30°.∵AO＝2，∴OE＝2，∴EG＝2，∴S_阴影＝S_△OEG－S_扇形EOD＝×2×2－＝2－π

24．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F.

(1)求证：AE为⊙O的切线；

(2)当BC＝8，AC＝12时，求⊙O的半径；

(3)在(2)的条件下，求线段BG的长．

解：(1)证明：连结OM，∵AC＝AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB.∵BM平分∠ABC，∴∠OBM＝∠CBM，∴∠OMB＝∠CBM，∴OM∥BC.又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线

(2)设⊙O的半径为R，∵OM∥BE，∴△OMA∽△BEA，∴＝，即＝，解得R＝3，∴⊙O的半径为3

(3)过点O作OH⊥BG于点H，则BG＝2BH.∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，∴四边形OMEH是矩形，∴HE＝OM＝3，∴BH＝1，∴BG＝2BH＝2

25．(16分)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA的延长线上一点，连结EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别交EF，GF于I，H两点．

(1)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；

(2)当G为线段DC的中点时，

①求证：FD＝FI；

②设AC＝2m，BD＝2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．(计算结果不含m，n)

解：(1)四边形FACD是平行四边形，证明如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BF∥CD，AC⊥BD，∴∠AEB＝90°.又∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE＝90°，∴∠AEB＝∠FDE，∴AC∥DF，∴四边形FACD是平行四边形

(2)①证明：连结GE，∵四边形ABCD是菱形，∴E为AC的中点．∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，∴∠FHI＝∠FGE.∵FE是⊙O的直径，∴∠FGE＝90°，∴∠FHI＝90°.∵∠DEC＝90°，∴DG＝GE，∴＝，∴∠1＝∠2.∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4，∴FD＝FI

②∵AC∥DF，∴∠3＝∠6.∵∠4＝∠5，∠3＝∠4，∴∠5＝∠6，∴EI＝EA.∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，∴DE＝BD＝n，AE＝AC＝m，FD＝AC＝2m，∴EF＝FI＋IE＝FD＋AE＝3m.在Rt△EDF中，根据勾股定理可得n²＋(2m)²＝(3m)²，即n＝m，∴S_⊙O＝π()²＝πm²，S_菱形ABCD＝·2m·2n＝2mn＝2m²，∴S_⊙O∶S_菱形ABCD＝9π∶40