第二十六章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．(母题：教材P3练习T2)下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　)

A．y＝x B．y＝2x－3 C．xy＝－3 D．y＝

2．若点(3，－4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则该图象也过点(　　)

A．(2，6)　 B．(3，4) C．(－4，－3) D．(－6，2)

3.很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生的作业辅导，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的关系式为y＝.下列说法不正确的是(　　)

A．上述问题中，当x的值增大，y的值随之减小

B．当镜片焦距是0.2 m时，近视眼镜的度数是500度

C．当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是0.25 m

D．东东原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则东东的眼镜度数下降了200度

4．[2023·北京四中月考]一次函数y₁＝ax＋b(a≠0)与反比例函数y₂＝(k≠0)在同一平面直角坐标系xOy中的图象如图所示，当y₁＞y₂时，x的取值范围是(　　)

A ．－1＜x＜3

B．x＜－1或0＜x＜3

C．x＜－1或x＞3

D．－1＜x＜0或x＞3

5．已知当x＜0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，则关于x的一元二次方程x²－2x＋1－k＝0根的情况是(　　)

A．有两个相等的实数根

B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根

D．跟k的取值有关

6.若点A(－3，a)，B(－1，b)，C(2，c)都在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为(　　)

A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b

7．[2023·邵阳]如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为(　　)

A ．(4，4)

B．(2，2)

C．(2，4)

D．(4，2)

8．[2022·广西]已知反比例函数y＝(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx－a(c≠0)和二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

9．如图，分别过反比例函数y＝(x＞0)图象上任意两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接OA，OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S₁，S₂，则S₁与S₂的大小关系是(　　)

A．S₁＞S₂ B．S₁＜S₂ C．S₁＝S₂ D．不能确定

10．[2023·清华附中模拟]如图①，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义(x，y)为这个矩形的坐标．如图②，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是(　　)

A．点A的横坐标有可能大于3

B．矩形1是正方形时，点A位于区域②

C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小

D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等

二、填空题(每题3分，共24分)

11．(母题：教材P8练习T1)一个反比例函数的图象过点A(1，2)，则这个反比例函数的图象位于第________象限．

12．若反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx的图象的一个交点的坐标为(1，2)，则它们的另一个交点的坐标为__________．

13．[2022·株洲]如图，矩形ABCD的顶点A，D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为________．

14．已知点P(m，n)在双曲线y＝－上，则m²－3mn＋n²的最小值为________．

15.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m³)的反比例函数，且当V＝3 m³时，p＝8 000 Pa．当气球内的气体压强大于40 000 Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________m³.

16．[2023·绍兴]如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(k为大于0的常数，x＞0)图象上的两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，满足x₂＝2x₁，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是________．

17．如图，点A(7，7)，过A作AB⊥x轴于点B，C是反比例函数y＝ 图象上一动点且在△AOB内部，以C为圆心，为半径作⊙C，当⊙C与△AOB的边相切时，点C的纵坐标是________．

18．[2023·枣庄]如图，在反比例函数y＝(x＞0)的图象上有点P₁，P₂，P₃，…，

P_{2 024}，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2 024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃，…，S_{2 023}，则S₁＋S₂＋S₃＋…＋S_{2 023}＝________．

三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)

19．(母题：教材P7例3)如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2.

(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)判断A(2，－4)，B(－2，3)，C(1，－6)是否在该反比例函数的图象上．

20.在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如(－1，1)，(2 022，－2 022)都是“黎点”．

(1)求双曲线y＝上的“黎点”；

(2)若抛物线y＝ax²－7x＋c(a，c为常数)上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．

21.我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200 Ω的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示．

(1)求电流I(A)与电阻R(Ω)之间的解析式；

(2)当电阻在2 Ω～200 Ω之间时，电流的取值范围是多少？

2 2．[2023·东营]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a＜0)与反比例函数y＝(k≠0)交于A(－m，3m)，B(4，－3)两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求△AOB的面积；

(3)请根据图象直接写出不等式＜ax＋b的解集．

23．[2022·江西]如图，点A(m，4)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1.

(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为________(用含m的式子表示)；

(2)求k的值和直线AC的解析式．

24.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：

时间x/天	3	5	6	9	…
硫化物的浓度y/(mg/L)	4.5	2.7	2.25	1.5	…

(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数解析式；

(2)在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数解析式；

(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的

1.0 mg/L？为什么？

答案

一、1．C

2．D【点拨】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为－12，由此即可得到答案．

3．D

4．B【点拨】观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，根据A，B两点坐标即可得答案．

5．C　6．D

7．D【点拨】∵点B的坐标为(2，4)，且在反比例函数y＝的图象上，

∴4＝.∴k＝8.

∴反比例函数的解析式为y＝.

∵点E在反比例函数y＝的图象上，

∴可设E.∴AD＝a－2＝ED＝.

解得a₁＝4，a₂＝－2.

∵a＞0，∴a＝4.∴E(4，2)．故选D．

8．D 9．C

10．D【点拨】设双曲线的解析式为y＝，由图可知：当x＝1时，y＜3，从而

k＝xy＜3可判断A；根据点A是直线y＝2x与双曲线的交点可判断B；求出

S＝k－x²可判断C；由点A位于区域①可得y－x＞2，由矩形2的坐标的对应点落在区域④中可得y－x＞0，从而可判断D．

二、11．一、三　12．(－1，－2)

13．3　【点拨】利用反比例函数比例系数k的几何意义求解．

14．5　【点拨】将点P(m，n)的坐标代入y＝－得到mn＝－1，由(m＋n)²＝m²＋2mn＋n²≥0得出m²＋n²≥－2mn，从而求出m²－3mn＋n²的最小值．

15．0.6 【点拨】设气球内气体的压强p(Pa)与气球体积V(m³)之间的函数解析式为p＝.

∵当V＝3 m³时，p＝8 000 Pa，

∴k＝Vp＝3×8 000＝24 000.∴p＝.

∵气球内的气体压强大于40 000 Pa时，气球将爆炸，

∴p≤40 000 Pa时，气球不爆炸．

∴≤40 000，解得V≥0.6 m³.

∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6 m³.

16．2 【点拨】如图，延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，连接OC．

则CE⊥y轴，CF⊥x轴．

易知四边形OECF为矩形．

∴S_△OCE＝S_△OCF＝S_矩形OECF.

由x₂＝2x₁，

易知点A为CE的中点．

∴S_△OAE＝S_△OCE＝S_△OCF＝S矩_形OECF.

由k的几何意义得S_△OAE＝S_△OBF，

∴S_△OBF＝S_△OCF＝S_矩形OECF.∴BF＝CF.

即点B为CF的中点．易知S_△ABC＝S_矩形OECF.

∴S_△OAB＝S_矩形OECF－S_△OAE－S_△OBF－S_△ABC＝S_矩形OECF.

又∵△OAB的面积为6，∴S_矩形OECF＝6，

∴S_矩形OECF＝16.∴S_△ABC＝S_矩形OECF＝×16＝2.

17．4或2　【点拨】根据点A(7，7)和AB⊥x轴可得△ABO为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出∠AOB＝∠OAB＝45°，确定直线OA的解析式为y＝x，然后分情况讨论即可．

18. 【点拨】如图所示．∵P₁，P₂，P₃，…，P_{2 024}的横坐标依次为1，2，3，…，2 024，

∴阴影矩形的一边长都为1.

将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至一边与y轴重合，则S₁＋S₂＋

S₃＋…＋S_{2 023}＝S_矩形ABP1D．

把x＝2 024代入y＝，得y＝，即OA＝，　

∴S_矩形OABC＝OA·OC＝.

由反比例函数比例系数的几何意义得S_矩形OCP1D＝8，

∴S_矩形ABP1D＝8－＝.

三、19.【解】(1)根据题意，得点P(－2，3)．

设这个反比例函数的解析式为y＝(k≠0)，

把P(－2，3)的坐标代入，得k＝－2×3＝－6，

∴这个反比例函数的解析式为y＝－.

(2)∵2×(－4)＝－8≠－6，

∴A(2，－4)不在该反比例函数的图象上；

∵3×(－2)＝－6，

∴B(－2，3)在该反比例函数的图象上；

∵1×(－6)＝－6，

∴C(1，－6)在该反比例函数的图象上．

20．【解】(1)设双曲线y＝上的“黎点”为(m，－m)，

则有－m＝，

∴m＝±3.

经检验，m＝±3为分式方程的解．

∴双曲线y＝上的“黎点”为(3，－3)和(－3，3)．

(2)∵抛物线y＝ax²－7x＋c(a，c为常数)上有且只有一个“黎点”，

∴方程ax²－7x＋c＝－x有两个相等的实数根，

即ax²－6x＋c＝0，Δ＝36－4ac＝0，

∴ac＝9.∴a＝.

∵a＞1，∴0＜c＜9.

21．【解】(1)设函数解析式为I＝(k≠0)，将点A(8，18)的坐标代入，得k＝144，

∴电流I(A)与电阻R(Ω)之间的解析式为I＝.

(2)令R＝2 Ω，则I＝72 A，

令R＝200 Ω，则I＝0.72 A，

故电流的取值范围是0.72 A～72 A．

22．【解】(1)∵点B(4，－3)在反比例函数y＝的图象上，

∴－3＝.

∴k＝－12.

∴反比例函数的解析式为y＝－.

∵A(－m，3m)在反比例函数y＝－的图象上，

∴3m＝－.

解得m₁＝2，m₂＝－2(舍去)．

∴点A的坐标为(－2，6)．

把点A(－2，6)，B(4，－3)的坐标分别代入y＝ax＋b，得

解得

∴一次函数的解析式为y＝－x＋3.

(2)在y＝－x＋3中，令x＝0，则y＝3.

∴C(0，3)．∴OC＝3.

∴S_△AOB＝S_△AOC＋S_△BOC＝·OC·|x_A|＋·OC·|x_B|＝×3×2＋×3×4＝9.

(3)不等式＜ax＋b的解集为x＜－2或0＜x＜4.

23．【解】(1)(0，2)；(1，0)；(m＋1，2)

(2)∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝4m＝2(m＋1)，

解得m＝1.

∴A(1，4)，C(2，2)，k＝1×4＝4.

设直线AC的解析式为y＝ax＋b．

将A(1，4)，C(2，2)的坐标分别代入，得

解得

∴直线AC的解析式为y＝－2x＋6.

24．【解】(1)设所求函数解析式为y＝kx＋b，

由题图可得

解得

∴所求函数解析式为y＝－2.5x＋12(0≤x＜3)．

(2)∵3×4.5＝5×2.7＝…＝13.5，

∴当x≥3时，y是x的反比例函数，

∴y＝(x≥3)．

(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L.

理由：当x＝15时，y＝＝0.9.

∵13.5＞0，

∴y随x的增大而减小．

∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L.