第26章综合评价

(时间：120分钟　　满分：120分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列函数中，属于二次函数的是(C)

A．y＝－2x B．y＝x²＋

C．y＝(x＋3)²－9 D．y＝＋1

2．抛物线y＝2(x－3)²＋4的顶点坐标是(A)

A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)

3．将抛物线y＝x²－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为(B)

A．y＝(x＋2)²＋2 B．y＝(x－2)²－2

C．y＝(x－2)²＋2 D．y＝(x＋2)²－2

4．关于二次函数y＝x²－6x＋8，下列说法错误的是(B)

A．开口向上 B．对称轴为直线x＝－3

C．有最小值－1 D．与y轴交点为(0，8)

5．若函数y＝mx²＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为(D)

A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2

6．已知函数y＝kx²－kx＋m的图象如图所示，且当x＝a时，y＜0，则当x＝a－1时，函数值(　C　)

A.y＝m B．y＜0 C．y＞m D．0＜y＜m

sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x²＋a的图象可能是(C)

sup7(
) sup7(
) sup7(
) sup7(
)

8．如图，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若∠OBC＝45°，则下列各式成立的是(B)

A．b－c－1＝0 B．b＋c＋1＝0

C．b－c＋1＝0 D．b＋c－1＝0

9．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)²＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C的横坐标的最小值为－3，则点D的横坐标的最大值为(D)

A．－3 B．1 C．5 D．8

10．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b²＞4ac；③2c＜3b；④a＋b＞m(am＋b)；⑤方程|ax²＋bx＋c|＝m有两个相等的实数根．其中正确的结论有(B)

A．①③⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．②④⑤

sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．已知二次函数y＝(m＋1)xm²－3的图象开口向下，则m的值是__－__．

12．若二次函数y＝－x²＋4x＋k的最大值为3，则k的值为__－1__．

13．已知抛物线的顶点坐标是(0，1)，且经过(－3，2)，则此抛物线的表达式为__y＝x²＋1__．

14．如图，已知二次函数y₁＝ax²＋bx＋c(a≠0)与一次函数y₂＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则当y₁＞y₂时，x的取值范围是__x＜－2或x＞8__．

15．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²经过平移后得到抛物线y＝x²－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为__4__．

16．如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，与点C关于对称轴对称，坐标为(m，c)，则点A的坐标是__(－2，0)__．

eq o(sup7(

),sdo5(第17题图)) §　 sup7(
)

17．如图，直线y＝n与二次函数y＝(x－2)²－1的图象交于点B，C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，n＝__1__．

18．如图，正方形ABCO放置在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点B，C，点D在边AB上，连结OD，将△OAD沿着OD折叠，使点A落在此抛物线的顶点E处，若AB＝2，则a的值是__2－__.

三、解答题(共66分)

19．(8分)已知抛物线y＝a(x－h)²－4经过点(1，－3)，且与抛物线y＝x²的开口方向相同，形状也相同．

(1)求a，h的值；

(2)求它与x轴的交点，并画出这个二次函数图象的草图；

(3)若点A(m，y₁)，B(n，y₂)(m＜n＜0)都在该抛物线上，试比较y₁与y₂的大小．

解：(1)a＝1，h＝2或0

(2)当抛物线y＝x²－4x时，它与x轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)，图象略；当抛物线y＝x²－4时，它与x轴的交点坐标为(2，0)和(－2，0)，图象略

(3)y₁＞y₂

20．(8分)如图，已知二次函数y＝－x²＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求四边形ABDC的面积．

解：(1)y＝－x²＋2x＋3

(2)连结OD.可求得C(0，3)，D(1，4)，则S_{四边形ABDC}＝S_△AOC＋S_△COD＋S_△BOD＝×1×3＋×3×1＋×3×4＝9

21．(8分)已知抛物线y＝ax²＋(3b＋1)x＋b－3(a＞0)，若存在实数m，使得点P(m，m)在该抛物线上，我们称点P(m，m)是这个抛物线上的一个“和谐点”．

(1)当a＝2，b＝1时，求该抛物线的“和谐点”；

(2)若对于任意实数b，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A，B，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝2，b＝1时，m＝2m²＋4m＋1－3，解得m＝或m＝－2，

∴点P的坐标是(，)或(－2，－2)

(2)m＝am²＋(3b＋1)m＋b－3，Δ＝9b²－4ab＋12a.令y＝9b²－4ab＋12a，对于任意实数b，均有y＞0，也就是说抛物线y＝9b²－4ab＋12a的图象都在b轴(横轴)上方，∴Δ＝(－4a)²－4×9×12a＜0，∴0＜a＜27

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22．(8分)如图①是某河上一座古代拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯，若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)：

(1)求该拱桥桥洞上沿所在抛物线的表达式；

(2)求两盏景观灯之间的水平距离．

解：(1)由题意设拱桥桥洞上沿所在抛物线的表达式为y＝a(x－5)²＋5，∵抛物线经过(10，1)，∴1＝(10－5)²a＋5，∴a＝－，∴y＝－(x－5)²＋5

(2)当y＝4时，－(x－5)²＋5＝4，∴x₁＝7.5，x₂＝2.5，∴两盏景观灯之间的水平距离为7.5－2.5＝5(m)

23．(10分)在△ABC中，BC＝6，AC＝4，∠C＝45°，在BC上有一动点P(点P不与点B，C重合)，过P作PD∥BA与AC相交于点D，连结AP，设BP＝x，△APD的面积为y.

(1)求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

(2)是否存在点P，使△APD的面积最大？若存在，求出BP的长，并求出△APD面积的最大值．

解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△AEC中，AC＝4，∠C＝45°，∴AE＝AC·sin45°＝4×＝4.设△CDP中PC边上的高为h.∵PD∥BA，∴△DPC∽△ABC，∴＝，即＝，∴h＝(6－x)(0＜x＜6)，∴y＝S_△APC－S_△CDP＝·4(6－x)－(6－x)×(6－x)＝12－2x－(6－x)²＝－x²＋2x(0＜x＜6)

(2)存在．y＝－x²＋2x＝－(x－3)²＋3，∴当x＝3时，y有最大值3.即当BP＝3，P是BC的中点时，△APD的面积最大，最大值为3

24．(12分)某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)如果该超市销售这种商品每天获得3 600元的利润，那么该商品的销售单价为多少？

(3)当销售单价定为多少时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？

解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，

将(30，150)，(80，100)分别代入，得解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋180

(2)设每天获得的利润为w元，由题意得w＝(x－30)(－x＋180)＝－x²＋210x－5 400(30≤x≤80).令－x²＋210x－5 400＝3 600，解得x＝60或x＝150(舍)，

∴如果该超市销售这种商品每天获得3 600元的利润，那么该商品的销售单价为60元/千克

(3)由(2)知w＝－(x－105)²＋5 625.∵－1＜0，∴当x≤105时，w随x的增大而增大．∵30≤x≤80，∴当x＝80时，w最大，最大值为5 000.

∴当销售单价定为80元/千克时，该超市每天的利润最大，最大利润是5 000元

25．(12分)如图，抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点B的坐标为(6，0)，点C的坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连结BD.

(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；

(2)若点F是抛物线上的一动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；

(3)若点M是抛物线上的一动点，过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

解：(1)y＝－x²＋2x＋6，D(2，8)

(2)如图①，过点F作FG⊥x轴于点G.设F(m，－m²＋2m＋6)，则FG＝|－m²＋2m＋6|.∵B(6，0)，D(2，8)，∴BE＝4，DE＝8，BG＝6－m.∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴＝，∴＝.当点F在x轴上方时，有＝，解得m＝－1或m＝6(舍去)，此时F点的坐标为(－1，)；当点F在x轴下方时，有＝－，解得m＝－3或m＝6(舍去)，此时F点的坐标为(－3，－).综上可知，F点的坐标为(－1，)或(－3，－)

(3)设点M在点N的左侧，如图②，设对角线MN，PQ交于点O′.∵点M，N关于抛物线的对称轴直线x＝2对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为直线x＝2与x轴的交点，点Q在直线x＝2上．设Q(2，2n)，则M(2－n，n).∵点M在抛物线上，∴－(n－2)²＋2(2－n)＋6＝n，解得n＝－1＋或n＝－1－，∴满足条件的点Q有两个，分别为(2，－2＋2)，(2，－2－2)