【324582】2024九年级数学下册 第24章 圆综合评价（新版）沪科版

第24章综合评价

(时间：120分钟　　满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。

1．下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( B )

sup7(
) sup7(
) sup7(
) sup7(
)

2．已知⊙O的直径是4 cm，OP＝4 cm，则点P( A )

A．在⊙O外 B．在⊙O上

C．在⊙O内 D．不能确定

3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE＝( C )

A．90° B．85° C．80° D．40°

sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

4．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( B )

A．AC＝AB B．∠C＝∠BOD

C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD

5．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为( D )

A．(3，1) B．(3，2) C．(2，3) D．(1，3)

6．如图，四边形ABCE内接于⊙O，∠DCE＝50°，则∠BOE的度数为( C )

A．50° B．70° C．100° D．130°

sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)

7．如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是半圆O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC.若CD＝2，BD＝4，则半圆O的半径为( C )

A．3 B．2 C．2.5 D．2

8．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为( C )

A．4 B．5 C．6 D．7

9．如图，AC经过圆心O交⊙O于点D，AB与⊙O相切于点B.若∠A＝x(0°<x<90°)，∠C＝y，则y与x之间的函数关系图象是( A )

sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)　sup7(
)

sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)

10．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是( B )

A． B． C．5 D．无法确定

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．正五边形的一个外角等于__72__°.

12．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为__26__寸．

13．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝130°，那么∠ACB的度数为__65°或115°__．

sup7(
)　　sup7(
)

14．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动(不与点A，B重合)，连接DA，DB，DC.

(1)当点D在劣弧中点时，四边形ADBC的面积是__4__；

(2)四边形ADBC的面积y与线段DC的长x的函数关系式为__S＝x²(2＜x≤4)__．

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．如图，三角形ABC绕点A逆时针旋转90°到三角形AB′C′的位置．已知∠BAC＝35°，则∠B′AC是多少度？

解：∵三角形ABC绕点A逆时针旋转90°到三角形AB′C′的位置，∴∠BAB′＝90°.∵∠B′AC＝∠BAB′－∠BAC，∴∠B′AC＝55°，则∠B′AC是55度

16．如图，已知圆锥的底面积为9π cm²，高AO＝4 cm，求该圆锥的侧面展开图的面积(结果保留π).

解：由题意得：π·OB²＝9π，∴圆锥的底面半径OB＝3(cm)，∴AB＝＝5(cm)，∴圆锥的侧面展开图的面积为×2π×3×5＝15π(cm²)

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．

(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；

(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂.

sup7(
)　　sup7(
)

解：(1)△A₁B₁C₁如图所示

(2)△A₂B₂C₂如图所示

18．如图，正三角形ABC的边长为1 cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP₁，形成扇形D₁；将线段BP₁绕点B顺时针旋转120°至BP₂，形成扇形D₂；将线段CP₂绕点C顺时针旋转120°至CP₃，形成扇形D₃；将线段AP₃绕点A顺时针旋转120°至AP₄，形成扇形D₄；……设l_n为扇形D_n的弧长(n＝1，2，3，…)，回答下列问题：

(1)按照要求填表：

(2)根据上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形D_n的弧长能绕地球赤道一周(设地球赤道半径为6 400 km).

解：(1)根据弧长公式得l₁＝＝；l₂＝＝；l₃＝＝2π；l₄＝＝.填表略

(2)根据上述规律可知：l_n＝＝2π×640 000 000，解得n＝1.92×10⁹

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．如图所示，⊙O内切于△ABC，若∠ACB＝90°，∠AOC＝105°，AB＝，求AC的长及S_△ABC.

解：∵⊙O内切于△ABC，∴∠BAO＝∠CAO，∠ACO＝∠BCO.∵∠ACB＝90°，∴∠OCA＝45°.∵∠AOC＝105°，∴∠OAC＝180°－45°－105°＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AC＝AB＝×＝，∴BC＝＝，∴S_△ABC＝AC·BC＝××＝

20．如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．

(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明；

(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否是AC的中点？为什么？

解：(1)AB＝AC.证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AB＝AC

(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE.∵AB为直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点

六、(本题满分12分)

21．如图，点D在半圆O的直径AB的延长线上，点C在半圆O上，AC＝CD，∠ACD＝120°.

(1)求证：CD是半圆O的切线；

(2)若半圆O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

解：(1)证明：连接OC.∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝90°，即OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线

(2)∵∠A＝30°，∴∠COD＝2∠A＝60°.∴S_扇形BOC＝＝.在Rt△OCD中，∵＝tan 60°，∴CD＝2，∴S_△OCD＝×OC×CD＝×2×2＝2，∴S_阴影＝S_△OCD－S_扇形BOC＝2－，∴图中阴影部分的面积为2－

七、(本题满分12分)

22．如图①，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE，CB于点F和点G.

(1)求证：CF＝CG；

(2)如图②，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB.

证明：(1)连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAG＋∠AGC＝90°.∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴∠FAE＋∠AFE＝90°.∵D为弧BC的中点，∴＝，∴∠CAG＝∠FAE，∴∠AGC＝∠AFE.∵∠AFE＝∠CFG，∴∠AGC＝∠CFG，∴CF＝CG

(2)连接AC，CD.∵∠CFG＝∠CGF，∴180°－∠CFG＝180°－∠CGF，∴∠AFC＝∠CGD.∵CF＝CG，AF＝DG，∴△AFC≌△DGC(SAS)，∴AC＝CD，∴＝.∵＝，∴＝，∴∠ABC＝∠DAB，∴GA＝GB.∵OA＝OB，∴GO⊥AB

八、(本题满分14分)

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x²－12x＋27＝0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．

(1)求⊙M的直径；

(2)求直线ON的表达式；

(3)在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)6

(2)连接MN，作NC⊥OM于C，图略．由(1)知OM＝6，MN＝3，∴MN＝OM，∴∠MON＝30°，求得N(，－)，∴直线ON的表达式为y＝－x

(3)当OT＝ON时，以O为圆心，ON为半径画弧，交x轴于两点T₁，T₂，图略，易得T₁(－3，0)，T₂(3，0)；当ON＝TN时，以N为圆心，ON为半径画弧，交x轴于点T₃(原点O除外)，图略．易得T₃(9，0)；当OT＝NT时，作ON的垂直平分线交x轴于T₄，连接NT₄，图略．设OT₄＝x，则CT₄＝－x，在Rt△CNT₄中，由勾股定理，得x＝3，∴T₄(3，0).综上，所有符合条件的点T的坐标为(－3，0)，(3，0)，(9，0)，(3，0)