第7章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共24分)

1．sin 30°的值等于(　　)

A． B． C． D．

2．【母题：教材P₁₀₂例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝4，AB＝5，则sin A的值为(　　)

A． B． C． D．

3．【2023·益阳一中月考】已知α为锐角，且sin α＝，则α的度数为(　　)

A．30° B．60° C．45° D．75°

4．【2023·苏州中学月考】化简等于(　　)

A．sin 28°－cos 28° B．0

C．cos 28 °－sin 28° D．以上都不对

5．【2023·长春】学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示，已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC＝25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32 m(即AC＝32 m)，则彩旗绳AB的长度为(　　)

A．32sin 25° m B．32cos 25° m

C． m D． m

6．【2022·贵港】如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是(　　)

A．8(3－)m　 B．8(3＋)m

C．6(3－)m D．6(3＋)m

7．【2023·连云港新区新海实验中学月考】如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE.将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是(　　)

A．4 B．5 C． D．

8．【2023·扬州仪征一模】如图，△ABC中，∠B＝90°，tan A＝，点D是AB的中点，点E在线段AC上运动(不与点A，C重合)，若＝，则的值为(　　)

A．或 B． C．或 D．或

　

二、填空题(每题3分，共30分)

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cos A的值是________．

10．如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α， tan α＝，则t的值是________．

11．【2022·柳州】如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α， sin α＝，堤坝高BC＝30 m，则迎水坡坡面AB的长度为________m.

12．【2023·永州四中月考】如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.

13．【2023·常州实验中学一模】如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝________.

14．【母题：教材P₁₁₂习题T₄】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝，则线段AB的长为________．

15．如图，由小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D不在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则∠BDC的正切值是________．

16．【2023·广西】如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

17．【2023·枣庄】如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶，当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆 AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时 ∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)

18.如图，将Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD，O为斜边AB的中点，连接DO并延长DO使DO＝OE，连接AE，已知AC＝9，BC＝3，则cos∠CAE＝________.

三、解答题(19～22题每题6分，23题8分，24题10分，25～26题每题12分，共66分)

19．【母题：教材P₁₀₆习题T₁】计算：

(1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°；　　

(2)－(π－3)⁰－10sin 30°＋.

20．【母题：教材P₁₁₉复习题T₅】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.

(1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b；

(2)已知a＝，∠A＝45°，求∠B，b，c.

21．【2023·邵阳五中月考】如图，△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，tan B＝，求AB的长．

22．【2023·无锡锡山高级中学月考】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足 ∠PEC＝∠DAP.

(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P；(不要求写作法，但保留作图痕迹)

(2)若CE＝1，试确定tan∠EPC的值．

23．【2023·内蒙古】为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向3 km处， C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°.

(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；

(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．

24．【2023·扬州】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．

(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若sin B＝，⊙O的半径为3，求AC的长．

25.多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角．

【基础掌握】(1)在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6.求▱ABCD的面积；

【灵活运用】(2)在△ABC中，AB＝20，AC＝15，sin B＝，求△ABC的面积．

【迁移提升】(3)如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形的顶点上，请直接写出sin B的值．

26.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连接AC，且cos∠CAB＝.

(1)求抛物线表达式；

(2)点P是抛物线上的一点．当点P在第一象限时，过点P作 PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，连接EP，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标．

答案

一、1．A

2．C　【点拨】由题意可知，∠C＝90°，因为AB＝5，BC＝4，所以sin A＝＝.

3．B　4．C

5．D 【点拨】如图，由题意得，AC＝32 m，∠BAC＝25°，

BC⊥AC.

在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝，∴AB＝＝ m，故选D.

6．A　【点拨】设CD＝x m，在Rt△ADC中，∠A＝45°，

∴CD＝AD＝x m．∴BD＝(16－x)m.

在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴tanB＝，即＝，解得x＝8(3－)．故选A.

7．D　【点拨】

过点A作AN⊥DF于点N，如图．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD＝AD，∠ABE＝∠D.

设AD＝4.

∵F是CD的中点，

∴DF＝FC＝2.

根据翻折的性质可知AB＝AF，

∴△AFD是等腰三角形．

∵AN⊥DF，

∴DN＝NF＝1.

∴在Rt△AND中，AN＝＝＝.

∴tan D＝＝＝.

∴tan∠ABE＝.

故选D.

8．A　【点拨】∵D为AB的中点，＝＝，

∴DE＝BC.

如图，取AC的中点E₁，连接DE₁，则DE₁是△ABC的中位线，此时DE₁∥BC，DE₁＝BC，∴＝.

如图，在AC上取一点E₂，使得DE₁＝DE₂，则△DE₁E₂是等腰三角形，

过点D作DM⊥AC，

则ME₁＝ME₂，∠MDE₁＋∠ME₁D＝90°.

∵∠B＝90°，DE1∥BC，∴∠ADE₁＝90°.

∴∠A＋∠AE₁D＝90°.

∴∠A＝∠MDE₁.

∵tan A＝，

∴tan∠MDE₁＝.

设ME₁＝ME₂＝x，则DM＝2x，

∴DE₁＝DE₂＝x，E₁E₂＝2x.

∵DE₁＝BC，∴BC＝2x.

∵tan A＝，∴AB＝4x.∴AC＝10x.

∵＝，

∴AE₁＝5x.

∴AE₂＝AE₁－E₁E₂＝5x－2x＝3x.

∴＝＝.

综上，的值为或.

故选A.

二、9．

10．　【点拨】如图，过点A作AB⊥x轴于点B.

∵点A(3，t)在第一象限，

∴AB＝t，OB＝3.

∴tan α＝＝＝.∴t＝.

11．50　【点拨】根据题意得∠ACB＝90°，sin α＝，∴＝.∵BC＝30 m，∴＝，解得AB＝50 m，即迎水坡坡面AB的长度为50 m.

12．

13．－1　【点拨】设AB＝1，

∵在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，

∴ED＝BE＝＝.

∴AD＝AE＋ED＝1＋.

∴tan∠BDE＝＝＝－1.

故答案为－1.

14．5　【点拨】∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB＝OD.

∴∠AOB＝90°.

∵BD＝8，∴OB＝4.

∵tan∠ABD＝＝，∴AO＝3.

在Rt△AOB中，

由勾股定理得AB＝＝＝5.

15．　【点拨】∵AB为圆的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠BDC＝∠BAC，

∴tan∠BDC＝tan∠BAC.

∵在Rt△ACB中，tan∠BAC＝＝，

∴tan∠BDC＝.

16．21 【点拨】∵CA＝CB，CD⊥AB，

∴AD＝BD＝AB.

在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3 m，

∴AC＝≈＝5(m)，

AD＝≈＝4(m)，

∴CA＝CB≈5 m，AB＝2AD≈8(m)，

∴AC＋CB＋AB＋CD≈5＋5＋8＋3＝21(m)．

∴共需钢材约21 m.

17．(3＋) 【点拨】如图，过点O作OC⊥BT，垂足为C.

由题意得BC∥OM，

∴∠AOM＝∠OBC＝45°.

∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，

∴AO＝4米，OB＝2米，

在Rt△OBC中，BC＝OB·cos 45°＝2×＝(米)．

∵OM＝3米，

∴此时点B到水平地面EF的距离为BC＋OM＝(3＋)米．

18．　【点拨】

如图，连接BE交AC于点F，

在四边形ADBE中，

∵O为AB的中点，DO＝OE，

∴四边形ADBE是平行四边形．

又∵Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD，

∴∠ADB＝∠C＝90°.

∴四边形ADBE是矩形．

∴∠AEF＝90°，AE＝BD.

又∵Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD，

∴AE＝BD＝BC＝3.

∵∠AEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠BFC，AE＝BC，

∴△AEF≌△BCF(AAS)，∴AF＝BF.

设AF＝BF＝x，则CF＝9－x，

在Rt△FBC中，FB²＝CF²＋BC²，

∴x²＝(9－x)²＋3²，

解得x＝5.∴AF＝5.

∴cos∠CAE＝＝.

故答案为.

三、19．【解】(1)原式＝2×－＋×＝－＋＝.

(2)原式＝－1－10×＋4＝－1－5＋4＝－2.

20．【解】(1)∠B＝90°－∠A＝30°.

∵sin B＝，∴b＝c·sin B＝2·sin 30°＝1.

∵cos B＝，∴a＝c·cos B＝2·cos 30°＝.

(2)∠B＝90°－∠A＝45°.

∵tan A＝，∴b＝＝＝.

∵sin A＝，∴c＝＝＝＝2.

21．【解】过C点作CD⊥AB于D，如图．

在Rt△ACD中，

∵sin A＝，cos A＝，

∴sin 30°＝，cos 30°＝.

∴CD＝×2＝，AD＝×2＝3.

在Rt△BCD中，∵tan B＝，

∴BD＝＝＝2.

∴AB＝AD＋BD＝3＋2＝5.

22．【解】(1)如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″，则∠AP′E＝∠AP″E＝90°.

∵∠P′EC＋∠P′ED＝180°，

∠P′AD＋∠P′ED＝360°－90°－90°＝180°，

∴∠P′EC＝∠DAP′.

同理可得∠P″EC＝∠DAP″.则点P′和P″即为所求．

(2)∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP＝∠APB.

∵∠PEC＝∠DAP，∴∠APB＝∠PEC.

∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE.

∴＝.

设PC＝x，∵BC＝5，∴BP＝5－x.

∴＝，

解得x₁＝1，x₂＝4，

∴PC的长为1或4.

当PC＝1时，tan∠EPC＝＝＝1，

当PC＝4时，tan∠EPC＝＝.

23．【解】(1)由题意得∠NAC＝80°，

∠BAS＝25°，

∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°.

∵∠ABC＝45°，

∴∠BCA＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，

∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°.

(2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中， AB＝3 km，∠ABC＝ 45°，

∴AD＝AB·sin 45°＝3×＝3(km)，

BD＝AB·cos 45°＝3×＝3(km)，

在Rt△ADC中，∠BCA＝ 60°，

∴CD＝＝＝(km)，

∴BC＝BD＋CD＝(3＋)km，

∴检查点B和C之间的距离为(3＋)km.

24．【解】(1)直线AB与⊙O相切．

理由：如图，连接OD.

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠DOB＝∠OCD＋∠ODC＝2∠BCD，

∴∠BCD＝∠BOD.

∵∠BCD＝∠A，∴∠BOD＝∠A.

∵∠ACB＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°，

∴∠BOD＋∠B＝90°，

∴∠BDO＝90°，

∴OD⊥AB.

又∵OD是⊙O的半径，

∴直线AB与⊙O相切．

(2)∵sin B＝＝，OD＝3，∴OB＝5，

∴BC＝OB＋OC＝8.

在Rt△ACB中，∵sin B＝＝，

∴设AC＝3x，则AB＝5x，

∴BC＝＝4x＝8，

∴x＝2，∴AC＝3x＝6.

25．【解】

(1)如图①.

过点B作BE⊥AD于点E，

∵∠A＝60°，AB＝8，

∴BE＝AB·sin A＝8×＝4.

∵AD＝6，

∴▱ABCD的面积＝AD·BE＝6×4＝24.

(2)如图②，过点A作AD⊥BC于点D，

则AD＝AB·sin B＝20×＝12.

∴BD＝＝＝16，

CD＝＝＝9.

∴BC＝BD＋CD＝16＋9＝25.

∴△ABC的面积＝BC·AD＝×25×12＝150.

(3)sin B＝.　【点拨】设△ABC底边BC上的高为h，则h＝AB·sin B，∴S_△ABC＝·h·BC＝·AB·BC·sin B.

由题意知，AB＝＝2，BC＝＝.

∵S_△ABC＝4×4－×2×4－×2×3－×1×4＝7.

∴sin B＝＝.

26．【解】(1)∵直线y＝－x＋4与x轴，y轴分别交于B，C两点，

当x＝0时，y＝－×0＋4＝4，

当y＝0时，－x＋4＝0，解得x＝3，

∴C(0，4)，OC＝4，B(3，0)，OB＝3.

在Rt△AOC中，cos∠CAB＝＝，设OA＝k，

则AC＝17k.∵AC²＝OA²＋OC²，

∴(17k)²＝(k)²＋4²，

解得k₁＝，k₂＝－(舍去)，

∴OA＝k＝1，

∴A(－1，0)．

∵抛物线y＝ax²＋bx＋c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，

∴解得

∴抛物线的表达式为y＝－x²＋x＋4.

(2)设P的坐标为，

∵PD∥y轴交BC于点D，DE⊥y轴于点E，

∴D.

∴PD＝－m²＋m＋4－＝－m²＋4m，DE＝m.

∴tan∠PED＝＝－m＋4.

∵∠PDE＝∠BOC＝90°，

∴△PDE和△BOC相似分以下两种情况：

当∠PED＝∠CBO时，

tan∠PED＝tan∠CBO＝，

∴－m＋4＝，解得m＝2.

∴－m²＋m＋4＝－×2²＋×2＋4＝4.

∴P(2，4)；

当∠PED＝∠BCO时，tan∠PED＝tan∠BCO＝，

∴－m＋4＝，解得m＝.

∴－m²＋m＋4＝－×＋×＋4＝.

∴P.

综上所述，当△PDE和△BOC相似时，

点P的坐标为(2，4)或.