第6章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共24分)

1．若2a＝3b，则a：b的值为(　　)

A．3：5 B．2：5 C．5：3 D．3：2

2．【2023·宿迁青华中学调研试题】下列各组线段的长度成比例的是(　　)

A．6 cm，2 cm，1 cm，4 cm B．4 cm，5 cm，6 cm，7 cm

C．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm D．6 cm，3 cm，8 cm，4 cm

3．【母题：教材P₅₄练习T₁】如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线AC和DF被l₁，l₂，l₃所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．

4．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB：OB′＝4：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(　　)

A．2：3　 B．2： C．4：3 D．16：9

5．【2023·南充】如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为(　　)

A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m

6．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)

A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)

7．【2022·巴中】如图，在平面直角坐标系中，点C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过点C作CD∥OB交AB于点D.C，D两点纵坐标分别为1，3，则点B的纵坐标为(　　)

A．4　 B．5 C．6 D．7

8．【2023·无锡锡山高级中学月考】如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D.若BD＝1，AD＝4，则CD的长为(　　)

A． B．2 C． D．2.4

二、填空题(每题3分，共30分)

9．【2023·宿迁九年级统考期末】如图，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________(只写一种情况即可)．

10．【母题：教材P₄₂习题T₁】在比例尺为1：1 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是24 cm，则甲、乙两地的实际距离为________km.

11．【2023·南京外国语学校模拟】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD，则＝________.

12．【2023·德州一模】如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA＝AD，则△ABC与△DEF的周长比是________．

13．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形(顶点都在正方形的顶点上)，其中最小的面积是________．

14．【母题：教材P₄₇习题T₁】某品牌新能源汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(如图)，若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为________米(黄金比取0.618，结果精确到0.01米)．

15.《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四尺，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线DC交井口AB于点E，BE的长为4尺，则水面距井口距离为________尺．

16.如图，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过________s，△PBQ与△ABC相似．

17．【2023·杭州二模】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点F.点D，E分别在AB，AC上，连接DE交AF于点G.若∠AED＝∠B，AG：GF＝2：1，则DE：BC＝________.

18．【2023·连云港】如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数 y＝(x<0)的图像上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则 k＝________．

三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)

19．【母题：教材P₅₁练习T₂】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．

20．【母题：教材P₈₀习题T₂】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC的各边放大为原来的2倍得到△A′B′C′.

(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；

(2)计算△A′B′C′的面积．

21．【2023·南京师范大学附属中学月考】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.

(1)求证：△ACD∽△CBD；

(2)求∠ACB的大小．

22．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD沿直线AO折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

(1)求证：＝；

(2)若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．

23.党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向．某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得DE∥BC.经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．

24．【2023·绍兴】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作 AE⊥CD于点E.

(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；

(2)若OB＝2，BD＝1，求CE的长．

25．【2022·镇江】如图，一次函数y＝2x＋b与反比例函数y＝(k≠0)的图像交于点A(1，4)，与y轴交于点B.

(1)k＝________，b＝________；

(2)连接并延长AO，与反比例函数y＝(k≠0)的图像交于点C，点D在y轴上，若以点O，C，D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．

26.(1)如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G，求证：△ADE∽△DCF.

【问题解决】

(2)如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH，求证： ∠ADF＝∠H.

【类比迁移】

(3)如图③，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上， AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

答案

一、1．D　2．D　3．D

4．D　【点拨】∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，∴△ABC∽△A′B′C′，BC∥B′C′.

∴△OBC∽△OB′C′.∴＝＝.∴△ABC与△A′B′C′的相似比为4：3.∴△ABC与△A′B′C′的面积比为16：9.

5．B 【点拨】如图，易知△ABC∽△EDC，∴＝，∴＝，解得DE＝8 m.

6．A　【点拨】由题意可知△OCD和△OAB是相似图形，并且相似比为，点A和点C是对应顶点．因为点A的横坐标为6，所以点C的横坐标为2，又因为点A的纵坐标为3，所以点C的纵坐标为1，故点C的坐标为(2，1)．

7．C　【点拨】根据CD∥OB得出△ACD∽△AOB.进而得到＝，根据AC：OC＝1：2，得出＝，根据C，D两点纵坐标分别为1，3，得出CD＝2.进而得到OB＝6，即可得出答案．

8．D　【点拨】如图，过点C作CE⊥AB于点E，

则∠AEC＝∠BEC＝90°.∵∠BAC＝45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AE＝CE.∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠BEC＝90°.

∵∠B＝∠B，

∴△ABD∽△CBE，∴＝.

∵BD＝1，AD＝4，

∴AB＝＝.

∴＝＝.

设BE＝x，则BC＝x，∴CE＝＝4x，

∴AE＝4x.∵AE＋BE＝AB，∴4x＋x＝，解得x＝.

∴BC＝x＝.∴CD＝BC－BD＝2.4.

二、9．∠D＝∠B(答案不唯一)

10．240　11．　12．1：2

13．　【点拨】△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可．

如图，△CFE即为所求，面积为×1×1＝.

14．4.14　【点拨】设该车车身总长为x米，根据题意得汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x米，∴x－0.618x≈1.58，解得x≈4.14，即该车车身总长约为4.14米．

15．　【点拨】∵AB＝5尺，BE＝4尺，∴AE＝1尺．∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE.∴＝.∴＝，解得AC＝尺．

16．2或5　【点拨】设P，Q运动时间为t s，

根据题意，AP＝t cm，BQ＝2t cm，则BP＝(10－t)cm.

当△PBQ∽△ABC时，则＝，即＝，

解得t＝5.

当△QBP∽△ABC时，则＝，即＝，

解得t＝2.

综上，当经过2或5 s时，△PBQ与△ABC相似．

17．2：3　【点拨】∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，

∴△ADE∽△ACB.∴＝.∵AF是∠BAC的平分线，

∴∠BAF＝∠CAF.∵∠AED＝∠B，∴△AGE∽△AFB，

∴＝，∴＝.∵AG：GF＝2：1，

∴＝＝＝，即DE:BC＝2：3.

18．－ 【点拨】如图，作AE⊥x轴于点E.

∵矩形OABC的面积是6，

∴△AOC的面积是3，

∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴＝.

∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC.

∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，

∴＝，∴＝.

∵S_△OEA＝|k|，k<0，∴k＝－.

故答案为－.

三、19．【解】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.

∵四边形ABCD∽四边形EFGH，

∴＝，即＝，解得x＝14.

20．【解】(1)如图．△A′B′C′为画出的符合要求的图形．

(2)S_{△A′B′C′}＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.

21．(1)【证明】∵CD是边AB上的高，

∴∠ADC＝∠CDB＝90°.

∵＝，

∴△ACD∽△CBD.

(2)【解】∵△ACD∽△CBD，

∴∠A＝∠BCD.

在△ACD中，∠ADC＝90°，

∴∠A＋∠ACD＝90°，

∴∠BCD＋∠ACD＝90°，

即∠ACB＝90°.

22．(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°.

由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD＋∠OPC＝90°.又∠POC＋∠OPC＝180°－∠C＝90°，

∴∠APD＝∠POC.又∠D＝∠C＝90°，

∴△OCP∽△PDA，

∴＝.

(2)【解】由(1)易得＝.∵OP与PA的比为1：2，

∴PC＝AD＝4.

设AB＝x，易知DC＝x，AP＝x，DP＝x－4，

在Rt△APD中，AP²＝AD²＋PD²，即x²＝8²＋(x－4)²，

解得x＝10，即AB＝10.

23．【解】

如图，设AF与DE的延长线相交于点G，

则AG⊥DG，FG＝60米，

∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，

∴＝，即＝，解得AF＝80米．

答：桥AF的长度为80米．

24．【解】(1)∵AE⊥CD于点E，

∴∠AEC＝90°.

∴∠ACD＝∠E＋∠EAC＝90°＋25°＝115°.

(2)∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE.

∴∠OCD＝90°.

∵OB＝2，BD＝1，

∴OD＝OB＋BD＝3，OA＝OC＝OB＝2.

∴CD＝＝.

∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE.

∴＝.∴＝.

∴CE＝.

25．【解】(1)4；2

(2)易知点A与点C关于原点对称，

∴点C的坐标是(－1，－4)．

当x＝0时，y＝2x＋2＝2，

∴点B(0，2)，∴OB＝2.

易知AO＝CO＝＝.

当点D落在y轴的正半轴上时，∠COD>∠ABO，

∴△COD与△ABO不可能相似．

当点D落在y轴的负半轴上时，若△COD∽△AOB，

则＝.

∵CO＝AO，∴BO＝DO＝2，∴D(0，－2)．

若△COD∽△BOA，则＝.

∵OA＝CO＝，BO＝2，∴DO＝，

∴D.

综上所述，点D的坐标为(0，－2)或.

26．(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠ADE＝90°，

∴∠CDF＋∠DFC＝90°.

∵AE⊥DF，

∴∠DGE＝90°.

∴∠CDF＋∠AED＝90°，

∴∠AED＝∠DFC，

∴△ADE∽△DCF.

(2)【证明】∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.

又∵AE＝DF，

∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，

∴DE＝CF.

∵CH＝DE，∴CF＝CH.

∵点H在BC的延长线上，

∴∠DCH＝∠DCF＝90°.

又∵DC＝DC，

∴△DCF≌△DCH(SAS)，

∴∠DFC＝∠H.

∵AD∥BC，

∴∠ADF＝∠DFC，

∴∠ADF＝∠H.

(3)【解】如图，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝DC，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DCG，

∴△ADE≌△DCG(SAS)，

∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG.

∵AE＝DF，∴DG＝DF，

∴△DFG是等边三角形，

∴FG＝DF＝11.

∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，

即CF的长为3.