【324578】2024九年级数学下册 第5章 二次函数综合素质评价（新版）苏科版

第5章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共24分)

1．下列函数是二次函数的是(　　)

A．y＝3x²＋9 B．y＝2x－3

C．y＝2x²＋－2 D．y＝

2．【2023·盐城景山中学期中】若二次函数y＝ax²的图像经过点(1，－2)，则它也经过(　　)

A．(－1，－2) B．(－1，2)

C．(1，2) D．(2，1)

3．【2022·兰州】已知二次函数y＝2x²－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是(　　)

A．x＜1 B．x＞1

C．x＜2 D．x＞2

4．【母题：教材P₂₅例题】二次函数y＝ax²＋bx＋c的图像如图所示，下面关于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根的情况，说法正确的是(　　)

A．方程有两个相等的实数根

B．方程的两个实数根的积为负数

C．方程有两个正的实数根

D．方程没有实数根

5. 若k≠0，函数y＝与y＝－kx²＋k²在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　)

6．【2023·泸州】已知二次函数y＝ax²－2ax＋3(其中x是自变量)，当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为(　　)

A．0＜a＜1 B．a＜－1或a＞3

C．－3＜a＜0或0＜a＜3 D．－1≤a＜0或0＜a＜3

7．【2023·西安高新唐南中学模拟】在同一平面直角坐标系中，若抛物线w₁：y＝x²＋(2m－1)x＋2m－4与抛物线w₂：y＝x²－ (3m＋n)x＋n关于直线x＝－1对称，则抛物线w₁上的点A(0，y)在抛物线w₂上的对应点A′的坐标是(　　)

A．(－2，8) B．(－2，10) C．(－2，12) D．(－2，4)

8．【2023·枣庄】二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示 ，

对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0； ②方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0，y₁)，是抛物线上的两点，那么y₁＜y₂；④11a＋2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m(am＋b)≥a＋b.其中正确结论的个数是(　　)

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题(每题3分，共30分)

9．【2023·泰安】二次函数y＝－x²－3x＋4的最大值是________．

10．若抛物线y＝x²＋(a－2)x＋c的顶点在y轴上，则a的值是________．

11．【2023·上海】一个二次函数y＝ax²＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是____________．

12．已知点A(4，y₁)，B(1，y₂)，C(－3，y₃)在函数y＝－ 3(x－2)²＋m(m为常数)的图像上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是____________(由小到大排列)．

13．【2023·常州二十四中调研试题】将抛物线y＝ax²＋bx向下平移2个单位长度后，经过点(－1，1)，则2a－2b－3的值是________．

14.抛物线y＝ax²＋bx＋c与直线y＝mx＋c相交于如图所示的A，B两点，则不等式ax²＋bx≤mx的解集为________．

15．【母题：教材P₂₅练习】在平面直角坐标系xOy中，若抛物线 y＝x²＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________.

16．【2023· 扬州仪征市三中月考】在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x²＋3x＋m的图像上有且只有一个“零和点”，则m＝________.

17．【2023·苏州景范中学月考】如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为________米．(结果保留根号)

18．【2023·衡水泰华中学月考】我们每个人都要做到讲卫生，勤洗手，科学消毒．如图是一瓶消毒洗手液的示意图，当手按住顶部A下压时，洗手液瞬间从喷口B流出，路线呈抛物线且该路线所在的抛物线经过C，E两点．瓶子轴截面的上部分由弧CE和弧FD组成，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，CG＝8 cm，GH＝10 cm，点E到台面GH的距离为14 cm，点B到台面的距离为20 cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2 cm时刚好接到洗手液，此时手心距台面的高度为________cm.

三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)

19．已知二次函数的图像经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．

20．【母题：教材P₃₇复习题T₁₄】已知二次函数y＝x²＋2x－3.

(1)求该二次函数图像的顶点坐标；

(2)若该抛物线向上平移2个单位长度后得到新抛物线，判断点(－1，2)是否在新抛物线上．

21．如图，一次函数y＝kx＋b的图像与二次函数y＝ax²的图像交于点A(1，m)和点B(－2，4)，与y轴交于点C.

(1)求k，b，a的值；

(2)求△AOB的面积．

22．在平面直角坐标系xOy中，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)为抛物线y＝ax²＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x₁＜x₂.

(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c?

(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x₁＋x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

23．如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.

(1)求此抛物线的表达式．

(2)若点T为对称轴x＝2上一点，则TC－TB的最大值为多少？

24.第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y(个)与每个的销售价x(元)之间满足一次函数关系，其图像如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？

25.乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75 cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，兵乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)，测得如下数据：

水平距离x/cm	0	10	50	90	130	170	230
竖直高度y/cm	28.75	33	45	49	45	33	0

(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图像．

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；

②求满足条件的抛物线表达式．

(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274 cm，球网高CD为15.25 cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27 cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．

26．【2022·连云港】已知二次函数y＝x²＋(m－2)x＋m－4，其中m>2.

(1)若该函数的图像经过原点O(0，0)，求此时函数图像的顶点A的坐标；

(2)求证：二次函数y＝x²＋(m－2)x＋m－4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y＝－x－2上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．

答案

一、1.A　2.A　3.B

4．B　【点拨】二次函数y＝ax²＋bx＋c的图像与x轴的交点的横坐标即为方程ax²＋bx＋c＝0的根，由图像可知B正确．

5．A　【点拨】先确定一个基础函数图像，再根据这个基础函数图像的位置确定待定系数的取值范围，然后再看求出的待定系数的范围是否满足另一个函数图像．

6．D 【点拨】当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，

∴Δ＝(－2a)²－4·a×3＜0，

解得0＜a＜3；

当a＜0时，令x＝0，则y＝3，

∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为(0，3)，

∵二次函数图像的对称轴是直线x＝－＝1，

∴当x＝3时，y≥0即可满足条件，即9a－6a＋3≥0，

解得a≥－1，∴－1≤a＜0.

综上，a的取值范围为－1≤a＜0或0＜a＜3.

故选D.

7．B　【点拨】∵抛物线w₁：y＝x²＋(2m－1)x＋2m－4，

∴抛物线w₁过(0，2m－4)，(1，4m－4)．

∵抛物线w₁：y＝x²＋(2m－1)x＋2m－4与抛物线w₂： y＝x²－(3m＋n)x＋n关于直线x＝－1对称，

∴抛物线w₂：y＝x²－(3m＋n)x＋n过(－2，2m－4)，(－3，4m－4)，

代入可得解得

∴点A(0，10)．

∴抛物线w₁上的点A(0，10)在抛物线w₂上的对应点A′的坐标是(－2，10)．

故选B.

8．C 【点拨】①根据图像可知，a＞0，c＜0，

∵对称轴是直线x＝1，∴－＝1，即b＝－2a.

∴b＜0，∴abc＞0.故①错误．

②方程ax²＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)图像与x轴的交点的横坐标，根据图像已知

－1＜x₁＜0，由抛物线的对称性可知2＜x₂＜3.故②正确．

③∵对称轴是直线x＝1，|0－1|＞，∴点离对称轴更近，∴y₁＞y₂，故③错误．

④∵x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.

∵b＝－2a，∴a＋2a＋c＝3a＋c＞0，∴6a＋2c＞0.∵a＞0，∴11a＋2c＞0，故④正确．

⑤由图像知，当x＝1时，y有最小值．

∴对于任意实数m，都有am²＋bm＋c≥a＋b＋c，

即m(am＋b)≥a＋b，

故⑤正确．

综上，②④⑤正确，故选C.

二、9. 【点拨】y＝－x²－3x＋4＝－＋，

∵a＝－1＜0，

∴当x＝－时，y取最大值，最大值为.

10．2　【点拨】由题意可知对称轴为y轴．∴－＝0，

∴a＝2.

11．y＝－x²＋1(答案不唯一)

12．y₃<y₁<y₂　【点拨】本题考查了二次函数的增减性和对称性，解题的关键是利用二次函数的对称性将对称轴两侧的函数值大小比较问题转化为同侧的函数值大小比较问题．

13．3　【点拨】将抛物线y＝ax²＋bx向下平移2个单位长度后，表达式为y＝ax²＋bx－2.

∵平移后的抛物线过点(－1，1)，

∴将(－1，1)代入y＝ax²＋bx－2，得a－b－2＝1，

即a－b＝3，

∴2a－2b－3＝2(a－b)－3＝2×3－3＝3.

14．0≤x≤3　【点拨】∵可将ax²＋bx≤mx转化为ax²＋bx＋c≤mx＋c，且抛物线y＝ax²＋bx＋c与直线y＝mx＋c相交于A，B两点，

∴ax²＋bx＋c≤mx＋c的解集，从图像上来看，就是抛物线

y＝ax²＋bx＋c在直线y＝mx＋c下方部分所对应的自变量x的范围，

∴由抛物线y＝ax²＋bx＋c与直线y＝mx＋c相交于A的横坐标为0，B的横坐标为3可得0≤x≤3.

15．1　【点拨】抛物线与x轴只有一个交点等价于抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根．

16．4　【点拨】设二次函数图像上的“零和点”坐标为(a，－a)，将(a，－a)代入y＝x²＋3x＋m，得a²＋3a＋m＝－a，

即a²＋4a＋m＝0.∵二次函数y＝x²＋3x＋m的图像上有且只有一个“零和点”，∴4²－4×1×m＝0，解得m＝4.

17．6　【点拨】建立平面直角坐标系如图．

则抛物线顶点C的坐标为(0，3)．

设抛物线的表达式为y＝ax²＋3，

将点A的坐标(－3，0)代入，

可得0＝9a＋3，

解得a＝－，

故抛物线的表达式为y＝－x²＋3.

当水面下降3米时，水面的宽度通过抛物线在图上的观察可转化为，

当y＝－3时，对应的抛物线上两点之间的距离，

也就是直线y＝－3与抛物线相交的两点之间的距离．

将y＝－3代入抛物线的表达式得出－3＝－x²＋3，

解得x＝±3，所以水面宽度为6米．

18．17　【点拨】以GH为x轴，GH的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意得出各点的坐标，利用待定系数法求抛物线表达式进而求解．

三、19.【解】∵当x＝2时，y有最大值－2，

∴设所求的二次函数的表达式为y＝a(x－2)²－2(a≠0)．

∵二次函数的图像经过点(0，－4)，

∴－4＝a(0－2)²－2，解得a＝－.

∴y＝－(x－2)²－2.

20．【解】(1)∵y＝x²＋2x－3＝(x＋1)²－4，

∴二次函数图像的顶点坐标为(－1，－4)．

(2)该抛物线向上平移2个单位长度后得到新抛物线为

y＝(x＋1)²－4＋2＝(x＋1)²－2，把x＝－1代入，得y＝－2，

∴点(－1，2)不在新抛物线上．

21．【解】(1)把点B(－2，4)的坐标代入y＝ax²中，得4＝4a，

∴a＝1.∴二次函数的表达式是y＝x².

把点A(1，m)的坐标代入y＝x²中，得m＝1，

∴A(1，1)．

把点A(1，1)和点B(－2，4)的坐标分别代入y＝kx＋b中，得解得

∴a＝1，k＝－1，b＝2.

(2)令y＝－x＋2中的x＝0，

则y＝2，∴C(0，2)．∴OC＝2.

∵S_△AOC＝OC·|1|＝×2×1＝1，

S_△BOC＝OC·|－2|＝×2×2＝2，

∴S_△AOB＝S_△AOC＋S_△BOC＝1＋2＝3.

22．【解】(1)∵y₁＝y₂＝c，

∴M和N的坐标中有一个为(0，c)．

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴M，N关于直线x＝1对称．

又∵x₁＜x₂，∴x₁＝0，x₂＝2.

∴当x₁＝0，x₂＝2时，y₁＝y₂＝c.

(2)∵y₁＜y₂，∴ax₁²＋bx₁＋c＜ax₂²＋bx₂＋c.

∴a(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＜－b(x₁－x₂)．

∵x₁＜x₂，∴x₁－x₂＜0.

∴a(x₁＋x₂)＞－b.

∵a＞0，∴x₁＋x₂＞－＝2t.

∵x₁＋x₂＞3，∴2t≤3.

∴t≤.

23．【解】(1)∵抛物线y＝ax²＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和

点B(3，0)，

∴∴

故抛物线的表达式为y＝x²－4x＋3.

(2)如图，连接CA并延长交对称轴于点T，连接TB，此时TC－TB取得最大值为AC的长，

∵y＝x²－4x＋3，当x＝0时，y＝3，

∴TC－TB的最大值为AC＝＝.

24．【解】(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(10，30)，(20，10)的坐标代入得，

解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋50.

(2)依题意，得w＝(x－7)y＝(x－7)(－2x＋50)＝

－2x²＋64x－350＝－2(x－16)²＋162，

∴x＜16时，y随x的增大而增大．

∵纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，

∴8≤x≤15.

∴当x＝15时，该超市获得最大利润，

最大利润为－2×(15－16)²＋162＝160(元)．

∴当销售单价为15元时，该超市可获得最大利润，最大利润是160元．

25．【解】(1)描出各点，画出图像如下：

(2)①观察表格数据，可知当x＝50和x＝130时，

函数值相等，

∴对称轴为直线x＝＝90，顶点坐标为(90，49)．

∵抛物线开口向下，

∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49 cm.

当y＝0时，x＝230，

∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是

230 cm.

故答案为49；230.

②设抛物线表达式为y＝a(x－90)²＋49.

将(230，0)代入，得0＝a(230－90)²＋49，

解得a＝－0.002 5，

∴抛物线表达式为y＝－0.002 5(x－90)²＋49.

(3)当0A＝28.75时，抛物线的表达式为

y＝－0.002 5(x－90)²＋49，

设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h cm，则平移距离为(h－28.75)cm，∴平移后的抛物线的表达式为y＝－0.002 5(x－90)²＋49＋h－28.75，

当x＝274时，y＝0，

∴－0.002 5(274－90)²＋49＋h－28.75＝0，

解得h＝64.39.

答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39 cm.

26．(1)【解】将(0，0)代入y＝x²＋(m－2)x＋m－4，解得m＝4.

∴y＝x²＋2x＝(x＋1)²－1.∴A(－1，－1)．

(2)【证明】由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为.

∵m>2，∴2－m<0.∴<0.

∵＝－(m－4)²－1≤－1<0，

∴二次函数y＝x²＋(m－2)x＋m－4的顶点在第三象限．

(3)【解】设平移后图像对应的二次函数表达式为

y＝x²＋bx＋c，则其顶点坐标为.

当x＝0时，y＝c，∴B(0，c)．

将代入y＝－x－2，可得c＝.

∵B(0，c)在y轴的负半轴上，∴c<0.

∴OB＝－c＝－.

如图，过点A作AH⊥OB，垂足为H.

∵A(－1，－1)，∴AH＝1.

在△AOB中，S_△AOB＝OB·AH＝××1

＝－b²－b＋1

＝－(b＋1)²＋.

∴当b＝－1时，△AOB面积有最大值，最大值为.