【324543】2024九年级数学下册 第1章 二次函数学情评估（新版）湘教版

第1章学情评估

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是(　　)

A．y＝2x－5 B．y＝ax²＋bx＋c C．h＝ D．y＝x²＋

2．二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过点(－5，0)，(3，0)，则关于x的方程ax²＋bx＋c＝0的根是(　　)

A．x₁＝0，x₂＝3 B．x₁＝－5，x₂＝0

C．x₁＝5，x₂＝－3 D．x₁＝－5，x₂＝3

3．下列关于抛物线y＝3(x－1)²－4的结论正确的是(　　)

A．开口方向向下 B．对称轴为直线x＝－1

C．顶点坐标是(1，－4) D．当x＝1时，函数有最大值－4

4．如图是函数y＝x²的图象，当－1≤x≤2时，y的取值范围是(　　)

(第4题)

A．－1≤y≤4 B．0≤y≤4

C．0≤y≤1 D．1≤y≤4

5．将抛物线y＝x²＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的抛物线对应的函数表达式为(　　)

A．y＝(x＋3)²－2 B．y＝(x－3)²＋6 C．y＝(x＋3)²＋6 D．y＝(x－3)²＋2

6．设点(－1，y₁)，(2，y₂)，(－3，y₃)是抛物线y＝－2x²＋1上的三点，则y₁，y₂，y₃的大小关系为(　　)

A．y₁＞y₂＞y₃ B．y₂＞y₁＞y₃ C．y₃＞y₂＞y₁ D．y₂＞y₃＞y₁

7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n与二次函数y＝mx²＋nx＋1的大致图象可能是(　　)

8．若二次函数的图象只经过第一、三、四象限，则下列结论错误的是(　　)

A．图象开口向下 B．图象的对称轴在y轴右侧

C．函数有最小值 D．图象的顶点在第一象限

9．某地为了解温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y(单位：℃)与时间t(单位：h)的函数关系满足y＝－t²＋12t＋2，当4≤t≤8时，该地的最高温度是(　　)

A．39 ℃ B．38 ℃ C．37 ℃ D．36 ℃

10．如图，二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过点(1，0)，对称轴是直线x＝－1，下列结论错误的是(　　)

A．abc＞0 B．b²－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．3a＋2c＜0

(第10题) (第15题) (第16题)

二、填空题(每题3分，共18分)

11．二次函数y＝－x²－2x＋3的图象的顶点坐标为__________．

12．抛物线y＝x²＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，则b＝________．

13．已知抛物线y＝(x－m)²＋3，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．

14．若抛物线y＝x²－4x＋k与坐标轴有且只有两个交点，则k的值为________ .

15．如图，一男生推实心球，实心球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x²＋x＋，则他将实心球推出的距离是________m.

16．某农场拟用围栏围两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门，所有围栏的总长(不含门)为22 m．若要使得饲养室面积最大，则利用墙的长度为__________m.

三、解答题(第17～18题每题10分，第19～20题每题12分，第21～22题每题14分，共72分)

17．已知二次函数y＝ax²＋bx＋3的图象经过点(－3，0)，(2，－5)．

(1)试确定该二次函数的表达式；

(2)请判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上.

18．如图，已知抛物线y＝－2x²＋2与直线y＝2x＋2交于A，B两点．

(第18题)

(1)求A，B两点的坐标；

(2)求△ABO的面积．

19．(1)将二次函数y＝x²－2x－1配方为y＝a(x－h)²＋k的形式；

(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出二次函数y＝x²－2x－1的图象；

(3)利用所作的图象估计一元二次方程x²－2x－1＝0的根的范围(保留整数)．

(第19题)

20．已知二次函数y＝－x²＋2x＋m.

(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；

(2)若二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

21．某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过销售A商品获利y元．

(1)求y与x之间的函数表达式(不必写出自变量x的取值范围)；

(2)A商品的销售单价为多少时，该商场每天通过销售A商品所获的利润最大？

22．根据以下素材，探索完成任务．

答案

一、1. C　2. D　3. C　4. B　5. A　6. A　7. B　8. C

9. B　点拨：因为y＝－t²＋12t＋2＝－(t²－12t＋36)＋38＝－(t－6)²＋38，所以当t＝6时，温度y有最大值．所以当4≤t≤8时，该地的最高温度是38 ℃.

10. D

二、11. (－1，4)　12. 2　13. m≤1

14. 0或4　15. 9　16. 12

三、17. 解：(1)将点(－3，0)，(2，－5)的坐标代入函数表达式，得

解得

所以该二次函数的表达式为y＝－x²－2x＋3.

(2)当x＝－2时，y＝－(－2)²－2×(－2)＋3＝3，

所以点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．

18. 解：(1)联立，得

解得或

所以A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(0，2)．

(2)因为A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(0，2)，

所以OA＝1，OB＝2，

所以S_△ABO＝OA·OB＝×1×2＝1.

19. 解：(1) y＝x²－2x－1＝(x²－2x＋1)－1－1

＝(x－1)²－2.

(2)如图所示．

(第19题)

(3)方程x²－2x－1＝0的根是抛物线y＝x²－2x－1与x轴交点的横坐标．由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．

20. 解：(1)根据题意，得Δ＝2²－4×(－1)×m＞0，

解得m＞－1.

(2)将点A(3，0)的坐标代入y＝－x²＋2x＋m，

得－9＋6＋m＝0，解得m＝3，

所以抛物线的表达式为y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，

所以抛物线的对称轴为直线x＝1.因为直线AB与抛物线的对称轴交于点P，所以点P的横坐标为1.

当x＝0时，y＝3，即点B(0，3)．

设直线AB的表达式为y＝kx＋b，

将点A(3，0)，B(0，3)的坐标代入，得

解得所以直线AB的表达式为y＝－x＋3.

当x＝1时，y＝2，所以点P的坐标为(1，2)．

21. 解：(1)由题意得，该商品每件降价x元时，销售单价为(100－x)元，日销量为(128＋8x)件，

则y＝(128＋8x)(100－x－80)＝－8x²＋32x＋2 560，

即y与x之间的函数表达式是y＝－8x²＋32x＋2 560.

(2)因为y＝－8x²＋32x＋2 560＝－8(x－2)²＋2 592，

所以当x＝2时，y取得最大值，

所以销售单价为100－2＝98(元)．

答：A商品的销售单价为98元时，该商场每天通过销售A商品所获的利润最大．

22. 解：任务1：以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(OA，OB方向为正方向)．根据题意可设抛物线的表达式为y＝a(x－2)²＋0.45，把点A(0，0.25)的坐标代入，得0.25＝a(0－2)²＋0.45，解得a＝－，所以抛物线的表达式为y＝－(x－2)²＋0.45.令y＝0，得0＝－(x－2)²＋0.45，解得x₁＝5，x₂＝－1(不合题意，舍去)，

所以B(5，0)，所以OB＝5 m，

所以喷灌器OA与围墙的距离为5 m.

任务2：由题意，得CD＝0.4 m，BC＝0.8 m，

所以D(4.2，0.4)，由题易知当水柱经过点D时，OA的高度最小．

设y＝－(x－2)²＋k，把D(4.2，0.4)的坐标代入，得0.4＝－×(4.2－2)²＋k，

解得k＝0.642，

所以y＝－(x－2)²＋0.642.

当x＝0时，y＝－×(0－2)²＋0.642＝0.442，

所以OA＝0.442 m，即喷水口距离地面高度的最小值为0.442 m.