【324544】2024九年级数学下册 第1章 二次函数综合素质评价（新版）湘教版

第1章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列函数是二次函数的是(　　)

A．y＝3x²＋9 B．y＝2x－3 C．y＝2x²＋－2 D．y＝

2．[2023·湖南师大附中月考]抛物线y＝2(x－9)²－3的顶点坐标是(　　)

A．(9，－3) B．(－9，－3) C．(9，3) D．(－9，3)

3．[2023·兰州]已知二次函数y＝2x²－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是(　　)

A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2

4．已知点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)是函数y＝(m－3)x²的图象上的两点，且当0＜x₁＜x₂时，有y₁＞y₂，则m的取值范围是(　　)

A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3

5．[2023·华南师大附中月考]如图，二次函数y＝a(x＋2)²＋k的图象与x轴交于A，B(－1，0)两点，则下列说法正确的是(　　)

A ．a<0

B．点A的坐标为(－4，0)

C．当x<0时，y随x的增大而减小

D．图象的对称轴为直线x＝－2

6．[2023·泸州]已知二次函数y＝ax²－2ax＋3(其中x是自变量)，当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为(　　)

A．0＜a＜1 B．a＜－1或a＞3

C．－3＜a＜0或0＜a＜3 D．－1≤a＜0或0＜a＜3

7．函数y＝(a≠0)与y＝ax²－1(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

8．[2023·岳阳一中模拟]已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax²＋bx＋c＋m＝0(m>0)有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程ax²＋bx＋c＋n＝0(0<n<m)有两个整数根，这两个整数根是(　　)

A．－2，0 B．－4，2 C．－5，3 D．－6，4

9．[2023·巴中]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋1与抛物线y＝x²交于A，B两点，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则下列结论正确的个数为(　　)

① x₁·x₂＝－4；

②y₁＋y₂＝4k²＋2；

③当线段AB长取最小值时，△AOB的面积为2；

④若点N(0，－1)，则AN⊥BN.

A．1 B．2 C．3 D．4

1 0．[2023·岳阳外国语学校模拟]如图①，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于点F，设点E的运动路程为x，FC＝y，如图②所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是(　　)

A．20 B．16 C．6 D．8

二、填空题(每题3分，共24分)

11．[2023·南昌外国语学校期末]某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(万件)将随计划所定的x值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________．

12．若抛物线y＝x²＋(a－2)x＋c的顶点在y轴上，则a的值是________．

13．已知点A(4，y₁)，B(1，y₂)，C(－3，y₃)在函数y＝－3(x－2)²＋m(m为常数)的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是____________(由小到大排列)．

14．[2023·长沙雨花外国语学校月考]将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，可以得到新的抛物线y＝5x²，则原来抛物线是______________．

15．抛物线y＝x²＋6x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为________．

16．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax²＋bx＋c＞0的解集是__________．

17．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax²＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．

18．[2023·巴中]规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x＋3与y＝－x＋3互为“Y函数”．若函数y＝x²＋(k－1)x＋k－3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为________．

三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)

19．已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．

20．已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，2)，且过点.

(1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；

(2)求证：对任意实数m，点M(m，－m²)都不在这个二次函数的图象上．

21．[2023·岳阳一中模拟]周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，爸爸将小球从地面击出，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的几组值后，发现h与t满足的函数表达式是h＝20t－5t².

(1)当小球的飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度．

(2)小球的飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m?

22．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax²的图象交于点A(1，m)和点B(－2，4)，与y轴交于点C．

(1)求k，b，a的值；

(2)求△AOB的面积．

23．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示．

(1)求y关于x的函数表达式．

(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量]

24．[2023·河北]嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长．嘉嘉在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C₁：y＝a(x－3)²＋2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C₂：y＝x²＋x＋c＋1的一部分．

(1)写出C₁的最高点坐标，并求a，c的值；

(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．

答案

一、1．A

2．A 【点拨】根据二次函数的顶点式y＝a(x－h)²＋k可得顶点坐标为(h，k)即可得到结果．

3．B　4．D

5．D 【点拨】由题图可知抛物线开口向上，故a>0，A错误；∵表达式为y＝a·

(x＋2)²＋k，∴该函数图象的对称轴为直线x＝－2，D正确；∵B(－1，0)， ∴A点的坐标为(－3，0)，故B错误；由题图可知当x<－2时，y随x的增大而减小，故C错误．故选D．

6．D 【点拨】当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，

∴Δ＝(－2a)²－4·a×3＜0，

解得0＜a＜3；

当a＜0时，令x＝0，则y＝3，

∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，3)，

∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－＝1，

∴当x＝3时，y≥0即可满足条件，即9a－6a＋3≥0，

解得a≥－1，∴－1≤a＜0.

综上，a的取值范围为－1≤a＜0或0＜a＜3.

故选D.

7．D 【点拨】∵二次函数的表达式为y＝ax²－1(a≠0)，

∴二次函数y＝ax²－1(a≠0)的图象与y轴的交点为(0，－1)，故B，C选项不符合题意；

当a>0时，反比例函数y＝(a≠0)的图象位于第一、三象限，二次函数y＝ ax²－1(a≠0)的图象开口向上，故A选项不符合题意；

当a<0时，反比例函数y＝(a≠0)的图象位于第二、四象限，二次函数y＝ ax²－1(a≠0)的图象开口向下，故D选项正确，符合题意．

故选D.

8．B 【点拨】二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，即方程ax²＋bx＋c＝0的两个根是－3，1，设y′＝ax²＋bx＋c＋m(m＞0)，则y′的图象可以看成二次函数y的图象沿着y轴向上平移m个单位得到，关于ax²＋bx＋ c＋m＝0的一个根为3，易得另一个根为－5.由于0<n<m，可知方程ax²＋bx＋c＋n＝0的两个根范围在－5～－3和1～3之间，由此判断B符合该范围．

9．C 【点拨】由题意得x₁，x₂满足方程x²－kx－1＝0；y₁，y₂满足方程y²－(2＋4k²)y＋1＝0.依据根与系数的关系得，x₁＋x₂＝4k，x₁·x₂＝－4，y₁＋y₂＝4k²＋2，y₁·y₂＝1，∴①②正确．

由两点间距离公式得，

AB＝

＝

＝4(k²＋1)．

∴当k＝0时，AB的值最小，最小值为4，

易得此时S_△AOB＝×1×AB＝2，∴③正确．

∵AN²＝x₁²＋(y₁＋1)²，BN²＝x₂²＋(y₂＋1)²，AB²＝(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²，

∴易得AN²＋BN²－AB²＝8k².

∴当k＝0时，AN²＋BN²＝AB²，此时AN⊥BN.

当k≠0时，AN²＋BN²≠AB²，此时AN与BN不垂直．

∴④错误．

故选C.

1 0．A 【点拨】

当点E在BC上时，如图，

由题易知∠FEC＋∠AEB＝90°，∠FEC＋∠CFE＝90°，

∴∠CFE＝∠AEB.

∵在△CFE和△BEA中，∠CFE＝∠AEB，∠C＝∠B＝90°，

∴△CFE∽△BEA，

由二次函数图象对称性可得点E在BC中点时，CF有最大值，此时＝，易得AB＝5，

则BE＝CE＝x－5，∴＝，

∴y＝(x－5)²，

将y＝代入上式，

解得x₁＝3(舍去)，x₂＝7，

∴BE＝CE＝2，

∴BC＝4，

∴矩形ABCD的面积为4×5＝20.

二、11．y＝2x²＋4x＋2或y＝2(1＋x)²　12．2

13．y₃<y₁<y₂

14．y＝5(x＋3)²＋4 【点拨】根据平移的规律，反推原来抛物线的表达式即可．

15．9 【点拨】由题意可得对应的一元二次方程x²＋6x＋m＝0有两个相等的实数根，∴由b²－4ac＝0，即可得到关于m的方程，解出即可．

16．－1<x<3　17．36

18．(3，0)或(4，0) 【点拨】①当k＝0时，函数的表达式为y＝－x－3，

此时函数的图象与x轴只有一个交点成立．

当y＝0时，可得0＝－x－3，解得x＝－3.

∴y＝－x－3与x轴的交点坐标为(－3，0)，

根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(3，0)．

②当k≠0时，∵函数y＝x²＋(k－1)x＋k－3的图象与x轴只有一个交点，

∴b²－4ac＝0，即(k－1)²－4××(k－3)＝0，

解得k＝－1，

∴函数的表达式为y＝－x²－2x－4；

当y＝0时，可得0＝－x²－2x－4，解得x＝－4.

根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(4，0)．

综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(3，0)或(4，0)．

三、19．【解】∵当x＝2时，y有最大值－2，

∴设所求的二次函数的表达式为y＝a(x－2)²－2(a≠0)．

∵二次函数的图象经过点(0，－4)，

∴－4＝a(0－2)²－2，解得a＝－.

∴y＝－(x－2)²－2.

20．(1)【解】依题意可设此二次函数的表达式为y＝a(x＋1)²＋2，

∵点在二次函数的图象上，

∴＝a＋2，解得a＝－，

∴二次函数的表达式为y＝－(x＋1)²＋2.

令y＝0，得x₁＝1，x₂＝－3，

画出其图象如图．

(2)【证明】若点M在此二次函数的图象上，

则－m²＝－(m＋1)²＋2，得m²－2m＋3＝0.

∵Δ＝4－12＝－8<0，∴该方程无实数解，

∴对任意实数m，点M(m，－m²)都不在这个二次函数的图象上．

21．【解】(1)已知h与t满足函数表达式h＝20t－5t²，

∵－5<0，∴h有最大值．

当t＝－＝2时，此时h取得最大值，最大值为20，∴当小球的飞行时间是2 s时达到最大高度，最大高度是20 m.

(2)令h＝15，则20t－5t²＝15，解得t₁＝1，t₂＝3.

∴当1≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15 m.

22．【解】(1)把点B(－2，4)的坐标代入y＝ax²中，得4＝4a，∴a＝1.∴二次函数的表达式是y＝x².

把点A(1，m)的坐标代入y＝x²中，得m＝1，

∴A(1，1)．

把点A(1，1)和点B(－2，4)的坐标分别代入y＝kx＋b中，得解得

∴a＝1，k＝－1，b＝2.

(2)由(1)知一次函数的表达式为y＝－x＋2，令x＝0，

则y＝2，∴C(0，2)．∴OC＝2.

∴S_△AOC＝OC·|1|＝×2×1＝1，

S_△BOC＝OC·|－2|＝×2×2＝2，

∴S_△AOB＝S_△AOC＋S_△BOC＝1＋2＝3.

23．【解】(1)当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx＋b，

将(22，48)，(30，40)代入表达式得，

解得

∴函数表达式为y＝－x＋70；

当30＜x≤45时，

设函数表达式为y＝mx＋n，

将(30，40)，(45，10)代入表达式，得

解得

∴函数表达式为y＝－2x＋100.

综上，y关于x的函数表达式为

y＝

(2)设利润为w元，当22≤x≤30时，

w＝(x－20)(－x＋70)＝－x²＋90x－1 400＝－(x－45)²＋625.

∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，

∴当x＝30时，w取得最大值为400；

当30＜x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x²＋140x－2 000＝－2(x－35)²＋450，

当x＝35时，w取得最大值为450.

∵450＞400，

∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．

24．【解】(1)∵抛物线C₁：y＝a(x－3)²＋2，

∴C₁的最高点坐标为(3，2)．

∵点A(6，1)在抛物线C₁：y＝a(x－3)²＋2上，

∴1＝a(6－3)²＋2，∴a＝－，

∴抛物线C₁：y＝－(x－3)²＋2，

当x＝0时，c＝1.

(2)∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，

∴此时，点A的坐标范围是(5，1)～(7，1)．

当经过(5，1)时，1＝－×25＋×5＋1＋1，

解得n＝；

当经过(7，1)时，1＝－×49＋×7＋1＋1，

解得n＝.∴≤n≤.

∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5.