【324385】2024春九年级数学下学期期末综合素质评价（新版）华东师大版

期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．(母题：教材P105复习题T1)下列调查适合普查的是(　　)

A．调查河南省中小学生的视力情况 B．调查某品牌手机的电池使用寿命

C．调查某市网络平台消费情况 D．调查某神舟飞船零部件的质量

2．[2023·南阳二十二中期末]关于二次函数y＝－x²＋2x＋3，下列说法正确的是(　　)

A．图象与y轴的交点坐标为(0，－3) B．图象的对称轴为直线x＝1

C．当x＞－1时，y随x的增大而减小 D．y有最大值3

3.党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国，数据是数字交通发展的核心驱动力之一，也是智慧交通发展的关键要素．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，若路面AB＝6 m，净高CD＝9 m，则此圆的半径OA的长为(　　)

A．5 m B．4 m C．m D．3 m

4．甲、乙、丙、丁四名同学最近五次数学成绩的相关数据如下表，如果从这四名同学中，选出一名成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选(　　)

A.甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4 cm，以点C为圆心，3 cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

6．[2022·遵义]2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过90分钟，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成不完整的统计图(如图)和频数分布表，则下列说法不正确的是(　　)

书面作业时间频数分布表

A．调查的样本容量为50

B．频数分布表中m的值为20

C．若该校有1 000名学生，作业完成的时间超过90分钟的约100人

D．在扇形统计图中B组所对的圆心角是144°　　　

7．[2023·张家界]“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于(　　)

A．π B．3 π C．2 π D．2 π－

8．方程7x²－(k＋13)x－k－2＝0有两实根x₁，x₂，且满足0＜x₁＜1＜x₂＜2，那么k的取值范围是(　　)

A．k＞－4 B．－2＜k＜0 C．－4＜k＜－2 D．－4＜k＜0

9．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按如图方式折叠，使EA′恰好与⊙O相切于A′(△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于G，则A′G的长是(　　)

A．6 B． C．7 D．

10．如图，抛物线y＝(x－h)²＋k的顶点在△AOB的边OA所在的直线上运动，△AOB的顶点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，2)，若抛物线与△AOB的边AB，OA都有公共点，则h的取值范围是(　　)

A．－≤h≤ B．－2≤h≤0 C．－1≤h＜ D．－2≤h≤

二、填空题(每题3分，共24分)

11．[2022·苏州]如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则

∠ACB＝________．

12．[2023·南阳二十二中期末]在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x²＋4x－3先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是________．

13．某学校九年级举行了一次数学竞赛(满分为10分)，为了估计平均成绩，抽取了一部分试卷，这些试卷中有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分．在这个问题中，样本容量是________，样本的平均成绩是________分．

14．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数表达式是s＝－0.25t²＋10t，无人机着陆后滑行________s才能停下来．

15．[2023·烟台]如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为________．

16．[2023·驻马店二中模拟]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AC于点D，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E.则阴影部分面积为________(结果保留π)．

17．如图，AB是半圆O的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为点E，交半圆O于点D，连结BE.设∠BEC＝α，则sin α＝________．

18．已知函数y＝|x²－4|的大致图象如图所示，那么方程|x²－4|＝m(m为实数)．

①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是________；

②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是____________．

三、解答题(19、20、21、22题每题12分，23题18分，共66分)

19．(母题：教材P33复习题A组T7)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且经过原点(0，0)，求该二次函数的表达式．

20.某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组(每名学生只能参加一个活动小组)：A.音乐，B.美术，C.体育，D.阅读，E.人工智能，为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，完成下列问题：

(1)①补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；

②扇形统计图中的圆心角α的度数为________．

(2)若该校有3 600名学生，估计该校参加E组(人工智能)的学生人数；

(3)该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

21.“麻、辣、鲜、香”，作为河南饮食的代表，逍遥镇胡辣汤不仅受到河南人民的喜爱，也深深吸引着全国各地的“辣友”！伴随其入选国家非物质文化遗产，它在“辣友”心中的地位又高了一大截．随着物价上升，其官方旗舰店现打算将袋装速食胡辣汤涨价销售，经过连续两次价格上调，每袋胡辣汤售价由10元涨到了16.9元，已知每袋胡辣汤的成本价为8元．

(1)求出这两次价格上调的平均增长率；

(2)经过市场调查发现，按每袋10元出售时，平均每天售出300袋，单价每上涨0.5元，则平均每天的销售会减少10袋，当日销售利润为1 400元时，且让顾客获得更大的优惠，应将定价定为多少元？

(3)在(2)问条件下求函数最大值，若该网店销售速食胡辣汤每天的利润为y元，售价为x元，请求出y与x的函数表达式，当x是多少时，y最大，最大值是多少？

22．[2023·淮北一中月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AB＝AC＝6，tan∠BAC＝，求DE的长．

23．如图，抛物线y＝－x²＋2x＋n经过点M(－1，0)，顶点为C.

(1)求点C的坐标；

(2)设直线y＝2x与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．

①在抛物线的对称轴上是否存在点G，使∠AGC＝∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；

②点P在直线y＝2x上，点Q在抛物线上，当以O，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．

答案

一、1．D

2．B 【点拨】∵当x＝0时，y＝3，∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，3)，故A不符合题意；

∵二次函数表达式为y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，∴对称轴为直线x＝1，故B符合题意；

当x＞1时，y随x的增大而减小，故C不符合题意．

y有最大值为4，故D不符合题意．故选B.

3．A 【点拨】易知AD＝BD＝AB＝3 m．根据垂径定理的逆定理得出CD⊥AB，设圆的半径OA＝r m，则OD＝(9－r)m，根据勾股定理列出r²＝(9－r)²＋3²，解方程即可得出答案．

4．B

5．A 【点拨】由题易知AB＝2AC.设AC＝x cm，则AB＝2x cm，则4x²＝x²＋4²，解得x₁＝，x₂＝－(舍去)，所以AB＝ cm..过C作AB边上的高，交AB于点D，由等面积法，得×4×＝××CD，解得CD＝2 cm＜3 cm，故⊙C与AB相交．

6．D　

7．B 【点拨】由题易得AB＝BC＝AC，由弧长公式求出AB的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．

8．C 【点拨】利用抛物线与x轴的交点问题，把题目转化为抛物线y＝7x²－(k＋13)x－k－2与x轴的交点一个在(0，0)与(1，0)之间，另一个在(1，0)和(2，0)之间，利用抛物线开口向上可得不等式组，然后解不等式组即可．

9．B 【点拨】作FS⊥CD于点S，由于点O是正方形ABCD的中心，正方形是中心对称图形，则AF＝CG.

易知△EFA≌△EFA′，则有AF＝A′F.易知四边形ADSF是矩形，设AF＝A′F＝DS＝CG＝x，在Rt△FSG中，利用勾股定理，得[2(2＋x)]²＝(8－2x)²＋8²，解得x＝.∴A′G＝GF－ A′F＝2(2＋x)－x＝4＋x＝.

10．D 【点拨】∵点A的坐标为(－2，1)，

∴直线OA为y＝－x.

∵抛物线y＝(x－h)²＋k的顶点为(h，k)，

∴k＝－h.

∴抛物线的表达式为y＝(x－h)²－h.

当抛物线经过点O时，

将O(0，0)的坐标代入y＝(x－h)²－h，

得h²－h＝0，解得h₁＝0，h₂＝.

当抛物线经过点A时，

将A(－2，1)的坐标代入y＝(x－h)²－h，

得(－2－h)²－h＝1，整理得2h²＋7h＋6＝0，

解得h₁＝－2，h₂＝－.

综 上，h的取值范围是－2≤h≤.

二、11.40° 【点拨】如图，连结CD.

∵AD为⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°.

又∵∠BCD＝∠BAD＝50°，

∴∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝90°－50°＝40°.

12．(2，2) 【点拨】∵y＝x²＋4x－3＝(x＋2)²－7，

∴抛物线的顶点为(－2，－7)．

将抛物线y＝x²＋4x－3先绕原点旋转180°后抛物线顶点为(2，7)，此时的抛物线为y＝－(x－2)²＋7，

再向下平移5个单位，则y＝－(x－2)²＋7－5，即y＝－(x－2)²＋2.

∴新抛物线的顶点坐标是(2，2)．

13．40；6.85

14．20　

15．24 【点拨】如图，过点A作AE⊥y轴于点E.

设⊙A的半径为r.则AC＝AB＝r，BC＝2r.

设AE＝a，则点C的坐标为(a，2r)，

∴k＝2ar.

易知S_△ACD＝AC·AE，∴·r·a＝6，

即ar＝12.∴k＝2ar＝24.

16．3－π　 【点拨】连结OD，BD，过点O作OF⊥AC于点F.∵BC为半圆O的直径，∴BD⊥DC.

∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝4，

∴AC＝8，BC＝4，∠C＝30°.

∴OB＝OC＝2，∴DC＝6，∠BOD＝60°.∴OF＝.

由题图知S_阴影＝S_扇形BOD＋S_△DOC－S_扇形DCE＝·π·(2)²＋×6×－·π·

6²＝3－π.

17. 【点拨】取AE的中点F，连结OF.

∵AC为半圆O的弦，OD⊥AC，

∴E为AC的中点．∴AE＝4.

又∵OA＝5，∴OE＝3.

∵F为AE的中点，∴OF∥BE，EF＝2.∴∠BEO＝∠EOF，OF＝＝.

又∵α＋∠BEO＝90°，∠EOF＋∠EFO＝90°，∴α＝∠EFO.∴sinα＝

sin∠EFO＝＝＝.

18．① 4　②m＝0或m>4 【点拨】①方程|x²－4|＝m(m为实数)有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x²－4|的图象与直线y＝m有3个交点．

因为函数y＝|x²－4|的图象与y轴的交点坐标为(0，4)，观察图象可知，当两个函数图象有3个交点时，m＝4.

②方程|x²－4|＝m(m为实数)有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x²－4|的图象与直线y＝m有2个交点．

因为函数y＝|x²－4|的图象与y轴的交点坐标为(0，4)，观察图象可知，当两个函数图象有2个交点时，m>4或m＝0.

三、19.【解】设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)²－1(a≠0)，

∵抛物线经过原点(0，0)，

∴a(0－1)²－1＝0，解得a＝1.

∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)²－1，即y＝x²－2x.

【点拨】本题运用待定系数法解答．由于已知二次函数图象的顶点坐标为

(1，－1)，因此可设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)²－1(a≠0)，再把(0，0)代入函数表达式中确定a的值．

20．【解】(1)①由题意得，总人数为30÷10%＝300(人)，

∴D组人数为300－40－30－70－60＝100(人)．

补全条形统计图如下：

②120°

(2)估计该校参加E组(人工智能)的学生有×3 600＝720(人)．

(3)记A，B表示男生，C，D表示女生，画树状图如图：

共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的有8种结果，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为＝.

21．【解】(1)设这两次价格上调的平均增长率为a，

由题意得，10(1＋a)²＝16.9，

解得a＝0.3＝30%或a＝－2.3(舍去)，

∴这两次价格上调的平均增长率为30%.

(2)设应将定价定为m元，则每天售出300－×10＝(500－20m)袋，

由题意得，(m－8)(500－20m)＝1 400，

整理得m²－33m＋270＝0，

解得m＝15或m＝18.

∵要让顾客获得更大的优惠，∴m＝15.

∴应将定价定为15元．

(3)由题意得，y＝(x－8)(500－20x)＝－20x²＋660x－4 000＝－20＋

1 445.

∵－20＜0，∴当x＝时，y最大，最大值为1 445.

2 2.(1)【证明】如图，连结OD，AD.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.

∵AC＝AB，∴点D是BC的中点．

∵点O是AB的中点，∴OD∥AC.

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.

又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．

(2)设AC与⊙O交于点F，连结BF，如图．

∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°，即BF⊥AC.

∵tan∠BAC＝＝，

∴设BF＝3k，则AF＝4k.∴AB＝5k.

∵AB＝6，∴5k＝6，解得k＝.∴BF＝.

∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF.

∵点D是BC的中点，∴点E为CF的中点．

∴DE是△CFB的中位线．∴DE＝BF＝.

23．【解】(1)∵抛物线y＝－x²＋2x＋n经过点M(－1，0)，

∴0＝－(－1)²＋2×(－1)＋n，解得n＝3.

∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x²＋2x＋3.

∵y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，

∴点C的坐标为(1，4)．

(2)①存在点G，使∠AGC＝∠BGC.

易得解得

∴A(－，－2)，B(，2)．

分别过点A，B作对称轴x＝1的垂线AE，BF，垂足分别为点E，点F，设G(1，a)．

在△AEG和△BFG中，

∴△AEG∽△BFG.∴＝.

∴＝，解得a＝6.∴G(1，6)．

②设P(m，2m)．

当四边形OMPQ是平行四边形时，Q(m＋1，2m)．

∵点Q在抛物线y＝－x²＋2x＋3上，

∴2m＝－(m＋1)²＋2(m＋1)＋3，

解得m＝－1±，

∴Q₁(－，－2－2)，Q₂(，－2＋2)；

当四边形OMQP是平行四边形时，Q(m－1，2m)．

∵点Q在抛物线y＝－x²＋2x＋3上，

∴2m＝－(m－1)²＋2(m－1)＋3，

解得m＝2或m＝0.

∴Q₃(1，4)，Q₄(－1，0)(舍去)；

当OM为平行四边形的对角线时，Q(－1－m，－2m)．

∵点Q在抛物线y＝－x²＋2x＋3上，

∴－2m＝－(－1－m)²＋2(－1－m)＋3，

解得m＝－2或m＝0.

∴Q₅(1，4)，Q₆(－1，0)(舍去)．

综上可知，点Q的坐标为(－，－2－2)或(，－2＋2)或(1，4)．