第二学期期中学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．2tan 45°的值为(　　)

A. B. C．1 D．2

2．如图，河堤横断面的坡比是1∶，AC＝12 m，则坡高BC的长度是(　　)

A．12 m B．24 m

C．8 m D．24 m

(第2题)　　 (第5题)

3．把抛物线y＝－2x²先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为(　　)

A．y＝－2(x＋1)²＋2

B．y＝－2(x＋1)²－2

C．y＝－2(x－1)²＋2

D．y＝－2(x－1)²－2

4．二次函数y＝ax²＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：

x	…	－3	－2	－1	0	1	…
y	…	－3	－2	－3	－6	－11	…

则该函数图象的顶点坐标为(　　)

A．(－3，－3) B．(－2，－2)

C．(－1，－3) D．(0，－6)

5．如图，点A，B，C都在边长为1的正方形格点上，连接AB，BC，则cos∠ABC的值为(　　)

A．1 B. C. D.

6．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直下滑，下滑的距离s(m)与时间t(s)之间的表达式为s＝10t＋t²，若从坡顶滑到坡底的时间为2 s，则此人下滑的高度为(　　)

A．24 m　 B．6 m 　 C．12 m　 D．12 m

(第6题)　 　 (第7题)

7．二次函数y＝a(x＋m)²＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　　)

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

8．某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30 m的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60 m，则教学楼BC的高度是(　　)

A．(60－30 )m B．30 m

C．(30 －30)m D．(30 －15)m

(第8题)　　 (第9题)

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点P(a，a)(a>0)，连接AP交y轴于点B.若AB∶BP＝3∶2，则tan∠PAO的值是(　　)

A. B. C. D.

10．如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b²－4ac＞0；③a－b＋c＞0；④ 8a＋c＜0，其中正确的有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

(第10题)　　 (第13题)

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

11．若抛物线y＝mx²－2mx＋1与x轴的一个交点为(－1，0)，则方程mx²－2mx＋1＝0的解为________________．

12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝，则∠B＝________．

13．如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax²＋bx＋c＜0的解集是____________．

14．如图，B港在观测站A的正北方向，B港离观测站A 10 n mile，一艘船从B港出发向正东方向匀速航行，第一次测得该船在观测站A的北偏东30°方向的M处，0.5 h后又测得该船在观测站A的北偏东60°方向的N处，则该船的速度为________n mile/h.

(第14题) 　 (第15题)

15．如图，在▱ABCD中，将△ABC沿AC折叠后，点B恰好落在BA延长线上的点E处．若tan D＝，则sin∠ACE的值为________．

16．已知A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是抛物线y＝ax²－3x＋1上的两点，其对称轴是直线x＝x₀，若|x₁－x₀|＞|x₂－x₀|时，总有y₁＞y₂，同一坐标系中有M(－1，－2)，N(3，2)，且抛物线y＝ax²－3x＋1与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是________．

三、解答题(本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)计算：|－1|－2sin 30°＋(－1)²＋2tan 45°.

18．(8分)如图，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝6，AD＝BC，cos∠ADC＝，求CD的长．

19．(8分)如图，已知∠PAB＝30°，线段AB＝4.

(1)尺规作图：作菱形ABCD，使线段AB是菱形的边，顶点C在射线AP上；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)求(1)中菱形对角线AC的长度．

20．(8分)某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y(单位：m)与行进的水平距离x(单位：m)之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5 m，篮筐距地面的高度为3.05 m；当篮球行进的水平距离为3 m时，篮球距地面的高度达到最大，为3.3 m.

(1)图中点B表示篮筐，其坐标为________，篮球行进的最高点C的坐标为________；

(2)求篮球出手时距地面的高度．

21．(8分)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝－x²＋bx＋c经过B，C两点，D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．

22．(10分)为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．如图②，已知踏板CD长为1.6 m，踏板CD的坡比为1，支架AC长为0.8 m，跑步机手柄为AB，地面为ED，且AB∥ED，A到地面的高度为h.支架与踏板的夹角(∠ACD)可以根据用户的舒适度需求在0°～90°调节．

(1)求C到地面DE的距离；

(2)该人身高为1.8 m，通过尝试h是身高的0.8倍时运动起来最舒适，求此时点C到手柄AB的垂直距离．

23．(10分)福建某公司经销一种红茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量p(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化，其关系式为p＝－3x＋300.设这段时间内，销售这种红茶的总利润为y(元)．

(1)求y与x的函数关系式．

(2)求这段时间内，销售这种红茶可获得的最大总利润．

24．(12分)某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100 m(如图所示)．由于潮汐变化，该海湾涨潮5 h后达到最高潮位，此最高潮位维持1 h，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．

该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度h随涨潮时间t变化的情况大致如表一所示：(在涨潮的5 h内，该变化关系近似于一次函数)

表一

涨潮时间t(单位：h)	1	2	3	4	5	6
桥下水位相对于正常水位上涨的高度h(单位：m)					4	4

(1)求桥下水位相对于正常水位上涨的高度h(单位：m)关于涨潮时间t(0≤t≤6，单位：h)的函数表达式；

(2)某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表二所示：

表二

涨潮时间t(单位：h)
桥下水面宽(单位：m)	40	20	20

现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15 m，宽20 m，该货轮在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．

25．(14分)已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a＜0)经过A(－1，t)，B(3，t)两点．

(1)当a＝－1时，求b的值；

(2)当t＝0，且－1≤x≤0时，y的最大值为3.

①求抛物线的表达式；

②抛物线与y轴交于点C，直线y＝kx(k≠－1)与抛物线交于点D，与直线BC交于点F，连接CD，当S_△COFS_△CDF＝32时，求k的值．

答案

一、1.D　2.A　3.C　4.B　5.C　6.D　7.C　8.C　9.C

10．B　

二、11.x₁＝－1，x₂＝3　12.45°　13.－1<x<3

14．40　15.　16.≤a<2

三、17.解：原式＝－1－2×＋1＋2×1＝－1－1＋1＋2＝＋1.

18．解：∵在Rt△ACD中，cos∠ADC＝＝，

∴设CD＝3k，则AD＝5k.

∵BC＝AD，∴BC＝5k.

又∵BD＝BC－CD，∴6＝5k－3k，解得k＝3.

∴CD＝3×3＝9.

19．解：(1)如图，菱形ABCD即为所求作．

(2)连接BD交AC于点O，如图，

∵四边形ABCD为菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝CO.

∵∠PAB＝30°，AB＝4，

∴AO＝AB cos 30°＝2 ，

∴AC＝4 .

20．解：(1)(4.5，3.05)；(3，3.3)

(2)设抛物线的表达式为y＝a(x－3)²＋3.3，

把(4.5，3.05)代入，得3.05＝a(4.5－3)²＋3.3，

解得a＝－，

∴抛物线的表达式为y＝－(x－3)²＋3.3，

当x＝0时，y＝2.3.

答：篮球出手时距地面的高度为2.3 m.

21．解：(1)由题意得C(0，4)，B(4，4)，

把B与C的坐标分别代入y＝－x²＋bx＋c，

得解得

∴此抛物线的函数表达式为y＝－x²＋2x＋4.

(2)∵y＝－x²＋2x＋4＝－(x－2)²＋6，

∴抛物线顶点D的坐标为(2，6)．

∴S_{四边形ABDC}＝S_△ABC＋S_△BCD＝×4×4＋×4×(6－4)＝8＋4＝12.

22．解：(1)如图，过点C作CG⊥DE交DE所在直线于点G.

∵踏板CD的坡比为1，∴tan∠CDG＝＝，

∴∠CDG＝30°，∴CG＝CD＝0.8 m，

即C到地面DE的距离为0.8 m.

(2)如图，延长GC交AB所在直线于点F，易得CF⊥AB.

∵该人身高为1.8 m，通过尝试h是身高的0.8倍时运动起来最舒适，

∴此时h＝FG＝1.8×0.8＝1.44(m)，

由(1)，得CG＝0.8 m，

∴CF＝FG－CG＝1.44－0.8＝0.64(m)．

即此时点C到手柄AB的垂直距离为0.64 m.

23．解：(1)y＝(x－40)p＝(x－40)(－3x＋300)＝－3x²＋420x－12 000，

∴y与x的函数关系式为y＝－3x²＋420x－12 000.

(2)∵y＝－3x²＋420x－12 000

＝－3(x²－140x＋70²－70²)－12 000

＝－3(x－70)²＋2 700，

∴当x＝70时，y的值最大，最大值为2 700，

∴这段时间内，销售这种红茶可获得的最大总利润为2 700元．

24．解：(1)当0≤t≤5时，由题意可设桥下水位相对于正常水位上涨的高度h关于涨潮时间t的函数表达式为h＝mt＋n，

∵当t＝1时，h＝；当t＝2时，h＝，

∴解得

∴当0≤t≤5时，h＝t.

∴h＝

(2)能．理由如下：以抛物线的对称轴为y轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为x轴建立平面直角坐标系．

设抛物线的表达式为y＝ax²＋k(a＜0)，

由(1)可得，当t＝0时，h＝0，此时桥下水面宽100 m，

当t＝时，h＝1，此时桥下水面宽为40 m，

∴抛物线过点(50，0)，(20 ，1)，

∴解得

∴y＝－x²＋25(－50≤x≤50)，

当x＝20÷2＝10时，y＝24，

在最高潮位时，4＋15＝19(m)，19 m<24 m，

∴该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过．

25．解：(1)由题意知，抛物线的对称轴为直线x＝＝1，

∴当a＝－1时，由＝1，得b＝2.

(2)①当t＝0时，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点．

∵a<0，∴在对称轴的左侧，y值随x值的增大而增大，

∵当－1≤x≤0时，y的最大值为3，∴当x＝0时，y＝3.

∴抛物线y＝ax²＋bx＋c经过(0，3)，∴c＝3.

依题意，得解得

∴抛物线的表达式为y＝－x²＋2x＋3.

②∵S_△COF∶S_△CDF＝3∶2，∴＝，∴OF>DF.

由题意可知，点D与点F只能在同一象限内．

∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.

如图①和②，过点D作直线DH∥y轴交直线BC于点H，交x轴于点G.设D(m，－m²＋2m＋3)，则H(m，－m＋3)．

∴DH＝|(－m＋3)－(－m²＋2m＋3)|＝|m²－3m|.

∵DH∥OC，∴∠OCF＝∠DHF，∠COF＝∠HDF，

∴△OFC∽△DFH.∴＝＝.

∴DH＝OC＝2.∴|m²－3m|＝2，

∴m²－3m＝－2或m²－3m＝2，解得m₁＝1，m₂＝2，

m₃＝，m₄＝，

∴D的坐标为(1，4)或(2，3)或(，)或 .

∴k的值为4或或或.