第二学期期末学情评估
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tan B的值为( )
A. B. C. D．2
(第1题) (第2题)
2．小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，sin ∠AOB的值为( )
A. B. C. D.
3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠BCA＝50°，则∠BAD等于( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
4．对于二次函数y＝(x－1)2＋1的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－1
C．顶点坐标是(1，1)
D．当x＝1时，y有最大值，是1
5．鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的“熟客”，去年9月份小张的“熟客”们共向小张采购了5 000箱鱼卷，11月份小张的“熟客”们共向小张采购了7 200箱鱼卷．若把这几个月小张的“熟客”们向小张采购鱼卷的数量的平均增长率记作x，根据题意，可列出的方程是( )
A．5 000(1＋x)＝7 200
B．5 000(1＋x)2＝7 200
C．5 000＋5 000(1＋x)2＝7 200
D．5 000＋5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)2＝7 200
6．如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的时间最少为( )
A．1小时 B.小时 C.小时 D.小时
(第6题) (第7题)
7．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E两两不相交，且半径都是1，则图中阴影部分的面积是( )
A.π B．π C.π D.π
8．将抛物线y＝x2－2x－3平移，使平移后的抛物线经过原点，这个平移过程不可能是( )
A．向右平移1个单位长度
B．向下平移1个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向左平移3个单位长度
9．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )
A.－ B.－2
C．π－ D.－
(第9题) (第12题)
10．已知抛物线y＝－(x－b)2＋2b＋c(b，c为常数)经过不同的两点(－2－b，m)，(－1＋c，m)，那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的( )
A．(－2，－7) B．(－1，－3)
C．(1，8) D．(2，13)
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11．将二次函数y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k的形式为______________．
12．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是⊙A在y轴右侧部分上的一点，则cos∠OBC＝________．
13．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A，B(1，1)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为______________．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝，则线段AB的长度是________．
(第14题) (第16题)
15．在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m，如果在坡比为1∶的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为______m.
16．如图，在△ABC中，BC＝4 ，高AD，BE交于点M，若△ABC的外接圆的半径长为4，则DM的最大值为________．
三、解答题(本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)计算：|－3|＋·tan 30°－(3.14－π)0＋sin260°.
18．(8分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象的顶点为P(－1，2)，且图象经过点A(1，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)请结合图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．
19．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC上，连接AD，过点D作射线DE⊥AD.
(1)在射线DE上求作点M，使得△ADM∽△ABC(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若cos∠BAD＝，BC＝6，求DM的长．
20．(8分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E.求证：∠B＝∠C.
21．(8分)如图，已知二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过O(0，0)，A(2，0)两点．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°得到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点，并说明理由．
22．(10分)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到永丰路的距离为100 m的点P处．一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4 s，∠APO＝60°，∠BPO＝45°.
(1)求A，B之间的路程；
(2)请判断此车是否超过了永丰路54 km/h的限制速度．(参考数据：≈1.73)
23．(10分)如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，sin A＝.
(1)求∠BED的大小；
(2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3 ，求证：DF与⊙O相切．
24．(12分)在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20 m，宽10 m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区(四个全等的矩形)，空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4 m，不大于8 m．设出口宽度均为x m，活动区面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当出口宽度为多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
(3)若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1 850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
25．(14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B.当x>0时，抛物线最低点的纵坐标为－4；当x≤0时，抛物线最低点的纵坐标为－3.
(1)求a，b的关系式(用含b的代数式表示a)；
(2)若OA＝OB，求抛物线的表达式；
(3)在(2)的条件下，M为抛物线对称轴上一点，过点M的直线交抛物线于C，D两点，E为线段CD的中点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F.探究是否存在定点M，使得CD＝4EF总成立．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.A
10．B
二、11.y＝2(x－2)2＋5 12.
13．x1＝－，x2＝1 14.4 15.5 16.2
三、17.解：原式＝3＋×－1＋＝3＋1－1＋＝.
18．解：(1)∵该二次函数的图象的顶点为P(－1，2)，
∴该二次函数的表达式可化为y＝a(x＋1)2＋2.
∵图象经过点A(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，
解得a＝－.
∴该二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋2，
即y＝－x2－x＋.
(2)－3＜x＜1.
19．解：(1)如图，点M即为所求作．
(2)∵△ADM∽△ABC，∴＝.
∵在Rt△ABD中，cos∠BAD＝＝，
∴＝.
∵BC＝6，∴DM＝9.
20．证明：连接OD，OE，OA，如图．
∵大圆弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝BD，AE＝CE.
∵AD＝，AE＝，OD＝OE，
∴AD＝AE，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.
21．解：(1)该函数图象的对称轴为直线x＝1.
(2)点A′是该函数图象的顶点．
理由：如图，过A′作A′B⊥x轴于点B，则∠OBA′＝90°.
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°得到OA′，O(0，0)，A(2，0)，
∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝60°.
∴OB＝OA′·cos∠AOA′＝1，A′B＝OA′·sin∠AOA′＝.
∴点A′的坐标为(1，)．
由(1)易知h＝1，该函数图象的顶点坐标为(1，)，
∴点A′是该函数图象的顶点．
22．解：(1)在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，
∴OB＝OP＝100 m.
在Rt△AOP中，∠APO＝60°，
∴AO＝OP·tan∠APO＝100 m，
∴AB＝AO－BO＝100 －100＝100(－1)(m)．
(2)∵此车的速度＝＝25(－1)≈25×0.73＝18.25(m/s)，54 km/h＝15 m/s，18.25 m/s>15 m/s，
∴此车超过了永丰路54 km/h的限制速度．
23．(1)解：连接OB，如图．
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°.
∵sin A＝，∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°.
(2)证明：连接OF，如图．
由(1)得，∠OBF＝∠ABO＝90°.
∵BF＝3 ，OB＝3，∴tan∠BOF＝＝，
∴∠BOF＝60°.
∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°.
在△BOF和△DOF中，
∴△BOF≌△DOF，
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∵OD为半径，∴DF与⊙O相切．
24．解：(1)根据题意，得
y＝20×10－4××
＝200－(20－x)(10－x)
＝200－200＋30x－x2＝－x2＋30x，
∴y与x之间的函数表达式为y＝－x2＋30x(4≤x≤8)．
(2)由(1)知，y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵－1＜0，∴当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当出口宽度为8 m时，活动区面积最大，最大面积是176 m2.
(3)设布置成本为w元，
则w＝10(－x2＋30x)＋8[200－(－x2＋30x)]
＝－10x2＋300x＋1 600＋8x2－240x
＝－2x2＋60x＋1 600，
令w＝1 850，
则－2x2＋60x＋1 600＝1 850，
解得x1＝25，x2＝5.
∵4≤x≤8，∴x＝25不符合题意，舍去．
易知x的取值范围为4≤x≤5.
由(2)可知，当x<15时，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1 850元．
25．解：(1)∵当x>0时，抛物线最低点的纵坐标为－4；
当x≤0时，抛物线最低点的纵坐标为－3，
∴x>0时抛物线上的最低点是整条抛物线的最低点，
∴抛物线的开口向上，对称轴在y轴右侧，且顶点的纵坐标为－4，
∴a>0，－>0，＝－4.
∵当x<－时，y随x的增大而减小，
∴易知当x＝0时，y＝－3，
∴c＝－3，∴＝－4，
∴a＝b2.
(2)由(1)得抛物线的表达式为y＝x2＋bx－3，a>0，－>0，B(0，－3)，∴b<0.
∵OA＝OB，∴OA＝3.
∵点A在x轴正半轴上，∴A(3，0)，
∴b2＋3b－3＝0，
解得b1＝－2，b2＝>0(不合题意，舍去)，
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.
(3)存在．∵过点M的直线交抛物线于C，D两点，
∴设该直线的表达式为y＝kx＋t.
由(2)得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
设M(1，m)，∴k＋t＝m，即t＝m－k，
∴该直线的表达式为y＝kx－k＋m.
将y＝kx－k＋m代入y＝x2－2x－3，
整理，得x2－(k＋2)x＋k－m－3＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
∴Δ＝[－(k＋2)]2－4(k－m－3)＝k2＋4m＋16>0，
x1＋x2＝k＋2，x1x2＝k－m－3.
设E(xE，kxE－k＋m)．
∵E是CD的中点，
∴x2－xE＝xE－x1，
∴xE＝，
∴E.
∵EF⊥x轴，且点F在抛物线上，
∴F，
∴EF＝.
由勾股定理得CD2＝(y1－y2)2＋(x1－x2)2
＝(kx1－k＋m－kx2＋k－m)2＋(x1－x2)2
＝(1＋k2)(x1－x2)2
＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝(1＋k2)[(k＋2)2－4(k－m－3)]
＝(1＋k2)(k2＋4m＋16)．
∵CD＝4EF，∴CD2＝16EF2，
即(1＋k2)(k2＋4m＋16)＝(k2＋4m＋16)2，
∵k2＋4m＋16>0，
∴1＋k2＝k2＋4m＋16，
解得m＝－，
∴存在定点M，坐标为.
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