【324382】2024春九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系学情评估（新版）北师大版

第一章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos B的值是(　　)

A. B. C. D.

(第1题)　 　 (第2题)　　 (第4题)

2．如图，有一斜坡AB的长为10，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅直高度AC为(　　)

A．10 tan 36° B．10 sin 36°

C. D．10 cos 36°

3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，则AB＝(　　)

A．18 B．9 C．10 D．12

4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cos B的是(　　)

A. B. C. D.

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AC＝，BC＝2，那么sin∠ACD等于(　　)

A. B. C. D.

(第5题)　　 (第6题)

6．如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠CAB的正切值是(　　)

A．2 B. C. D.

7．如图，圆规两脚OA，OB张开的夹角∠AOB为α，OA＝OB＝12，则两脚张开的距离AB为(　　)

A．24 sin B．24 cos C．12 sin α D．12 cos α

(第7题)　　 (第8题)　　 (第9题)

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，MN＝，M，N分别是AC，AB的中点，则AB的长为(　　)

A．2 B．2 C．4 D．4

9．如图，在高楼AB前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得楼顶的仰角为45°，则该高楼AB的高度大约为(　　)

A．82 m B．163 m C．52 m D．30 m

10．如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE＝β，则矩形ABCD的周长可表示为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．2

(第10题)　 　 (第14题)

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)

11．比较大小：sin 80°________sin 50°(填“＞”或“＜”)．

12．若tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是________．

13．定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为________．

14．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，2 )，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．

15．现有一架长4 m的梯子AB斜靠在墙面上，要想使人安全地攀上梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图，当梯子与地面的夹角为60°时，若将梯子底端沿CA方向滑动1 m到点A′处，此时________(填“能”或“不能”)安全使用这架梯子．

(第15题)　　 　 (第16题)

16．如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，且DE＝2CE，BE⊥AC于点F，连接DF，有下列四个结论：①△CEF∽△ACB；②AF＝2CF；③DF＝AF；④tan∠ACD＝.其中正确的结论有________(填写序号即可)．

三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)计算：

(1)2^－1－sin 60°＋(π－2 024)⁰＋；

(2)sin² 30°＋tan 45°·cos 60°.

18．(8分)春节期间，小南和同学相约外出游玩．如图，他们在A地集合后，沿南偏西75°方向行走一段距离到达打卡点B，打卡后前往位于打卡点B正北方向120 m处的餐厅C用餐．已知A在C的东南方向上．求A，C两地间的距离(结果精确到个位，参考数据：≈1.41，≈2.45)．

19．(8分)如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，＝，E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．

20．(8分)如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转，得到Rt△A′OB′，使点A的对应点A′落在AB边上，过点B′作B′C∥AB，交AO的延长线于点C.

(1)求证：∠BA′O＝∠C；

(2)若OB＝2OA，求tan∠OB′C的值．

21．(10分)王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，如图，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2 m到达斜坡上D点处，在D点处测得大树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为1∶3(点E，C，B在同一水平线上)．

(1)求王刚同学从C点到D点的运动过程中上升的高度；

(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．

22．(10分)在物理学中，速度具有大小和方向．如图①，点O受到两个速度v₁，v₂的影响，大小方向用有向线段OA，OB表示，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，则对角线OC的大小和方向表示合速度(即实际速度)v的大小和方向，这种方法称为平行四边形法则．下面利用平行四边形法则解决实际问题．

(1)已知小河的水流速度大小为3 km/h，小船在静水中的航行速度大小也为3 km/h.如图②，当小船朝着垂直于河岸的方向航行时，根据平行四边形法则可知，小船的实际速度方向为北偏东________°，大小为________km/h.

(2)已知小河的水流速度大小仍为3 km/h.如图③，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸的方向，大小为3 km/h，则小船应该朝哪个方向航行，速度大小为多少？

答案

一、1.D　2.B　3.B　4.C　5.A　6.D　7.A　8.C　9.A

10．B　

二、11.>　12.20°　13.或　14.(8，2 )　15.不能

16．①④

三、17.解：(1)原式＝－×＋1＋＝－＋1＋＝.

(2)原式＝＋1×＝＋＝.

18．解：如图，过B作BM⊥AC于M，则∠BMC＝90°.

由题意易得，∠C＝45°，∠ABC＝75°，

∴∠BAC＝60°，∠CBM＝45°，

∴BM＝CM＝BC·cos C＝BC＝60 (m)，

∴AM＝＝＝20 (m)，

∴AC＝CM＋AM＝60 ＋20 ≈134(m)．

∴A，C两地间的距离为134 m.

19．解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.

∵E是AB的中点，CE＝1，

∴AE＝BE＝CE＝1，

∴AB＝2，∠B＝∠ECB.

∵＝，∴设BC＝3x(x≠0)，则CD＝2x.

在Rt△ACD中，∵tan D＝2，∴＝2.∴AC＝4x.

在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝＝5x，

∴sin∠ECB＝sin B＝＝.

∵AB＝2，∴5x＝2，∴x＝.

∴AD＝＝

＝2 x＝2 ×＝.

20．(1)证明：如图．

∵B′C∥AB，

∴∠A＋∠C＝180°.

由旋转得OA′＝OA，

∴∠1＝∠A.

∵∠1＋∠BA′O＝180°，

∴∠A＋∠BA′O＝180°，∴∠BA′O＝∠C.

(2)解：如图，由旋转得∠A′OB′＝∠AOB＝90°，

∴∠2 ＋∠3＝90°.

易得∠3＋∠4＝90°，∴∠2＝∠4.

又∵∠BA′O＝∠C，

∴180°－∠2－∠BA′O＝180°－∠4－∠C，

∴∠B＝∠OB′C.

在Rt△AOB中，∵OB＝2OA，

∴tan∠OB′C＝tan B＝＝.

21．解：(1)如图，过点D作DH⊥CE于点H.

由题意知CD＝2 m.

∵斜坡CF的坡比为1∶3，

∴＝.

设DH＝x m(x>0)，则CH＝3x m，

∵DH²＋CH²＝DC²，∴x²＋(3x)²＝(2)²，

解得x＝2(负值舍去)．∴DH＝2 m.

答：王刚同学从C点到D点的运动过程中上升的高度为2 m.

(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G.

易得四边形DHBG为矩形，

∴DH＝BG＝2 m．设AB＝y m，则AG＝(y－2)m.

∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y m.

由(1)易知CH＝6 m，∴BH＝DG＝(y＋6) m.

∵∠ADG＝30°，∴＝tan 30°＝.

∴＝，解得y＝6＋4 .

经检验，y＝6＋4 符合题意．

答：大树AB的高度是(6＋4 )m.

22．解：(1)45；3

(2)如图，

∵小河的水流速度大小仍为3 km/h，小船的实际速度大小为3 km/h，小船的实际速度方向为垂直于河岸的方向，

∴易得小船在静水中的航行速度大小为＝6(km/h)．

设小船朝北偏西β方向航行，

易得tan β＝＝，∴β＝30°.

答：小船应该朝北偏西30°方向航行，速度大小为6 km/h.