【323500】2023九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形检测题(新版)北师大版
第一章 特殊平行四边形检测题
(本检测题满分:120分,时间:120分钟)
选择题(每小题3分,共30分)
1. (2015•江苏连云港中考)已知四边形ABCD,下列说法正确的是( )
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形
2.(2015·贵州安顺中考)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为( )
第2题图
A.2
B.
C.
D.6
3.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线,垂足恰好是该边的中点,则菱形的内角中钝角的度数是( )
A.150° B. 135° C. 120° D. 100°
4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长为( )
A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm
5.如图,在矩形
中,
分别为边
的中点.若
,
,则图中阴影部分的面积为(
)
A.3 B.4 C.6 D.8
第5题图
第6题图
6.如图,在菱形
中,
,∠
,则对角线
等于(
)
A.20 B.15 C.10 D.5
7.若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为( )
A.4
B.2
C.
D.
8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
9.如图,将一个长为
,宽为
的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图(1)),再打开,得到如图(2)所示的小菱形的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
(
第9题图
第10题图
10.如图是一张矩形纸片
,
,若将纸片沿
折叠,使
落在
上,点
的对应点为点
,若
,则
( )
A.
B.
C.
D.
填空题(每小题3分,共24分)
11.已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形的较短对角线的长是_________.
12.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E,F分别从点B,D同时以同样的速度沿边BC,DC向点C运动.给出以下四个结论:
①
;
② ∠
∠
;
③ 当点E,F分别为边BC,DC的中点时,△AEF是等边三角形;
④ 当点E,F分别为边BC,DC的中点时,△AEF的面积最大.
上述正确结论的序号有 .
13.如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使
,则∠BCE的度数是
.
14.如图,矩形
的两条对角线交于点
,过点
作
的垂线
,分别交
,
于点
,
,连接
,已知△
的周长为24
cm,则矩形
的周长是
cm.
15.(2015·贵州安顺中考)如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为 .
第15题图
16.已知菱形的周长为
,一条对角线长为
,则这个菱形的面积为_________.
17.如图,矩形
的对角线
,
,则图中五个小矩形的周长之和为_______.
第18题图
18. (2015·上海中考)已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点,AE=AD,过点E作AC的垂线,交边CD于点F,那么∠FAD=________度.
三
19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC外角的平分线,已知∠BAC=∠ACD.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形.
20.(8分)如图,在□ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE、BD且AE=AB.
(1)求证:∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.
21.(8分)(2015·贵州安顺中考)如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
(1)求证:AE=DF.
(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
第21题图
22.(8分)如图,正方形ABCD的边长为3,E,F 分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=FM;
(2)当AE=1时,求EF的长.
23.(8分)如图,在矩形
中,
相交于点
,
平分
,交
于点
.若
,求∠
的度数.
24.(8分)如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求证:OE=OF;
(2)若BC=
,求AB的长.
25.(8分)已知:如图,在四边形
中,
∥
,
平分∠
,
,
为
的中点.试说明:
互相垂直平分.
26.(10分)
如图,在△
中,∠
,
的垂直平分线
交
于点
,交
于点
,点
在
上,且
.
(1)求证:四边形
是平行四边形.
(2)当∠
满足什么条件时,四边形
是菱形?并说明理由.
第一章 特殊平行四边形检测题参考答案
一、选择题
1.B 解析:一组对边平行,另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形,故A项错误;两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形,故B项正确;对角线相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是矩形,故C项错误;对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形,故D项错误.
2. A
解析:根据图形折叠的性质可得:∠BCE=∠ACE=
∠ACB,∠B=∠COE=90°,BC=CO=
AC,所以∠BAC=30°,所以∠BCE=∠ACE=
∠ACB=30°.因为BC=3,所以CE=2
.
3.C
解析:如图,连接AC.在菱形ABCD中,AD=DC,AE⊥CD,
AF⊥BC,因为
,所以AE是CD的中垂线,所以
,所以△ADC是等边三角形,所以∠
60°,从而∠
120°.
4.B
解析:如图,在矩形ABCD中,
10
cm,
15
cm,
是∠
的平分线,则∠
∠
C.由AE∥BC得∠
∠AEB,所以∠
∠AEB,即
,所以
10
cm,ED=AD-AE=15-10=5(cm),故选B.
5.B
解析:因为矩形ABCD的面积为
,
所以阴影部分的面积为
,故选B.
6
.
D 解析:在菱形
中,由∠
=
,得
∠
.又∵
,
∴ △
是等边三角形,∴
.
7.B
解析:如图,在正方形
中,
,则
,
即
,所以
,所以正方形的面积为2
,故选B.
8.C
9.A
解析:由题意知AC⊥BD,且
4
,
5
,
所以
.
10.A
解析:由折叠知
,四边形
为正方形,
∴
.
二、填空题
11.6 解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形,所以较短对角线的长为6.
12.①②③
解析:因为四边形ABCD为菱形,所以AB
CD,∠B=∠D,BE=DF,所以△
≌△
,所以AE
AF,①正确.
由CB=CD,BE=DF,得CE=CF,所以∠CEF=∠CFE,②正确.
当E,F分别为BC,CD的中点时,BE=DF=
BC=
DC.连接AC,BD,知△
为等边三角形,所以
⊥
.因为AC⊥BD,所以∠ACE=60°,∠CEF=30°,
⊥
,所以
∠AEF=
.由①知AE
AF,故△
为等边三角形,③正确.
设菱形的边长为1,当点E,F分别为边BC,DC的中点时,
的面积为
,而当点E,F分别与点B,D重合时,
=
,故④错.
13.22.5°
解析:由四边形
是正方形,得∠
∠
又
,所以
.5°,所以∠
.
1
可知
,又
⊥
,所以
垂直平分
,所以
.已知△
的周长为24
cm,即
所以矩形ABCD的周长为
15.
解析:如图,作E关于直线AC的对称点E′,则BE=DE′,连接E′F,则E′F即为所求,过F作FG⊥CD于G,
在Rt△E′FG中,
GE′=CD-DE′-CG=CD-BE-BF=4-1-2=1,GF=4,
所以E′F=
=
=
.
第15题答图
16.96 解析:因为菱形的周长是40,所以边长是10.
如
图,
,
.根据菱形的性质,有
⊥
,
,
所以
,
.
所以
.
17. 28
解析:由勾股定理,得
.又
,
,所以
所以五个小矩形的周长之和为
18.22.5
解析:由四边形ABCD是正方形,可知∠BAD=∠D=90°,∠CAD=
∠BAD=45°.
由FE⊥AC,可知∠AEF=90°.
在Rt△ABC与Rt△ADC中,AE=AD,AF=AF,
∴ Rt△AEF≌Rt△ADF(HL),
∴ ∠FAD=∠FAE=
∠CAD=
×45°=22.5°.
三、解答题
19.证明:(1)∵ AB=AC,∴ ∠B=∠ACB,∴ ∠FAC=∠B+∠ACB=2∠BCA.
∵ AD平分∠FAC,∴ ∠FAC=2∠CAD,∴ ∠CAD=∠ACB.
在△ABC和△CDA中,∠BAC=∠DCA ,AC=AC,∠DAC=∠ACB,
∴ △ABC≌△CDA.
(2)∵ ∠FAC=2∠ACB,∠FAC=2∠DAC,∴ ∠DAC=∠ACB,∴ AD∥BC.
∵ ∠BAC=∠ACD,∴ AB∥CD,∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠B=60°,AB=AC,∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC,∴ 平行四边形ABCD是菱形.
20.证明:(1)在□ABCD中,AD∥BC,∴ ∠AEB=∠EAD.
∵ AE=AB,∴ ∠ABE=∠AEB,∴ ∠ABE=∠EAD.
(2)∵ AD∥BC,∴ ∠ADB=∠DBE.
∵ ∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,∴ ∠ABE=2∠ADB,
∴ ∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB,∴ AB=AD.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ 四边形ABCD是菱形.
21.解:(1)证明:因为DE∥AC,DF∥AB,
所以四边形AEDF是平行四边形,
所以AE=DF.
(2)解:若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形,理由如下:
因为DE∥AC,DF∥AB,
所以四边形AEDF是平行四边形,且∠BAD=∠FDA.
又AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAF,
所以∠DAF=∠FDA,
所以AF=DF,
所以平行四边形AEDF为菱形.
22.(1)证明:∵
△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,∴
∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,
∴
F,C,M三点共线,DE=DM,∠EDM=90°,∴
∠EDF+∠FDM=90°.
∵
∠EDF=45°,∴
∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中,DE=DM,∠EDF=∠MDF,DF=DF,
∴ △DEF≌△DMF(SAS),∴ EF=MF.
(2)解:设EF=MF=x,∵ AE=CM=1,且BC=3,∴ BM=BC+CM=3+1=4,
∴ BF=BM-MF=BM-EF=4-x.
∵ EB=AB-AE=3-1=2,在Rt△EBF中,
由勾股定理得EB2+BF2=EF2,即22+(4-x)2=x2,
解得:x=
,即EF=
.
23.解:因为
平分
,所以
.
又知
,所以
因为
,所以△
为等边三角形,所以
因为
,
所以△
为等腰直角三角形,所以
.
所以
,
,所以
=75°.
24.(1)证明:∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB∥CD.
∴ ∠OAE=∠OCF.
又∵ OA=OC, ∠AOE=∠COF,∴ △AEO≌△CFO(ASA).∴ OE=OF.
(2)解:连接BO.∵ BE=BF,∴ △BEF是等腰三角形.
又∵ OE=OF,∴ BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴ ∠BOF=90°.
∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠BCF=90°.
又∵ ∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,
∴ ∠BAC=∠EOA.∴ AE=OE.
∵ AE=CF,OE=OF,∴ OF=CF.
又∵ BF=BF,∴ Rt△BOF≌Rt△BCF(HL).
∴ ∠OBF=∠CBF.∴ ∠CBF=∠FBO=∠OBE.
∵ ∠ABC=90°,∴ ∠OBE=30°.∴ ∠BEO=60°.∴ ∠BAC=30°.
在Rt△BAC中,∵
BC=2
,∴
AC=2BC=4
.
AB=
点拨:证明线段相等的常用方法有以下几种:①等腰三角形中的等角对等边;②全等三角形中的对应边相等;③线段垂直平分线的性质;④角平分线的性质;⑤勾股定理;⑥借助第三条线段进行等量代换.
25.解:如图,连接
∵
AB⊥AC,∴
∠BAC=90°.
因为在Rt△
中,
是
的中点,所以
是Rt△
的斜边BC上的中线,
所以
,所以
.
因为
平分
,所以
,所以
所以
∥
.
又AD∥BC,所以四边形
是平行四边形.
又
,所以平行四边形
是菱形,所以
互相垂直平分.
26.(1)证明:由题意知∠
∠
,
∴
∥
,∴
∠
∠
.
∵
,∴
∠
∠AEF
=∠EAC
=∠ECA
.
又∵
,∴
△
≌△
,
∴
,∴
四边形
是平行四边形
.
(2)解:当∠
时,四边形
是菱形
.理由如下:
∵ ∠
,∠
,∴
.
∵
垂直平分
,∴
.
又∵
,∴
,∴
,
∴ 平行四边形
是菱形.
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