第一章 特殊平行四边形检测题

（本检测题满分：120分，时间：120分钟）

1. 选择题（每小题3分，共30分）

1. (2015•江苏连云港中考)已知四边形ABCD，下列说法正确的是( )

A.当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形

B.当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形

C.当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形

D.当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

2.（2015·贵州安顺中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）

第2题图

A.2 B. C. D.6

3.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）

A.150° B. 135° C. 120° D. 100°

4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）

A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm

5.如图，在矩形 中， 分别为边 的中点.若 ，

，则图中阴影部分的面积为（ ）

A.3 B.4 C.6 D.8

第5题图

第6题图

6.如图，在菱形 中， ，∠ ，则对角线 等于（ ）

A.20 B.15 C.10 D.5

7.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）

A.4 B.2 C. D.

8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等

C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直

9.如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ）

A. B. C. D.

（

第9题图

第10题图

1） （2）

10.如图是一张矩形纸片 ， ，若将纸片沿 折叠，使 落在 上，点 的对应点为点 ，若 ，则 （　　）

A. B. C. D.

2. 填空题（每小题3分，共24分）

11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________.

12.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C运动.给出以下四个结论：

① ;

② ∠ ∠ ;

③ 当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；

④ 当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大.

上述正确结论的序号有 .

13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使 ，则∠BCE的度数是 .

14.如图，矩形 的两条对角线交于点 ，过点 作 的垂线 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ，已知△ 的周长为24 cm，则矩形 的周长是 cm.

15.（2015·贵州安顺中考）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 .

第15题图

16.已知菱形的周长为 ，一条对角线长为 ，则这个菱形的面积为_________.

17.如图，矩形 的对角线 ， ，则图中五个小矩形的周长之和为_______.

第18题图

18. （2015·上海中考）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．

三

、解答题（共66分）

19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD.

（1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.

20.（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.

（1）求证：∠ABE=∠EAD；

（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.

21.（8分）（2015·贵州安顺中考）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.

（1）求证:AE=DF.

（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.

第21题图

22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

（1）求证：EF=FM；

（2）当AE=1时，求EF的长.

23.（8分）如图，在矩形 中， 相交于点 ， 平分 ，交 于点 .若 ，求∠ 的度数.

24.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.

（1）求证：OE＝OF；

（2）若BC＝ ，求AB的长.

25.(8分)已知：如图，在四边形 中， ∥ ， 平分∠ ， ， 为 的中点.试说明： 互相垂直平分.

26.(10分) 如图，在△ 中，∠ ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，点 在 上，且 .

(1)求证：四边形 是平行四边形.

(2)当∠ 满足什么条件时，四边形 是菱形？并说明理由.

第一章 特殊平行四边形检测题参考答案

一、选择题

1.B 解析：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故A项错误；两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形，故B项正确；对角线相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是矩形，故C项错误；对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故D项错误.

2. A 解析：根据图形折叠的性质可得：∠BCE=∠ACE= ∠ACB，∠B=∠COE=90°，BC=CO= AC，所以∠BAC=30°，所以∠BCE=∠ACE= ∠ACB=30°.因为BC=3，所以CE=2 .

3.C 解析：如图，连接AC.在菱形ABCD中，AD=DC,AE⊥CD， AF⊥BC，因为 ，所以AE是CD的中垂线，所以 ，所以△ADC是等边三角形，所以∠ 60°，从而∠ 120°.

4.B 解析:如图，在矩形ABCD中， 10 cm， 15 cm， 是∠ 的平分线，则∠ ∠ C.由AE∥BC得∠ ∠AEB，所以∠ ∠AEB，即 ，所以 10 cm，ED=AD-AE=15-10=5(cm)，故选B.

5.B 解析：因为矩形ABCD的面积为 ，

所以阴影部分的面积为 ，故选B．

6 . D 解析：在菱形 中，由∠ =  ，得 ∠ .又∵ ，

∴ △ 是等边三角形，∴ .

7.B 解析：如图，在正方形 中， ，则 ，

即 ，所以 ，所以正方形的面积为2 ，故选B.

8.C

9.A 解析：由题意知AC⊥BD,且 4 ， 5 ，

所以 .

10.A 解析：由折叠知 ，四边形 为正方形，

∴ .

二、填空题

11.6 解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6.

12.①②③ 解析：因为四边形ABCD为菱形，所以AB CD，∠B=∠D，BE=DF，所以△ ≌△ ，所以AE AF，①正确.

由CB=CD，BE=DF,得CE=CF，所以∠CEF=∠CFE，②正确.

当E，F分别为BC，CD的中点时，BE=DF= BC= DC.连接AC，BD，知△ 为等边三角形，所以 ⊥ .因为AC⊥BD,所以∠ACE=60°，∠CEF=30°， ⊥ ，所以 ∠AEF= .由①知AE AF，故△ 为等边三角形，③正确.

设菱形的边长为1，当点E，F分别为边BC，DC的中点时， 的面积为 ，而当点E，F分别与点B，D重合时， = ，故④错.

13.22.5° 解析:由四边形 是正方形，得∠ ∠ 又 ，所以 .5°，所以∠ .

1

4.48 解析:由矩形 可知 ，又 ⊥ ，所以 垂直平分 ，所以 .已知△ 的周长为24 cm，即

所以矩形ABCD的周长为

15. 解析：如图，作E关于直线AC的对称点E′，则BE=DE′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，

在Rt△E′FG中，

GE′=CD-DE′-CG=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，

所以E′F= ＝ ＝ .

第15题答图

16.96 解析：因为菱形的周长是40，所以边长是10．

如
图， ， ．根据菱形的性质，有 ⊥ ，

，

所以 ， ．

所以 ．

17. 28 解析：由勾股定理,得 .又 ， ，所以 所以五个小矩形的周长之和为

18.22.5 解析：由四边形ABCD是正方形，可知∠BAD=∠D=90°，∠CAD= ∠BAD=45°.

由FE⊥AC，可知∠AEF=90°.

在Rt△ABC与Rt△ADC中，AE=AD，AF=AF，

∴ Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），

∴ ∠FAD=∠FAE= ∠CAD= ×45°=22.5°.

三、解答题

19.证明：（1）∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ACB，∴ ∠FAC=∠B+∠ACB=2∠BCA.

∵ AD平分∠FAC，∴ ∠FAC=2∠CAD，∴ ∠CAD=∠ACB.

在△ABC和△CDA中，∠BAC＝∠DCA ，AC＝AC，∠DAC＝∠ACB，

∴ △ABC≌△CDA.

（2）∵ ∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴ ∠DAC=∠ACB，∴ AD∥BC.

∵ ∠BAC=∠ACD，∴ AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.

∵ ∠B=60°，AB=AC，∴ △ABC是等边三角形，

∴ AB=BC，∴ 平行四边形ABCD是菱形.

20.证明：（1）在□ABCD中，AD∥BC，∴ ∠AEB=∠EAD.

∵ AE=AB，∴ ∠ABE=∠AEB，∴ ∠ABE=∠EAD.

（2）∵ AD∥BC，∴ ∠ADB=∠DBE.

∵ ∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴ ∠ABE=2∠ADB，

∴ ∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴ AB=AD.

又∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ 四边形ABCD是菱形.

21.解：（1）证明：因为DE∥AC，DF∥AB，

所以四边形AEDF是平行四边形,

所以AE=DF.

（2）解：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形，理由如下：

因为DE∥AC，DF∥AB，

所以四边形AEDF是平行四边形，且∠BAD=∠FDA.

又AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAF，

所以∠DAF=∠FDA，

所以AF=DF，

所以平行四边形AEDF为菱形.

22.（1）证明：∵ △DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴ ∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴ ∠EDF+∠FDM=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴ ∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，

∴ △DEF≌△DMF（SAS），∴ EF=MF.

（2）解：设EF=MF=x，∵ AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，

∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x.

∵ EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，

由勾股定理得EB²+BF²=EF²，即2²+（4－x）²=x²，
解得：x= ，即EF= .

23.解：因为 平分 ，所以 .

又知 ，所以

因为 ，所以△ 为等边三角形，所以

因为 ，

所以△ 为等腰直角三角形，所以 ．

所以 ， ，所以 =75°.

24.（1）证明:∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD.

∴ ∠OAE=∠OCF.

又∵ OA=OC, ∠AOE=∠COF，∴ △AEO≌△CFO（ASA）.∴ OE=OF.

（2）解:连接BO.∵ BE=BF，∴ △BEF是等腰三角形.

又∵ OE=OF,∴ BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴ ∠BOF=90°.

∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BCF=90°.

又∵ ∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,

∴ ∠BAC=∠EOA.∴ AE=OE.

∵ AE=CF,OE=OF,∴ OF=CF.

又∵ BF=BF,∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）.

∴ ∠OBF=∠CBF.∴ ∠CBF=∠FBO=∠OBE.

∵ ∠ABC=90°,∴ ∠OBE=30°.∴ ∠BEO=60°.∴ ∠BAC=30°.

在Rt△BAC中，∵ BC=2 ,∴ AC=2BC=4 .

AB=

点拨:证明线段相等的常用方法有以下几种：①等腰三角形中的等角对等边；②全等三角形中的对应边相等；③线段垂直平分线的性质；④角平分线的性质；⑤勾股定理；⑥借助第三条线段进行等量代换．

25.解：如图，连接 ∵ AB⊥AC，∴ ∠BAC=90°.

因为在Rt△ 中， 是 的中点，所以 是Rt△ 的斜边BC上的中线，

所以 ，所以 ．

因为 平分 ，所以 ，所以 所以 ∥ .

又AD∥BC，所以四边形 是平行四边形．

又 ，所以平行四边形 是菱形，所以 互相垂直平分．

26.（1）证明：由题意知∠ ∠ ，

∴ ∥ ，∴ ∠ ∠ .

∵ ，∴ ∠ ∠AEF =∠EAC =∠ECA .

又∵ ，∴ △ ≌△ ，

∴ ，∴ 四边形 是平行四边形 ．

（2）解：当∠ 时，四边形 是菱形 ．理由如下：

∵ ∠ ，∠ ，∴ .

∵ 垂直平分 ，∴ .

又∵ ，∴ ，∴ ，

∴ 平行四边形 是菱形．