第二章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．下列函数属于二次函数的是(　　)

A．y＝5x＋3 B．y＝

C．y＝2x²＋x＋1 D．y＝

2．将二次函数y＝x²－2x＋4化为y＝a(x－h)²＋k的形式，则下列正确的是(　　)

A．y＝(x－1)²＋2 B．y＝(x－1)²＋3

C．y＝(x－2)²＋2 D．y＝(x－2)²＋4

3．一个小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足的函数表达式为h＝－5(t－1)²＋6，则小球距离地面的最大高度是(　　)

A．1 m　 B．5 m　 C．6 m　 D．7 m

4．已知二次函数y＝kx²－4x＋4的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)

A．k<1 B．k<1且k≠0

C．k≤1 D．k≤1且k≠0

5．小颖用计算器探索方程ax²＋bx＋c＝0的根，她作出如图所示的二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，并求得一个近似根为x＝－4.3，则方程的另一个近似根为(精确到0.1)(　　)

A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3

(第5题)　 　 (第6题)

6．如图，坐标系的原点为O，P是第一象限内的抛物线y＝x²－1上的任意一点，PA⊥x轴于点A.则OP－PA的值为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表所示．若该二次函数的图象向左平移后通过原点，则应向左平移(　　)

x	…	－1	0	1	2	…
y	…	0	3	4	3	…

A.1个单位 B．2个单位

C．3个单位 D．4个单位

8．二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是(　　)

(第8题)　 　 (第9题)　　 (第13题)

9．二次函数y＝ax²＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．2a－b＝0

B．a－b＋c＜0

C．c＝4a＋3

D．关于x的方程ax²＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根

10．二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象过不同的六点A(－2，m－1)，B(－1，m)，C(0，y₁)，D(2，y₂)，E(3，y₃)，F(4，m＋1)，则y₁，y₂，y₃的大小关系是(　　)

A．y₁<y₂<y₃ B．y₁<y₃<y₂

C．y₂<y₃<y₁ D．y₂<y₁<y₃

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)

11．二次函数y＝－(x－1)²－3的图象的顶点坐标为________．

12．写出一个满足“当x＞2时，y随x的增大而减小”的二次函数表达式：________________________．

13．如图是二次函数y＝ax²－x＋a²－1的图象，则a＝________．

14．已知函数y＝x²－2x－2，当－1≤x≤2时，y的取值范围是____________．

15．油纸伞是福州三宝之一．某商厦将进货单价为70元的一种油纸伞按零售价每个100元售出时，每天能卖出20个，若这种油纸伞每个的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则每个的零售价应降价________元．

16．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为________cm.

三、解答题(本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)已知二次函数y＝x²＋2x＋m的图象过点A(3，0)．

(1)求m的值；

(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？

18．(8分)如图，二次函数y＝(x－2)²＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的表达式；

(2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)²＋m的x的取值范围．

19．(8分)如图，现打算用60 m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF)，菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39 m．(篱笆的宽度忽略不计)

(1)菜园面积可能为252 m²吗？若可能，求此时AB的长；若不可能，说明理由．

(2)因场地限制，AB的长不能超过8 m，求该菜园面积的最大值．

20．(8分)如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)若抛物线的顶点为D，求四边形AEDB的面积．

21．(10分)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值)．设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax²＋bx＋c(a≠0)．

(1)c的值为________；

(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－，b＝，求基准点K的高度h；

②若a＝－时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为________；

(3)若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．

22．(10分)如图，抛物线C：y＝ax²－3x＋2a经过点C(0，2)，与x轴交于A，B两点．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)D(x₁，y₁)，E(x₂，y₂)是抛物线C上的两点，x₁＜2＜x₂，y₁＜0，y₂＞0.

①若∠CBD＝75°，求BD所在直线的函数表达式；

②已知∠CBE＝∠CBD，求证：(x₁－1)(x₂－1)为定值．

答案

一、1.C　2.B　3.C　4.D　5.C　6.B　7.C　8.C　9.C

10．B　点拨：将A(－2，m－1)，B(－1，m)，F(4，m＋1)的坐标代入y＝ax²＋bx＋c，

得解得

∴该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－＝－＝.

∴易得y₁<y₃<y₂.故选B.

二、11.(1，－3)　12.y＝－(x－2)²(答案不唯一)

13．1　14.－3≤y≤1　15.5　

16.　点拨：设AP＝x cm，BE＝y cm.如图，

∵在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°.

∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.

∴∠1＝∠3.

∴Rt△ADP∽Rt△BPE.∴＝，

即＝.整理得y＝－(x－5)²＋(0＜x＜10)，

∴当x＝5时，y有最大值，为.

∴BE的最大长度为 cm.

三、17.解：(1)∵二次函数y＝x²＋2x＋m的图象过点A(3，0)，∴9＋6＋m＝0，解得m＝－15.

(2)∵y＝x²＋2x－15＝(x＋1)²－16，

∴二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1.

易知该抛物线开口向上，

∴当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大．

18．解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)²＋m，

得(1－2)²＋m＝0，解得m＝－1，

∴二次函数的表达式为y＝(x－2)²－1.

易知二次函数的图象的对称轴为直线x＝2.

令x＝0，则y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．

∵点C和点B关于直线x＝2对称，

∴点B的坐标为(4，3)．

将A(1，0)，B(4，3)的坐标分别代入y＝kx＋b，

得解得

∴一次函数的表达式为y＝x－1.

(2)满足kx＋b≥(x－2)²＋m的x的取值范围为1≤x≤4.

19．解：(1)可能．

设AB长为x m，则BC长为(60－3x)m，

令x(60－3x)＝252，解得x＝6或x＝14.

当x＝6时，BC＝60－18＝42>39，不合题意，舍去；

当x＝14时，BC＝60－42＝18<39，符合题意．

∴菜园面积可能为252 m²，此时AB的长为14 m.

(2)设菜园面积为S，由(1)可知，S＝x(60－3x)＝－3x²＋60x，

∴S是关于x的二次函数，其图象开口向下，对称轴为直线x＝10.

由题意可得

∴7≤x≤8.

∵当7≤x≤8时，S随x的增大而增大，

∴当x＝8时，S取最大值，为8×(60－3×8)＝8×36＝288.

∴该菜园面积的最大值为288 m².

20．解：(1)∵抛物线与y轴交于点B(0，3)，

∴设抛物线对应的函数表达式为y＝ax²＋bx＋3.

又∵A(－1，0)，E(3，0)在抛物线上，

∴解得

∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x²＋2x＋3.

(2)∵y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，

∴点D的坐标为(1，4)．

过点D作DF⊥x轴于点F，

易知F(1，0)，∴OF＝1，DF＝4.

∵E(3，0)，∴EF＝2.

∵A(－1，0)，B(0，3)，∴OA＝1，OB＝3.

∴S_{四边形AEDB}＝S_△ABO＋S_梯形BOFD＋S_△DEF＝AO·BO＋(BO＋DF)·OF＋EF·DF＝×1×3＋×(3＋4)×1＋×2×4＝9.

∴四边形AEDB的面积为9.

21．解：(1)66

(2)①∵a＝－，b＝，

∴y＝－x²＋x＋66.

∵基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m，

∴h＝－×75²＋×75＋66＝21，

∴基准点K的高度h为21 m.

②b＞

(3)他的落地点能超过K点，理由如下：

∵运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，

∴抛物线的顶点坐标为(25，76)，

则抛物线的表达式可写为y＝a(x－25)²＋76，

把(0，66)代入，得66＝a(0－25)²＋76，

解得a＝－，

∴抛物线的表达式为y＝－(x－25)²＋76，

当x＝75时，y＝－×(75－25)²＋76＝36，

∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．

22．(1)解：∵y＝ax²－3x＋2a经过点C(0，2)，

∴将(0，2)代入y＝ax²－3x＋2a，得2a＝2，

解得a＝1.

∴抛物线的表达式为y＝x²－3x＋2.

(2)①解：如图，延长BD交y轴于点N，

令x²－3x＋2＝0，得x₁＝1，x₂＝2.

∴A(1，0)，B(2，0)，∴OB＝2.

∵C(0，2)，∴OC＝2，∴OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°.

∵∠CBD＝75°，∴∠OBD＝30°，

在Rt△OBN中，tan ∠OBN＝，

∴tan 30°＝，∴ON＝，∴N.

设BD所在直线的函数表达式为y＝kx＋b，

把B(2，0)，N的坐标代入，得

∴k＝，

∴BD所在直线的函数表达式为y＝x－.

②证明：如图，过点C作CP∥AB与BE的延长线相交于点P，

∴∠PCB＝∠OBC.

∵∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB＝∠OCB.

∵∠CBE＝∠CBD，CB＝CB，∠OCB＝∠PCB，

∴△CBN≌△CBP，

∴CN＝CP.

设直线BN的表达式为y＝mx＋t，

直线BP的表达式为y＝nx＋c，

将B(2，0)的坐标分别代入，得t＝－2m，c＝－2n，

∴直线BN的表达式为y＝mx－2m，直线BP的表达式为y＝nx－2n.

当x＝0时，y＝－2m，

∴CN＝2－(－2m)＝2＋2m，∴CP＝CN＝2＋2m，

∴P(2＋2m，2)，

将P(2＋2m，2)的坐标代入y＝nx－2n，

得2＝n(2＋2m)－2n，

∴mn＝1.

联立，得方程组与

可得x²－(m＋3)x＋2m＋2＝0，x²－(n＋3)x＋2n＋2＝0.

∵D(x₁，y₁)，E(x₂，y₂)，

∴x_B＋x₁＝m＋3，x_B＋x₂＝n＋3，

∴2＋x₁＝m＋3，2＋x₂＝n＋3，

∴x₁＝m＋1，x₂＝n＋1，

∴(x₁－1)(x₂－1)＝(m＋1－1)(n＋1－1)＝mn＝1，

∴(x₁－1)(x₂－1)为定值．