第27章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．(母题：教材P50练习T1)已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是(　　)

A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定

2．如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧AB的半径OA＝20 cm，圆心角∠AOB＝90°，则扇形OAB的面积为＝(　　)

A．200π cm² B．100π cm² C．50π cm² D．20π cm²

3．(母题：教材P73复习题T8)如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为(　　)

A．12 B．10 C．14 D．15

4．[2023·山西]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为(　　)

A．40° B．50° C．60° D．70°

5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB的度数为(　　)

A．120° B．130° C．135° D．150°

6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为(　　)

A．2－2 B．3－ C．4－ D．2

7．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是(　　)

A．2 B．1 C. D.

8．[2023·北京人大附中月考]如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为(　　)

A．15° B．20° C．25° D．30°

9．[2023·鄂州]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是(　　)

A．5－π B．5－4 π C．5－2 π D．10－2 π

10.如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9 cm，AB＝20 cm，BC＝24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是(　　)

A. cm B．8 cm C．6 cm D．10 cm

二、填空题(每题3分，共24分)

11．[2022·连云港]如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，点A为切点．连结BC，与⊙O交于点D，连接OD.若∠AOD＝82°，则∠C＝________°.

12．挂钟的分针长10 cm，经过15 min，它的针尖经过的路径长为__________．

13．[2023·新乡十中期末]已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是________．

14．[2023·厦门一中期中]如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E＝40°，∠F＝60°，则∠A＝________.

15.“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示为圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为________．

16．[2022·金华]如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C.已知AC＝6 cm，CB＝8 cm，则⊙O的半径为________ cm.

17. 为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60 cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度约为________cm.

18．[2023·张家界]如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为(1，1)，AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2是以点O为圆心，OA₁为半径的圆弧；A2A3是以点C为圆心，CA₂为半径的圆弧；A3A4是以点A为圆心，AA₃为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA₁A₂A₃A₄A₅…称为正方形的“渐开线”，则点A_{2 023}的坐标是________．

三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)

19．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝30°，求∠B的度数．

20．[2023·清华附中模拟]如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F.

(1)求证：∠A＝∠BOF；

(2)若AB＝4，DF＝1，求AE的长．

2 1．[2023·宜宾二中模拟]如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F.

(1)求证：DO∥AC；

(2)求证：DE·DA＝DC²；

(3)若tan ∠CAD＝，求sin ∠CDA的值．

22. “垃圾入桶，保护环境，从我做起”，如图是某款垃圾桶侧面展示图，AD＝

DC＝40 cm，GD＝30 cm，GF＝20 cm，∠A＝∠GDC＝∠DGF＝90°，桶盖GFEC可以绕点G逆时针方向旋转，当旋转角为40°时，桶盖GFEC落在GF′E′C′的位置．

(1)求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度；

(2)求点F′到地面AB的距离．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)

23．[2023·恩施州]如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连结CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长．

24．[2023·大连]如图①，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连结OD交BC于点E.

(1)求∠BED的度数；

(2)如图②，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G.若AD＝2，DE＝4，求DG的长．

答案

一、1．A

2．B 【点拨】弧的半径OA＝20 cm，圆心角∠AOB＝90°，

∴S_扇形OAB＝＝100π(cm²)，故选B.

3．B

4．B 【点拨】∵BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°.

∵∠BDC＝∠BAC＝40°，

∴∠DBC＝90°－∠BDC＝50°.故选B.

5．B

6．C　【点拨】延长AD，BC交于点E，先求出∠E＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．

7．B　8．C

9．C 【点拨】如图，连结OD，过点D作DE⊥BC于E.

在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，

∴BC＝＝＝4，

∴OC＝OD＝OB＝BC＝2.

∵∠DOB＝2∠C＝60°，

∴DE＝OD·sin 60°＝2×＝3.

∴S_阴影＝S_△ACB－S_△COD－S_扇形ODB＝×4×4－×2×3－＝8－3－2 π＝5－2 π.故选C.

10．B 【点拨】如图，当AB，BC，CD分别切⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．

连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H.

∵ AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠ABC＝90°.

∵∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形．

∴AB＝DH＝20 cm，AD＝BH＝9 cm.

∵BC＝24 cm，

∴CH＝BC－BH＝24－9＝15(cm)．

∴CD＝＝＝25(cm)．

设OE＝OF＝OG＝r cm，根据S_{四边形ABCD}＝S_△ABO＋S_△BCO＋S_△CDO＋S_△DAO，

得×(9＋24)×20＝×20×r＋×24×r＋×25×r＋×9×(20－r)，解得r＝8.

∴OE＝OF＝OG＝8 cm.

二、11.49　12.5π cm　13.3 π

14．40° 【点拨】连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形．

∴ ∠A＋∠BCD＝180°.

又∵∠BCD＋∠ECD＝180°，

∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1＋∠2.∴∠A＝∠1＋∠2.

∵∠A＋∠1＋∠2＋∠DEB＋∠BFD＝180°，∠DEB＝40°，

∠BFD＝60°，∴2∠A＋40°＋60°＝180°，

∴∠A＝40°.

15．3　16.

17．240 【点拨】设小圆的切线MN与小圆相切于点D，连结OD，OM，则

OD⊥MN，∴MD＝DN.

在Rt△DOM中，OM＝180 cm，OD＝60 cm，

∴MD＝＝＝120(cm)，

∴MN＝2MD＝240 cm.

18．(－2 023，1) 【点拨】由题易得A(1，1)，A₁(2，0)，A₂(0，－2)，A₃(－3，1)，A₄(1，5)，A₅(6，0)，A₆(0，－6)，A₇(－7，1)，A₈(1，9)……

∴A_4n(1，4n＋1)，A_4n＋1(4n＋2，0)，A_4n＋2(0，－(4n＋2))，A_4n＋3(－(4n＋3)，1)．

∵2 023÷4＝505……3，

∴A_{2 023}的坐标为(－2 023，1)．

三、19.【解】∵PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，

∴∠OAP＝90°.

又∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.

∴∠B＝∠AOP＝30°.

20．(1)【证明】∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.

∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠C＝∠ODB，∴AC∥OD，∴∠A＝∠BOF.

(2)【解】如图，连结BE.

∵ AB是⊙O的直径，AB＝4，

∴∠AEB＝90°，OB＝OD＝AB＝2.

∵BF是⊙O的切线，

∴∠OBF＝90°，∴∠AEB＝∠OBF.

又∵∠A＝∠BOF，

∴△ABE∽△OFB，∴＝.

又∵OF＝OD＋DF＝2＋1＝3，

∴＝，解得AE＝.

21．(1)【证明】∵D为弧BC的中点，OD为⊙O的半径，

∴OD⊥BC即∠BFO＝90°.

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∴AC∥OD.

(2)【证明】∵D为弧BC的中点，∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠DAC.

又∵∠CDE＝∠ADC，∴△DCE∽△DAC，

∴＝，即DE·DA＝DC2.

(3)【解】∵△DCE∽△DAC，tan ∠CAD＝，

∴＝＝＝.

设CD＝2a，则DE＝a，DA＝4a，∴AE＝3a.

∵AC∥OD，∴△AEC∽△DEF，

∴＝＝3，∴EF＝CE，∴BC＝2CF＝CE.

又AC＝2CE，∴AB＝CE，

即sin ∠CDA＝sin ∠CBA＝＝.

22．【解】(1)

如 图，连结CG，由旋转知点C，C′都在以G为圆心，CG为半径的圆上，则点C运动轨迹的长度为弧CC′的长．

在Rt△GDC中，DC＝40 cm，

GD＝30 cm，

∴GC＝＝＝50(cm)，

∴弧CC′的长度为＝(cm)，

故点C运动轨迹的长度为 cm.

(2)如图，过点F′作F′M⊥AB，垂足为点M，交GF于点N，

∴∠F′MA＝90°.

∵∠A＝∠DGF＝90°，

∴四边形AMNG为矩形，

∴∠F′NG＝∠MNG＝90°，

MN＝AG＝GD＋DA＝70 cm.

在Rt△F′NG中，F′N＝F′G·sin∠F′GN＝FG·sin 40°≈20×0.64＝12.8(cm)，

∴F′M＝F′N＋MN≈12.8＋70＝82.8(cm)．

答 ：点F′到地面AB的距离约为82.8 cm.

23．(1)【证明】如图，连结OD，作OM⊥BC于M.

由题意得AC＝BC，

∵O是AB的中点，∴CO平分∠ACB.

∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC.

∴OD＝OM.∴BC是⊙O的切线．

(2)【解】如图，作OH⊥AG于H，∴∠GHO＝90°，FG＝2GH.

易得CG⊥AB，△OAC和△AOD是等腰直角三角形，

∴∠AOG＝90°＝∠GHO，OA＝AC＝×4＝4.

∴OD＝AO＝2，

∴OG＝2，∴AG＝＝2.

∵∠GHO＝∠GOA，∠G＝∠G，∴△GHO∽△GOA，

∴＝，即＝，

解得GH＝.∴FG＝.

24．【解】(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵AD为∠CAB的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.

∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.

∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC.

∴∠OEB＝∠ACB＝90°.∴∠BED＝90°.

(2)连结BD，设OA＝OB＝OD＝r，则AB＝2r.

∵DE＝4，∴OE＝r－4.

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.

∴BD²＝AB²－AD²＝4r²－(2)²＝4r²－140.　

∵∠BED＝90°，

∴BE²＝BD²－DE²＝4r²－156.

∵∠OEB＝90°，∴BE²＝OB²－OE²＝r²－(r－4)².

∴4r²－156＝r²－(r－4)².

解得r＝7或r＝－5(舍去)．

∴AB＝14，BD＝2.

∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°.

又∵DG∥AF，∴∠DGB＝90°.

∵S_△ADB＝AD·BD＝·AB·DG，

∴DG＝＝2.