第二章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．(母题：教材P30随堂练习T1)下列函数是二次函数的是( )
A．y＝3x2＋9 B．y＝2x－3 C．y＝2x2＋－2 D．y＝
2．(母题：教材P58复习题T2(3))抛物线y＝(x＋1)2－1的顶点坐标是( )
A．(1，－1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(－1，1)
3．[2022·兰州]已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
4．[2023·华南师大附中月考]如图，二次函数y＝a(x＋2)2＋k的图象与x轴交于A，B(－1，0)两点，则下列说法正确的是( )
A
．a<0
B．点A的坐标为(－4，0)
C．当x<0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝－2
5．[2022·绍兴]已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
6．(母题：教材P45习题T1】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x |
… |
－1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
y |
… |
3 |
0 |
－1 |
m |
3 |
… |
以下结论正确的是( )
A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下
B．当x＜3时，y随x的增大而增大
C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
7．[2023·泸州]已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(其中x是自变量)，当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为( )
A．0＜a＜1 B．a＜－1或a＞3
C．－3＜a＜0或0＜a＜3 D．－1≤a＜0或0＜a＜3
8．[2023·安徽]已知反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为( )
9．[2023·河南实验中学模拟]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是( )
A．ac<0 B．b2－4ac>0
C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0
10．[2023·大庆]如图①，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1 m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图②是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点)，则平行四边形ABCD的面积为( )
A．12 m2 B．12m2 C．24 m2 D．24m2
二、填空题(每题3分，共24分)
11．一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是____________．
12．[2023·包头]已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为________．
13．已知点A(4，y1)，B(1，y2)，C(－3，y3)在函数y＝－3(x－2)2＋m(m为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________(由小到大排列)．
14．[2023·苏州中学月考]将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是________．
15．(母题：教材P53习题T2)抛物线y＝x2＋6x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．
17．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．
18．[2023·南京外国语学校月考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x＝－1，部分图象如图所示，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③4a＋c>0；④若t为任意实数，则有a－bt≤at2＋b；⑤当图象经过点时，方程ax2＋bx＋c－2＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则x1＋2x2＝－.其中正确的结论有________．(填序号)
三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)
19．(母题：教材P43习题T1)已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．
20．已知二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点(2，－1)．
(1)求该函数表达式及对称轴；
(2)试判断点P(－1，2)是否在此函数的图象上．
21．直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/kg的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)(x≥10)满足如图所示的函数关系，设销售这种农产品每天的利润为W(元).
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)若销售单价不低于15元/kg，且每天至少销售140 kg时，求W的最大值．
22．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)和点B(－2，4)，与y轴交于点C.
(1)求k，b，a的值；
(2)求△AOB的面积．
23．某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表．
飞行时间t/s |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
… |
飞行水平距离x/m |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
… |
飞行高度y/m |
0 |
22 |
40 |
54 |
64 |
… |
探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
24．[2023·苏州中学月考]已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(c>0)过点C(－1，0)，且与直线y＝7－2x只有一个交点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线y＝－x＋3与抛物线相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
答案
一、1．A 2．B 3．B
4．D 点拨：由题图可知抛物线开口向上，故a>0，A错误；
∵表达式为y＝a(x＋2)2＋k，∴该函数图象的对称轴为直线x＝－2，D正确．
∵B(－1，0)，∴A点坐标为(－3，0)，故B错误；
由题图可知当x<－2时，y随x的增大而减小，故C错误．
故选D.
5．D 6．C
7．D 点拨：当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴Δ＝(－2a)2－4·a×3＜0，
解得0＜a＜3；
当a＜0时，令x＝0，则y＝3，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，3)，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－＝1，
∴当x＝3时，y≥0即可满足条件，即9a－6a＋3≥0，
解得a≥－1，∴－1≤a＜0.
综上，a的取值范围为－1≤a＜0或0＜a＜3.
故选D.
8．A 点拨：一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于正半轴，则b＞0；反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则k＞0，
易知函数y＝x2－bx＋k－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0.
由图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝－x＋b的图象有两个交点(1，k)和(k，1)，
∴－1＋b＝k.
∴b＝k＋1.
∴对于函数y＝x2－bx＋k－1，
当x＝1时，y＝1－b＋k－1＝1－(k＋1)＋k－1＝－1.
∴函数y＝x2－bx＋k－1的图象过点(1，－1)．
∵反比例函数y＝与一次函数y＝－x＋b的图象有两个交点，
∴方程＝－x＋b有两个不相等的实数根．
即方程x2－bx＋k＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2－4k＝(k＋1)2－4k＝(k－1)2＞0.
∴k－1≠0.
∴在y＝x2－bx＋k－1中，当x＝0时，y＝k－1≠0.
∴函数y＝x2－bx＋k－1的图象不过原点．
符合以上条件的只有A选项．故选A.
9．C 点拨：A．由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c>0，因此ac<0，故本选项正确；
B．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2－4ac>0，故本选项正确；
C．由对称轴为直线x＝－＝1，得2a＝－b，即2a＋b＝0，故本选项错误；
D．由对称轴为直线x＝1及抛物线过点(3，0)，可得抛物线与x轴的另外一个交点是(－1，0)，将x＝－1，y＝0代入表达式，得a－b＋c＝0，故本选项正确．
故选C.
10．C 点拨：如图，过点P作PE⊥CB交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F.
由
题意可知AP＝t
m，BQ＝t
m，AB∶BC＝1∶，
设AB＝a m，则BC＝a m，PB＝(a－t)m，
在Rt△PBE中，∠PBE＝180°－∠ABC＝60°，
∴PE＝(a－t)m，
∴y＝×t×(a－t)＝－t2＋at.
由二次函数图象可知，函数图象的顶点纵坐标为3，
∴＝a2＝3，
∴a2＝16.
∵a为正数，∴a＝4，∴AB＝4 m，BC＝4 m.
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝×4＝2(m)，
∴S▱ABCD＝BC×AF＝4×2＝24(m2)．
二、11．y＝－x2＋1(答案不唯一)
12．2 点拨：∵点P(m，3)在二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)的图象上，
∴3＝－am2＋2am＋3，
∴－am(m－2)＝0，
解得m＝2或m＝0(舍去)，
故答案为2.
13．y3<y1<y2 14．y＝(x－1)2－3
15．9 点拨：由题意可得对于一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝b2－4ac＝0，即可得到关于m的方程，解出即可．
16．－1<x<3 17．36
18．②③④⑤ 点拨：∵抛物线开口向上，∴a>0.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，
∴b＝2a>0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c<0，
∴abc<0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2－4ac>0，②正确．
由题图知x＝1时，y>0，∴a＋b＋c>0，
∵b＝2a，∴3a＋c>0.
∵a>0，∴4a＋c>0，③正确．
∵图象的对称轴为直线x＝－1，
∴当x＝－1时，y有最小值，
∴a－b＋c≤at2＋bt＋c(t为任意实数)，
即a－bt≤at2＋b，④正确．
∵当图象经过点时，方程ax2＋bx＋c－2＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝2的一个交点为.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝2的另一个交点为，即 x1＝－，x2＝，
∴x1＋2x2＝－＋2×＝－，⑤正确．
其中正确的结论为②③④⑤.
三、19．解：∵当x＝2时，y有最大值－2，
∴设所求的二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－2(a≠0)．
∵二次函数的图象经过点(0，－4)，
∴－4＝a(0－2)2－2，解得a＝－.
∴y＝－(x－2)2－2.
20．解：(1)∵二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点(2，－1)，∴4a＝－1，∴a＝－，
∴二次函数表达式为y＝－x2，
∴二次函数图象的对称轴为y轴．
(2)在y＝－x2中，当x＝－1时，y＝－，
∴点P(－1，2)不在此函数图象上．
21．解：(1)当10≤x≤20时，y＝200，
此时W＝(x－10)y＝200(x－10)＝200x－2 000；
当x>20时，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
∵点(20，200)，(25，180)在该函数图象上，
∴解得
∴y与x的函数关系式为y＝－4x＋280，
此时W＝(x－10)y＝(－4x＋280)(x－10)＝－4x2＋320x－2 800.
∴W与x的函数关系式为W＝
(2)由题可知
∴15≤x≤35.
①当15≤x≤20时，W＝200x－2 000，
此时W随x的增大而增大，
∴当x＝20时，Wmax＝2 000；
②当20＜x≤35时，W＝－4x2＋320x－2 800，
∵a＝－4<0，其函数图象的对称轴为直线
x＝－＝40，
∴当x≤40时，W随x的增大而增大，
∴当x＝35时，Wmax＝3 500.
∵3 500>2 000，
∴W的最大值是3 500.
22．解：(1)把点B(－2，4)的坐标代入y＝ax2中，得4＝4a，∴a＝1.∴二次函数的表达式是y＝x2.
把点A(1，m)的坐标代入y＝x2中，得m＝1，
∴A(1，1)．
把点A(1，1)和点B(－2，4)的坐标分别代入y＝kx＋b中，得解得
∴a＝1，k＝－1，b＝2.
(2)由(1)知一次函数的表达式为y＝－x＋2，令x＝0，
则y＝2，∴C(0，2)．∴OC＝2.
∴S△AOC＝OC·|1|＝×2×1＝1，S△BOC＝OC·|－2|＝×2×2＝2，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝1＋2＝3.
23．解：探究发现：x＝5t，y＝－t2＋12t.
问题解决：(1)依题意，得－t2＋12t＝0，
解得t1＝0(舍去)，t2＝24，
当t＝24时，x＝120.
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度 y′＝－t2＋12t＋n，
∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，
∴25＜t＜26.
在y′＝－t2＋12t＋n中，
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；
当t＝26，y′＝0时，n＝26.
∴12.5＜n＜26.
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.
24．解：(1)把点C(－1，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c中，得－1－b＋c＝0，解得c＝b＋1，
联立
得x2－(b＋2)x＋6－b＝0.
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0，
解得b＝－10或2.
∵c＝b＋1>0，∴b＝2，∴c＝b＋1＝3，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)存在满足题意的点Q.
联立解得或
∴A(0，3)，B(3，0)．
由抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，可知抛物线对称轴为直线x＝1.
设点Q的坐标是(1，m)，
则AQ2＝12＋(3－m)2＝m2－6m＋10，BQ2＝(3－1)2＋(0－m)2＝m2＋4，
由勾股定理，得AB2＝OA2＋OB2＝18.
当∠A为顶角时，AB2＝AQ2，即m2－6m＋10＝18，
解得m＝3＋或m＝3－，
∴Q(1，3＋)或(1，3－)；
当∠B为顶角时，AB2＝BQ2，即18＝m2＋4，
解得m＝或m＝－，
∴Q(1，)或(1，－)；
当AB为底时，AQ2＝BQ2，即m2－6m＋10＝m2＋4，
解得m＝1，
∴Q(1，1)．
故满足题意的Q点坐标为(1，3＋)或(1，3－)或(1，)或(1，－)或(1，1)．
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