第一章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2023·天津一中月考]2sin 60°的值等于(　　)

A． B． C． D．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝1，则∠A等于(　　)

A．90° B．60° C．45° D．30°

3．[2023·长春]学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示，已知彩旗绳与地面形成25°角(即 ∠BAC＝25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32 m(即AC＝32 m)，则彩旗绳AB的长度为(　　)

A．32sin 25° m B．32cos 25° m C． m D． m

4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是(　　)

A． B． C． D．

5．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为(　　)

A． B． C． D．

6．为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用了共享单车，图①为单车实物图，图②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为20 cm，当 BC＝60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为(　　)(结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)

A．80 cm B．72 cm C．76 cm D．70 cm

7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝2，tan C＝，则线段AC的长为(　　)

A．10 B．8 C．8 D．4

8．(母题：教材P20随堂练习T2)如图，大坝横截面的背水坡AB的坡比为1∶2，若坡面AB的水平宽度AC为12 m，则斜坡AB的长为(　　)

A．4 m B．6 m C．6 m D．24 m

9．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB等于(　　)

A． B． C． D．

10．[2023·天津南开中学月考]如图，△ABC，△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠B＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠E＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE.若AB＝1.6 m，则DE的长度约为(参考数据：sin 43°≈0.7，tan 43°≈0.9，sin 20°≈0.3，tan 20°≈0.4)(　　)

A．2.6 m　　 B．2.8 m C．3.4 m　　 D．4.5 m

二、填空题(每题3分，共24分)

11．(母题：教材P₂₁习题T₁)如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两棵树的坡面距离AB为a m，则相邻两棵树的水平距离AC为__________m.

12．(母题：教材P₆做一做)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，则BC的长是________．

13．在△ABC中，若＋＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C＝________.

14．(母题：教材P24复习题T4)在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin B＝________.

15．[2023·眉山]如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是________海里．

16．[2022·通辽]如图，在矩形ABCD中，点E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE的值为________．

17．(母题：教材P₂₆复习题T₁₇)如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6 m，则旗杆AB的高度为________m.

18．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一个动点，则PB＋PD的最小值为________．

三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)

19．(母题：教材P₂₄复习题T₆)计算：

(1)[2022·乐山]sin 30°＋－2^－1;

(2)[2023·东营]tan 45°－(2 023－π)⁰＋|2－2|＋－.

20．(母题：教材P₁₆例2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，求这个三角形的其他元素．

21．为了承办2023年亚运会，杭州市加强城市绿化建设．如图，工作人员正在对该市某河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得该河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．

22．[2023·雅安]如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF.

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan ∠CAB＝，求▱ABCD的面积．

23．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长(结果精确到0.1米；参考数据： sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29)．

24．[2023·嘉兴]图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图②，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160 cm，识别的最远水平距离OB＝150 cm.

(1)身高208 cm的小杜，头部高度为26 cm，他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？

(2)身高120 cm的小若，头部高度为15 cm，踮起脚尖可以增高3 cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图③)，此时小若能被识别吗？请通过计算说明．(精确到0.1 cm，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈ 0.97，tan 15°≈0.27，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)

答案

一、1．A　2．B

3．D　点拨：如图，由题意得，AC＝32 m，∠BAC＝25°，

在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝，∴AB＝＝ m，故选D.

4．C　点拨：过点C作AB的垂线交AB于点D，如图所示，

∵每个小正方形的边长为1，

∴ AC＝，BC＝，AB＝5.

设AD＝x，则BD＝5－x，

在Rt△ACD中，DC²＝AC²－AD²，

在Rt△BCD中，DC²＝BC²－BD²，

∴10－(5－x)²＝5－x²，

解得x＝2，∴AD＝2.

∴cos∠BAC＝＝＝.

5．D

6．C　点拨：作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH，由题意知AP＝20 cm，进而可求出CH＋AP.

7．D　8．C　9．B

10．B　点拨：∵FD⊥BE，AC⊥BE，AF∥BE，

∴∠ACB＝∠FDE＝90°，DF＝AC.

在Rt△ACB中，AC＝AB·sin B≈1.6×0.7＝1.12(m)，

∴DF＝AC≈1.12 m.

在Rt△DEF中，tan E＝，

∴DE≈＝2.8(m)．

二、11．acos α　12．2　13．105°

14．

15．(6＋6)　点拨：如图，过点C作CH⊥AB于H.

∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，

∴∠CAH＝90°－∠DAC＝30°，

∠CBH＝90°－∠CBE＝45°，

∴∠BCH＝45°＝∠CBH，

∴BH＝CH，

在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，

AH＝AB＋BH＝AB＋CH，tan 30°＝，

∴CH＝(AB＋CH)．又∵AB＝12海里，

∴CH＝(6＋6)海里．

∴渔船与灯塔C的最短距离是(6＋6)海里．

16．－1　17．14.4

1 8．3　点拨：如图，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于点H，过点B作BH′⊥AD，交AD的延长线于点H′，交CD于点P′.在▱ABCD中，AB∥CD，所以∠HDP＝ ∠DAB＝60°，所以PH＝PD·sin ∠HDP＝PD，所以PB＋PD＝PB＋PH.根据两点之间线段最短及垂线段最短可得，当点B，P，H共线且BH⊥AD时，PB＋PD取得最小值，此时PB＋PD＝P′B＋P′H′＝BH′.在Rt△ABH′中， BH′＝AB·sin ∠DAB＝6×＝3，所以PB＋PD的最小值为3.

三、19．解：(1)原式＝＋3－＝3.

(2)原式＝×1－1＋2－2＋4－3＝1.

20．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，

∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.

∴BC＝AC·tan A＝15×＝5.

∴AB＝2BC＝2×5＝10.

21．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.

根据题意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，

∴∠CAD＝45°.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD.

∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，

即＝，

解得AD＝(300－100)m.

答：该河段的宽度为(300－100)m.

22．(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCA.

又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．

(2)解：∵＝3，

∴CH＝3BH.

又∵CH⊥AB，BC＝，

∴BH²＋CH²＝BC²，即BH²＋(3BH)²＝()²，

解得BH＝1(负值已舍去)，

∴CH＝3.

又∵tan ∠CAB＝＝，∴AH＝4，

∴AB＝AH－BH＝4－1＝3，

∴▱ABCD的面积＝AB·CH＝3×3＝9.

23．解：如图，过点A作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K.

在Rt△ABT中，BT＝AB·sin∠BAT＝5×sin 16°≈1.4(米)，AT＝AB·cos∠BAT＝5×cos 16°≈4.8(米)．

易知∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，

∴四边形ATCK是矩形，

∴CK＝AT≈4.8米，

AK＝CT＝BC－BT≈4－1.4＝2.6(米)．

在Rt△AKD中，∠ADK＝45°，

∴DK＝AK≈2.6米，

∴CD＝CK－DK≈4.8－2.6＝2.2(米)，

∴阴影CD的长约为2.2米．

24．解：(1)如图①，过点C作OB的垂线，交仰角线于点E，交水平线于点F，则AF＝OC＝130 cm，CF＝OA＝160 cm，CE⊥AF.

在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，

∴EF＝AF·tan 15°≈130×0.27＝35.1(cm)．

∵∠EAF＝∠DAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFD＝90°，

∴△ADF≌△AEF(ASA)．

∴EF＝DF≈35.1 cm.

∴CE＝CF＋EF≈160＋35.1＝195.1(cm)．

∴小杜最少需要下蹲约208－195.1＝12.9(cm)才能被识别．

(2)如图②，过点B作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于M，N，交水平线于点P，则AP＝OB＝150 cm，BP＝OA＝160 cm.

在Rt△APM中，tan∠MAP＝.

∴MP＝AP·tan 20°≈150×0.36＝54.0(cm)．

∵∠MAP＝∠NAP，AP＝AP，∠APM＝∠APN＝90°，　

∴△AMP≌△ANP(ASA)．

∴PN＝MP≈54.0 cm.

∴BN＝BP－PN≈160－54.0＝106.0(cm)．

∵小若踮起脚尖后头顶的高度为120＋3＝123(cm)，

∴小若头顶超出点N的高度约为123－106.0＝17.0(cm)>15cm.

∴踮起脚尖小若能被识别．